Элизабет и Марлен

В настоящей монографии рассматривается стохастическое, или хаотическое, движение нелинейных колебательных систем. Это – быстроразвивающаяся область нелинейной механики с приложениями во многих областях науки и техники, включая астрономию, физику плазмы, статистическую механику и гидродинамику. Основное внимание уделяется динамической стохастичности в гамильтоновых системах, когда хаотическое движение обусловлено самой динамикой, а не внешним шумом. Вместе с тем рассматривается также и влияние шума на движение динамической системы. В последней главе подробно обсуждаются основные особенности хаотического движения диссипативных систем.

Исследования в этой области начались еще в прошлом веке, когда Пуанкаре и другие пытались построить теорию нелинейных возмущений планетных движений. Однако только новые математические результаты, полученные в 60-х гг., вместе с результатами численного моделирования на быстродействующих ЭВМ послужили основой современного подхода к этой проблеме. Так как новые методы частично обязаны математическим достижениям, появились уже две или три математические монографии, отражающие эти результаты. Однако их язык и изложение труднодоступны специалистам других наук и инженерам, не говоря уже о том, что в них не содержатся конкретные методы для проведения практических расчетов.

В нашей книге главное внимание уделяется выяснению физической сущности явлений, а не математической строгости. Мыприводим практические методы описания движения, определения перехода от регулярного к стохас тическому поведению, а также нахождения основных характеристик стохастичности. При этом мы существенно опираемся на численное моделирование для иллюстрации и подтверждения этих методов.

Монография задумана как пособие для тех физиков и инженеров, которые захотят познакомиться с этой областью механики, и как справочник для исследователей, уже знакомых с такими методами. Қнигу можно использовать также как учебное пособие по механике для аспирантов. Мы предполагаем, что читатель имеет обычную вузовскую подготовку по мате матике и физике, включая основы гамильтоновой механики. 3накомств о с аналитической механикой желательно, но не обязательно. Подробный обзор необходимого материала дается в $\S 1.2$ и 1.3 .

Основные идеи динамической стохастичности в гамильтоновых системах вводятся в § 1.4. В гл. 2-6 мы последовательно переходим от регулярного к стохастическому движению. Чтобы помочь читателю, мы отмечаем звездочкой (*) те параграфы и пункты (п.), в которых содержится основной материал. Они и составляют ядро нашего изложения. Особенно важным является п. 2.4а о резонансной теории возмущений. Материал книги был успешно использован в 30 -часовом курсе лекций для аспирантов в Беркли.

В дополнение к основному материалу рассмотрены также и другие важные вопросы. Влияние внешнего шума на динамику системы с двумя степенями свободы представлено в § 5.5 (с использованием результатов п. 5.4г), для бо́льшего числа степеней свободы – в § 6.3, а некоторые приложения рассмотрены в §6.4. Описание диссипативных систем в гл. 7 является более или менее независимым от обсуждения гамильтоновых систем. При изучении материала гл. 7 следует обращаться к введению в $\S 1.5$, а также к описаниям метода сечения Пуанкаре в п. 1.26 и показателей Ляпунова в п. 5.26 и §5.3. Бифуркации удвоения периода рассмотрены в п. 7.2б, 7.3а и в дополнении Б (см. также п. 3.4г). Другие специальные вопросы, такие, как теория возмущений Ли (§2.5), методы ускоренной сходимости (§2.6), некоторые аспекты теории ренормализации ( $\S 4.3$ и 4.5 ), неканонические методы (п. 2.3г), глобальное устранение резонансных знаменятелей (п. 2.4 г и, частично, 2.5в), вариационные методы (п. 2.6 и § 4.6) и модуляционная диффузия (п. 6.2г), можно отложить до ознакомления с основным материалом.

Данная монография подготавливалась в течение трех с половиной лет. Многие друзья и коллеги поддерживали нас в этом. Мы хотим выразить здесь признательность всем тем, кто просмотрел основные разделы рукописи и чьи замечания существенно улучшили окончательный вариант текста. Мы благодарны Х. Абарбанелю, Дж. Кари, Б. В. Чирикову, Р. Коэну́, Д. Эсканде, Дж. Форду, Дж. Грину, Р. Хеллеману, П. Холмсу, Дж. Ховарду, О. Лэнфорду, Д. Лихтенбергу, Р. Литлджону, Б. Мак-Намаре, Г. Мотцу, К. Спарроу, Дж. Л. Теннисону и А. Вайнстейну. Полезные замечания были сделаны также Дж. Қазати, А. Кауфманом, Я. Персивалем и Г. Смитом. Нам также приятно отметить значительное влияние многих опубликованных работ Б. В. Чирикова в этой области. Некоторые изложенные в книге идеи были развиты авторами во время работы по контрактам с Национальным научным фондом, министерством энергетики и научно-исследовательским управлением военно-морских сил. Один из авторов (А. Л.) благодарит за гостеприимство колледж св. Екатерины в Оксфорде, а другой (М. Л.) столь же признателен Имперскому колледжу в Лондоне, где была подготовлена значительная часть рукописи.
А. Лихтенбере, М. Либерман