Рассмотрим движение системы, близкой к интегрируемой, под действием внешнего шума. Резонансы в системе могут значительно усиливать внешнюю диффузию. В п. 5.5б мы уже познакомились с примером такого усиления классической диффузии за счет прохождения резонанса (см. рис. 5.17).

Ниже мы рассмотрим усиление классических процессов переноса вдоль резонансов. Усиление возможно даже для автономной системы с двумя степенями свободы в том случае, когда внешний шум не сохраняет энергию, и система может двигаться вдоль резонансов. Такой процесс был исследован Теннисоном в работе [405 ], основные результаты которой и представлены в п. 6.3а. Родственный процесс диффузии самого резонанса был рассмотрен Чириковым [71] и Коэном и Раулэндсом [80] (п. 6.3б) ${ }^{2}$ ).
6.3а. Резонансное каналирование диффузии ${ }^{3}$ )

Геометрическая картина. Вернемся к гамильтониану (6.1.7)
\[
H_{0}=I_{1}^{2}+\left(6 I_{2}\right)^{2},
\]

резонансные и энергетические поверхности (линии) которого показаны на рис. 6.2. На рис. 6.16 в увеличенном масштабе изображен участок рис. 6.2, ограниченный пунктиром. Введем резонансное возмущение
\[
H_{1}=V_{R}\left(I_{1}, I_{2}\right) \cos \left(6 \theta_{1}-\theta_{2}\right) .
\]

Вектор единственного резонанса $m_{R}=(6,-1)$ определяет направление фазовых колебаний вдоль невозмущенной энергетической поверхности, как показано на рис. 6.16. Пунктиром показана полная ширина резонанса, ограничивающая максимальную амплитуду фазовых колебаний. Центр колебаний лежит на линии резонанса в точке $A$.
1) Как и в случае диффузии Арнольда, здесь существует область Нехорошева (п. 6.2в), в которой диффузия идет под действием комбинационных резонансов высоких гармоник. Для модуляционной диффузии такой режим наблюдался, по-видимому, в численных экспериментах [513].- Прим. ред.
2) Отметим также, что описанная выше модуляционная диффузия, и особенно диффузия Арнольда в тонком слое, становится практически интересной только в присутствии (слабого) внешнего шума, который распространяет такую диффузию на все начальные условия. Можно сказать также, что средняя скорость внешней диффузии резко возрастает за счет диффузии в стохастических слоях (см. [70, §7.7]).- Прим. ред.
${ }^{3}$ ) Авторы используют термин «resonance streaming» (резонансное течение).- Прим. перев.

Рассмотрим теперь влияние не сохраняющего энергию внешнего шума, который мы будем характеризовать мгновенным смещением системы из точки $a$ в точку $b$ на расстояние $l$ (рис. 6.16). При этом центр колебаний сдвигается вдоль линии резонанса из точки $A$ в точку $B$ на расстояние
\[
L=l \frac{\sin \chi}{\sin \psi} .
\]

Рис. 6.16. Резонансное каналирование (по данным работы [405]).
Под действием внешнего шума система переходит из точки $a$ в точку $b$, а центр фазовых колебаний смещается из точки $A$ в точку $B$.
За много случайных смещений среднее от $\sin ^{2} \chi$ будет порядка единицы, тогда как $\sin \psi \approx$ const локально. В результате при $\psi \ll 1$ скорость диффузии вдоль резонанса резко возрастает. Будем называть такую диффузию резонансным каналированием. Определим коэффициент диффузии вдоль резонанса формулой
\[
D_{\text {кан }}=\frac{1}{2} R\left\langle L^{2}\right\rangle,
\]

где $R$ – число случайных смещений системы в единицу времени. Сравним это с классической диффузией по нормали к энергетической поверхности:
\[
D_{\perp . E}=\frac{1}{2} R\left\langle l^{2} \sin ^{2} \chi\right\rangle .
\]

Отