В гл. 3 мы видели, что в системах с двумя степенями свободы, близких к интегрируемым, вблизи сепаратрис резонансов возникают области хаотического движения. Эти области сохраняются для любого ненулевого возмущения $\varepsilon$, хотя их площадь и стремится к нулю при $\varepsilon \rightarrow 0$. Следовательно, не существует резкого «перехода к стохастичности» для какого-то критического значения $\varepsilon$, и поэтому смысл любого такого критерия должен быть определен более четко.

Одно из возможных определений состоит в измерении доли фазового пространства с хаотическим движением и в последующем нахождении минимального значения $\varepsilon$, для которого эта доля достигает некоторого произвольно выбранного значения, скажем $1 / 10$ или $1 / 2$. Наличие подобной неопределенности приводит к тому, что такой подход является в каком-то смысле качественным. Несмотря на это, он может в значительной степени способствовать пониманию явления стохастичности. Для определения критерия перехода к стохастичности использовались различные методы:
1) мгновенная скорость расходимости близких траекторий $[409,44]$
2) убывание корреляций [302, 401$]$;
3) обмен энергией между степенями свободы [148];
4) фурье-спектр траекторий [318];
5) показатели Ляпунова [19];
6) КС-энтропия $[70]$.
Первые три метода критиковались в литературе (см., например, $[55,59,60]$ ) как неспособные правильно различать регулярное и стохастическое движение ${ }^{1}$ ). С другой стороны, последние три метода, как выяснилось, имеют большое значение и для анализа движения внутри хаотических областей, чему посвящена гл. 5 .
1) Хотя упомянутая выше критика и имеет некоторые основания, следует отметить, что эти методы успешно использовались в ряде работ, например в [443] (первый метод) и в [127] (третий метод). Второй метод (при правильном его применении) эквивалентен четвертому и особенно удобен в реальных экспериментах, тогда как два последних метода больше подходят для численного моделирования. Отметим также, что ссылки авторов при перечислении методов носят случайный характер, более аккуратная библиография дана ниже, при описании некоторых из этих методов.- Прим. ред.

Более естественное определение «перехода к стохастичности» вытекает из следующего наблюдения, характерного для различных систем с двумя степенями свободы: в фазовом пространстве существует резкая граница между областями с узкими стохастиче-

Рис. 4.1. Переход от локальной к глобальной стохастичности с ростом возмущения ( $1 / u^{2}$ ).

скими компонентами движения, запертыми инвариантными поверхностями, и областями сплошного стохастического движения. В первом случае изменение переменных действия ограничено шириңой сепаратрисы резонансов (см. рис. 4.1) и $\Delta J / J \propto \sqrt{\varepsilon}$ (п. 2.4а). Во втором случае $J$ изменяется хаотически в широких пределах, так что $\Delta J / J \sim 1$. Ясно, что количественное определение перехода от одного случая к другому дает важную информацию относительно поведения системы. Будем называть эти две области соответственно локальной (или изолированной, или слабой) и глобальной (или связанной, или сильной) стохастической областью, а сам переход границей стохастичности, или переходом к глобальной стохастичности. Именно такой переход и рассматривается детально в этой главе.

Қак мы уже видели в задаче об ускорении Ферми (§ 3.4), граница стохастичности ${ }^{1}$ ) $u_{b}$ отделяет сплошную стохастическую компоненту при малых скоростях частицы от области со стохастическими слоями вблизи сепаратрис резонансов при больших скоростях (см. рис. 4.1, 1.14, и 3.15). Эта граница отличается от границы устойчивости $u_{s}$, ниже которой все неподвижные точки соответствующего отображения неустойчивы. Оказывается, что $u_{b}>u_{s}$, откуда следует, что неустойчивость неподвижных точек достаточна, но не необходима для глобальной стохастичности, т. е. это условие является слишком сильным. Мы же ищем более эффективный критерий, которой был бы и необходимым, и достаточным. K сожалению, чисто аналитического метода получения такого критерия не существует. Поэтому приходится прибегать к различным правдоподобным рассуждениям, подкрепленным численными экспериментами. В этой главе мы рассмотрим пять методов, описанных качественно в п. 4.1а, каждый из которых дает свой вклад в понимание рассматриваемой проблемы. В качестве модели для иллюстрации этих методов мы используем стандартное отображение, свойства которого обсуждаются в п. 4.1б.
* 4.1а. Качественное описание критериев перехода

Первый критерий перехода к глобальной стохастичности, предложенный Чириковым [67] и позднее усовершенствованный им [70], известен сейчас как критерий перекрытия. В своей простейшей форме он постулирует, что последняя инвариантная поверхность между двумя резонансами разрушается, когда невозмущенные сепаратрисы этих резонансов касаются друг друга. Действительно, интуитивно ясно, что касание стохастических слоев, которые, как мы знаем, окружают сепаратрисы, должно приводить к разрушению всех инвариантных поверхностей в этой области. Строго говоря, критерий перекрытия не является ни необходимым, ни достаточным. С одной стороны, последняя инвариантная поверхность может разрушаться значительно раньше перекрытия рассматриваемых резонансов за счет взаимодействия других резонансов между ними. С другой стороны, возмущение может так исказить сепаратрисы, что они фактически не будут перекрываться вопреки предсказаниям по первому приближению. Фактически численное моделирование показывает, что критерий перекрытия является
1) Напомним, что в этой задаче эффективное возмущение пропорционально $1 / u^{2}$.

чересчур жестким условием глобальной стохастичности. Он может быть, однако, сделан более эффективным, если учесть ширину стохастического слоя сепаратрисы и некоторые из промежуточных резонансов $[70]$. В таком виде критерий перекрытия рассматривается в § 4.2. Однако и в простейшем виде этот критерий дает грубую оценку для границы стохастичности и использовался в самых различных задачах Чириковым [67-71], Фордом и сотр. [423], Розенблютом и др. [349] и многими другими (более полную библиографию см. в работе [70]). Следует отметить, что в качестве грубого критерия стохастичности можно использовать также условие потери линейной устойчивости периодических траекторий, которое приводит к границе устойчивости $u_{\mathrm{s}}$ в примере $\S 3.4$.

Используя аналогичную методику, Егер и Лихтенберг [212] вычисляли размер вторичных резонансов между гармониками фазовых колебаний на основных резонансах и невозмущенными колебаниями. Они показали, что при перекрытии первичных резонансов параметр перекрытия вторичных резонансов, т. е. отношение их размера к расстоянию между ними, сравним с параметром перекрытия для первичных резонансов и по индукции это же справедливо и для резонансов более высоких порядков. При этом локальное число вращения для первичного резонанса вблизи его центра равно $\alpha=1 / 4$, т. е. здесь возникает вторичный резонанс четвертой гармоники. Изучение резонансной структуры со всей очевидностью показывает, что простой критерий перекрытия является слишком жестким. Численно было найдено, что когда параметр перекрытия для первичных резонансов достигает $2 / 3$ (при этом появляется вторичный резонанс шестой гармоники), то этого достаточно, чтобы разрушить последнюю инвариантную поверхность между первичными резонансами. Такой критерий применялся для многих задач, как, например, ускорение Ферми [274] и циклотронный нагрев $[212,275]$. Отметим, что усовершенствованный критерий перекрытия Чирикова также связан со вторичными резонансами, но не в центре первичного резонанса, а вблизи его сепаратрисы. Использование вторичных резонансов рассматривается в § 4.3. Соответствующая техника разложения, основанная на резонансной теории возмущений, описана в $§ 2.4$.

Третий метод определения границы стохастичности базируется на анализе линейной устойчивости движения вблизи центра резонанса (его периодической траектории). Идея метода состоит в следующем. Поскольку потеря линейной устойчивости для резонансов с наиболее низкой гармоникой ( $k=1$ ) является слишком жестким условием, более эффективным критерием может служить линейная устойчивость для тех резонансов на высоких гармониках $k$, которые расположены вблизи некоторой инвариантной поверхности. Эта гипотеза была численно проверена и подтверждена Грином $[164,165]$. Более конкретно, гипотеза Грина состоит в том, что существование инвариантной кривой с иррациональным числом вращения $\alpha$ зависит от устойчивости соседних периодических точек, рациональные числа вращения которых сходятся к $\alpha$. Предполагается также, что эта устойчивость тем выше, чем хуже аппроксимация $\alpha$ рациональными числами. Можно показать (§4.4), что на отрезке $(0,1)$, т. е. между двумя целыми резонансами ( $k=1$ ), иррациональным числом с наихудшей рациональной аппроксимацией является так называемое золотое сечение $\left.{ }^{1}\right) \alpha_{g}=(\sqrt{5}-1) / 2$. Поэтому можно ожидать, что последней инвариантной кривой, которая будет разрушена по мере роста возмущения, является именно кривая с числом вращения $\alpha=\alpha_{g}$. Это подтверждается и численными данными Грина ${ }^{2}$ ). Таким образом, эффективный критерий разрушения всех инвариантных кривых между целыми резонансами сводится к исследованию асимптотической ( $k \rightarrow \infty$ ) устойчивости периодических точек с $\alpha \rightarrow \alpha_{g}$. Для практической реализации этого критерия требуется быстрая сходимость при $k \gg 1$, обеспечение которой облегчается следующим свойством периодических точек при $k \rightarrow \infty$. Если возмущение близко к критическому для некоторой инвариантной кривой, то в окрестности приближающих ее периодических точек возникают вторичные резонансы с $\alpha=1 / 6$, что соответствует приблизительно границе устойчивости периодических точек. Этот факт связан с другим наблюдением (см. § 4.2), что вблизи границы стохастичности такие же вторичные резонансы появляются и внутри целых резонансов ( $k=1$ ).

Четвертый метод, предложенный Эсканде и Довейлом [17, 18], также основан на анализе резонансов высоких гармоник в окрестности некоторой инвариантной кривой. Однако в отличие от метода Грина это достигается путем последовательной ренормализации гамильтониана с сохранением его формы. Этот метод не столь эффективен, как предыдущий, и в типичном случае приводит к значению границы стохастичности на $3 \div 10 \%$ ниже фактического согласно численным данным ${ }^{3}$ ). Полученные этим методом результаты относятся к более общему случаю двух резонансов произвольной величины. При этом «последняя инвариантная кривая» не связана, вообще говоря, с золотым сечением. Метод и полученные с его помощью результаты обсуждаются в § 4.5.

В заключение в $\S 4.6$ кратко описан вариационный метод определения условий существования инвариантных торов. В гамильтоновой форме он был развит Персивалем [328], а в лагранжевой Персивалем [330] и Қлейном и Ли [228]. Используемая в последней работе техника весьма близка к описанной в п. 2.66 для нахож-
1) Таким же свойством обладают и все иррациональные числа вида $\epsilon_{g}+m$, где $m$ – любое целое.
2) Но противоречит численным экспериментам, описанным в работе [76]. Обсуждение «золотой» гипотезы Грина см. в $[76,485]$.- Прим. ред.
3) Это расхождение (и даже его знак) может быть связано и с точностью численного определения границы стохастичности при относительно коротком времени счета в $[17,18]$ (см. [70], (4.49) и рис. 5.3).- Прим. ред.

дения периодических траекторий и позволяет получить, как и метод Грина, эффективный критерий разрушения инвариантных торов,

В § 4.7 приводится сравнение различных критериев перехода к глобальной стохастичности и обсуждаются особенности их практического использования. Подчеркивается, что простой критерий перекрытия дает оценку только по порядку величины, но его легко применять в самых разных задачах. В качестве более эффективного критерия в некоторых новых задачах можно отказаться от сложных вычислительных процедур и прямо использовать уже полученньте решения, например результат Грина для стандартного отображения, или вычисления Эсканде и Довейла. Все эти критерии приводят к правилу «двух третей», которое является достаточно эффективным и удобным для использования ${ }^{1}$ ). Более подробное обсуждение возможностей различных критериев стохастичности и обширную библиографию можно найти в обзорах Чирикова [70] и Табора [401 ].

Если система имеет более чем две степени свободы, то резкой границы стохастичности уже не существует. Это связано с тем, что все стохастические слои резонансных сепаратрис в фазовом пространстве связаны между собой. Возникающая при этом диффузия Арнольда является, вообще говоря, очень медленной по сравнению с диффузией в областях глобальной стохастичности. Поэтому в практическом отношении понятие границы стохастичности остается содержательным и для многомерных систем.
*4.1б. Стандартное отображение
Для вычисления границы стохастичности используем в качестве модели стандартное отображение (3.1.22). Это позволит нам аналогично Чирикову и Грину исследовать переход к стохастичности в терминах параметра стохастичности $К$. Мы уже видели в п. 3.1б, что стандартное отображение локально аппроксимирует более общие нелинейные отображения. Покажем прежде всего, что это распространяется и на отображение Улама, и на сепаратрисное отображение.
Для удобства перепишем отображение Улама (3.4.6) еще раз:
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\sin \psi_{n}\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+2 \pi M / u_{n+1} .
\end{array}
\]

Чтобы получить стандартное отображение, линеаризуем (4.1.16)
$\qquad$
1) Это правило справедливо только в случае перекрытия близких по ширине резонансов, см. рис. 4.12.- Прим. ред.

по переменной действия $u$ вблизи неподвижной точки $u=u_{1}$. Согласно табл. 3.1, имеем
\[
\frac{2 \pi M}{u_{1}}=2 \pi m,
\]

где $m$ – целое число. Подставляя $u_{n}=u_{1}+\Delta u_{n}$ и сдвигая фазу $\theta_{n}=\psi_{n}-\pi\left(-\pi<\theta_{n} \leqslant \pi\right)$, получаем стандартное отображение
\[
\begin{array}{l}
I_{n+\mathbf{1}}=I_{n}-K \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+\mathbf{1}}=\theta_{n}+I_{n+\mathbf{1}},
\end{array}
\]

где
\[
I_{n}=\frac{-2 \pi M \Delta u_{n}}{u_{1}^{2}}
\]

есть новая переменная действия, а
\[
K=\frac{2 \pi M}{u_{1}^{2}} .
\]
– параметр стохастичности. Следовательно, параметр $K$ связан со старой переменной действия $u_{1}$. Переход от отображения Ферми к стандартному отображению иллюстрируется на рис. 4.2 для двух значений $u_{1}$, приводящих к различным значениям $K$.
Проделаем то же самое с сепаратрисным отображением (3.5.26):
\[
\begin{array}{l}
w_{n+1}=w_{n}-w_{0} \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+Q_{0} \ln \left|\frac{32}{w_{n+1}}\right| .
\end{array}
\]

Неподвижные точки $w=w_{1}$ даются выражением
\[
Q_{0} \ln \left|\frac{32}{w_{1}}\right|=2 \pi m .
\]

Подставляя $w_{n}=w_{1}+\Delta w_{n}$ и линеаризуя по $w$, снова получим стандартное отображение (4.1.3), где
\[
I_{n}=\frac{-Q_{0} \Delta w_{n}}{w_{1}},
\]

и
\[
K=\frac{Q_{0} w_{0}}{w_{1}} .
\]

Неподвижные точки. Неподвижные точки стандартного отображения получаются из условия:
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=2 \pi m, \\
\theta_{1}=0, \pi .
\end{array}
\]

Для каждого целого числа $m$ имеются две неподвижные точки.

Линеаризуя (4.1.3а), как и в п. 3.4в, получим матрицу преобразования:
\[
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}
1 & \pm K \\
1 & 1 \pm K
\end{array}\right)
\]

Рис. 4,2. Локальная аппроксимация отображения Улама стандартным отображением.
$a$ – локальная стохастичность для малых $K$ (ис ходное отображение линеаризовано в окрестности $u_{1 a}$ ); 6 – глобальная стохастичность для больших $K$ (линеаризация в окрестности $u_{1 b}$ ).

где верхний знак соответствует $\theta_{1}=0$, а нижний $\theta_{1}=\pi$. При этом $\operatorname{det} \mathbf{A}=1$, как и должно быть для отображения, сохраняющего фазовую площадь. Согласно (3.3.55), условие устойчивости зависит от следа матрицы $\mathrm{A}$ и имеет вид
\[
|2 \pm K|<2 \text {. }
\]

Поэтому неподвижная точка $\theta_{1}=0$ всегда неустойчива ${ }^{1}$ ), а э.тлиптическая точка $\theta_{1} \leftrightharpoons \pi$ превращается в гиперболическую с отражением при
\[
K>4 .
\]

В этом случае все неподвижные точки становятся неустойчивыми.
В общем случае отображение всегда периодично по фазе $\theta$, но не по $I$. Однако стандартное отображение периодично также и по $I$ (4.1.3б). Эта особенность приводит к существованию неподвижных точек другого типа. С учетом периодичности по I соотношения (4.1.10) нужно заменить теперь на следующие:
\[
l_{1}=2 \pi m, \quad K \sin \theta_{1 l}=2 \pi l,
\]

где $m, l$ – целые числа.
«Неподвижные» точки с $l
eq 0$ соответствуют на самом деле ускорительным режимам движения [70], поскольку $I$ увеличивается на $2 \pi l$ при каждой итерации. Условие устойчивогти(4.1.12) заменяется на
\[
\left|2 \pm K \cos \theta_{1 l}\right|<2 .
\]

Отсюда и из (4.1.14) следует, что с ростом $l$ (и уменьшением $\cos \theta_{1 l}$ ) интервалы устойчивости существуют для сколь угодно больших значений $K$. В отличие от этого для $l=0$ имеется граница устойчивости $K<4$. Это является любопытной особенностью именно стандартного отображения, и поэтому не следует искать ускорительные режимы в отображениях, которые лишь локально аппроксимируются стандартным отображением.
Периодические точки. Чириков [70], Грин [165], Лихтенберг и др. [272], а также Шмидт [363] исследовали различные семейства периодических точек ( $k>1$ ). Их можно разделить на два класса: первичные, которые существуют и в пределе $K \rightarrow 0$, и бифуркационные, которые возникают только выше некоторого порогового значения $K$.

Остановимся подробно на периодических точках с периодом $k=2$. Такие точки образуют пары: $\left(I_{1}, \theta_{1}\right)$ и $\left(I_{2}, \theta_{2}\right)$. Итерируя отображение дважды, получаем
\[
\begin{array}{l}
I_{2}=I_{1}+K \sin \theta_{1}, \\
\theta_{2}=\theta_{1}+I_{2}-2 \pi m_{1},
\end{array}
\]
1) Считается, что $K>0 .-$ Прим. ред.

\[
\begin{array}{l}
I_{1}=I_{2}+K \sin \theta_{2}, \\
\theta_{1}=\theta_{2}+I_{1}-2 \pi m_{2},
\end{array}
\]

где $m_{1}$ и $m_{2}$ – целые числа. Условие устойчивости определяется следом матрицы
\[
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rr}
1 & K \cos \theta_{2} \\
1 & 1+K \cos \theta_{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
1 & K \cos \theta_{1} \\
1 & 1+K \cos \theta_{1}
\end{array}\right)
\]

н приводится к виду
\[
-4<2 K\left(\cos \theta_{1}+\cos \theta_{2}\right)+K^{2} \cos \theta_{1} \cos \theta_{2}<0 .
\]

Если сложить (4.1.16a) и (4.1.16в), видно, что имеются два случая: а) $\theta_{2}=-\theta_{1}$ и б) $\theta_{2}=\theta_{1}-\pi$, причем $0<\theta_{1} \leqslant \pi$. Для случая ха» из (4.1.16) следует соотношение
\[
2 \pi p-4 \theta_{1}=K \sin \theta_{1},
\]

которое определяет $\theta_{1}$. Это выражение при $p=m_{1}-m_{2}=1$ дает первичные периодические точки, а при $p>1$ – бифуркационные. Условие устойчивости (4.1.18) принимает вид
\[
-4<K \cos \theta_{1}<0 \text {. }
\]

Первичные точки $\left(I_{1,2}=2 \pi\left(m_{2}+1 / 2\right) ; \theta_{1,2}= \pm \pi / 2\right.$ при $\left.K \ll 1\right)$ неустойчивы для любых $K$, поскольку $\theta_{1} \leqslant \pi / 2$. Первые бифуркационные точки возникают при $K=4$, когда неподвижная точка $\left(I_{1}=2 \pi m_{2}, \theta_{1}=\pi\right.$ ) становится неустойчивой, и остаются устойчивыми при $4<K<2 \pi$. Интервалы устойчивости имеются для сколь угодно больших $K$, если при этом $p$ достаточно велико.
В случае «б» из (4.1.16) следует соотношение
\[
2 \pi(p-1)=K \sin \theta_{1},
\]

которое определяет $\theta_{1}$, а условие устойчивости принимает вид
\[
K^{2} \cos ^{2} \theta_{1}<4 \text {. }
\]

Здесь также имеются первичные точки $I_{1,2}=2 \pi\left(m_{2}+1 / 2\right)$; $\theta_{1}=\pi ; \dot{\theta}_{2}=0$, устойчивые при $K<2$. Первые бифуркационные точки для $p=2$ возникают при $K=2 \pi$, когда аналогичные точки в случае «а» становятся неустойчивыми. Для случая «б» точки устойчивы при $6,28<K<6,59$. Как и в случае «а», имеются интервалы устойчивости для произвольно больших значений $K$ :
\[
(2 \pi)^{2}(p-1)^{2}<K^{2}<(2 \pi)^{2}(p-1)^{2}+4 .
\]

Отметим, что другие отображения могут и не иметь этого специфического свойства [272]. Периодические точки большего периода $(k>2)$ исследованы Шмидтом [363] и Шмидтом и Билеком [364].
Граница стохастичности. Численно легко получить сотни тысяч итераций стандартного отображения (4.1.3) и, таким образом, исследовать его динамику для различных значений $K$ и начальных условий. На рис. 4.3 показано изменение структуры фазовой плоскости с ростом $K$. При малом $K$ ясно видны первичные эллиптические точки $k=1,2$, а также гиперболические точки с их стохасти-

Рис. 4.3. Фазовая плоскость стандартного отображения для разных $K$ (по данным работы [22]).
a – локальная стохастичность вблизи сепаратрис; видны целый и полуцелый резонансы; б- глобальная стохастичность; $в$ – полное разрушение полуцелого резонанса; виден вторичный резонанс 4 -й гармоники вокруг неподвижной точки; $ᄅ-$ первичная неподвнжная точка на пороге устойчивости; инвариантые кривые вытянуты по направлению рождения двух бифуркационных точек.

ческими слоями. Переход от локальной к глобальной стохастичности происходит между $K=0,95$ и $K=1,00$. Более детальные численные исследования дают для границы стохастичности $K \approx 0,9716$ (§44). С ростом $K$ первичные точки периода 2 , а затем и периода 1 становятся неустойчивыми, однако, как видно из рисунка, островки устойчивости существуют и при больших $K$. Таким образом, стандартное отображение, в котором для любого ненулевого значения $K$ нет ни полной интегрируемости, ни сплошного хаоса, является характерным представителем типичной гамильтоновой системы.

На рис. 4.4 показаны четыре траектории стандартного отображения для $K=0,97$, чуть ниже границы стохастичности. Две из них лежат на инвариантных кривых, изолирующих стохастические слои целого ( $k=1$ ) и полуцелого ( $k=2$ ) резонансов. Однако резонанс с $k=4$ уже поглощен стохастическим слоем целого резонанса.
Гамильтониан. Аналогично отображению Улама (п. 3.4д) гамильтониан стандартного отображения получается с помощью периодической $\delta$-функции и имеет вид
\[
H=\frac{I^{2}}{2}+K \cos \theta \sum_{m=-\infty}^{\infty} \exp (2 \pi i m n),
\]

где номер итерации $n$ играет роль времени. Предположим, что $\theta$ – медленная переменная:
\[
\frac{d \theta}{d n} \ll 2 \pi .
\]

Учитывая, что основной вклад дают члены с медленно меняющейся фазой, оставим только слагаемые с $m=0$ и $m= \pm 1$ :
\[
H=\frac{I^{2}}{2}+K \cos \theta+2 K \cos \theta \cos 2 \pi n .
\]

Последний член в правой части будем считать возмущением, тогда невозмущенный гамильтониан
\[
H_{0}=\frac{I^{2}}{2}+K \cos \theta
\]

описывает маятник (п. 1.3a). Его фазовая плоскость показана на рис. 1.4. Частота малых фазовых колебаний вблизи эллиптической точки $\theta=\pi$ равна:
\[
\omega_{0}=K^{12},
\]

а амплитуда колебаний по $I$ есть
\[
\Delta I_{\text {макс }}=2 K^{1.2} .
\]

Поскольку расстояние $\delta I$ между целыми резонансами равно для стандартного отображения его периоду $2 \pi$, параметр перекрытия резонансов имеет вид
\[
\frac{2 \Delta I_{\text {макс }}}{\delta I}=\frac{4 K^{1 / 2}}{2 \pi} .
\]

Это отношение можно выразить через частоту малых фазовых колебаний (4.1.28) или локальное число вращения $\alpha_{0}=\omega_{0} / 2 \pi$ :
\[
\frac{2 \Delta I_{\mathrm{Makc}}}{\delta I}=4 \alpha_{0}=\frac{4}{Q_{0}} .
\]

Здесь $Q_{0}=1 / \alpha_{0}$ – период малых колебаний, выраженный в числе итераций отображения. Соотношение (4.1.31), связывающее отно-
$\square$
Рис. 4.4. Четыре траектории стандартного отображения для $K=0,97$ (по данным работы [165]).
Верхняя и нижняя группы точек принадлежат одной траектория.

сительный размер резонанса с его числом вращения, справедливо для всех соседних резонансов любого порядка ${ }^{1}$ ). Например, из того, что согласно численным данным граница стохастичности приблизительно соответствует появлению вторичных резонансов шестой гармоники ( $\alpha_{0}=1 / 6$ ), вытекает правило «двух третей» $2 \Delta I_{\text {макс }} / \delta I \approx 2 / 3$.
1) Конкретный смысл этого «универсального» утверждения зависит от величины $\delta I$, см. ниже конец п. 4.4а.- Прим. ред.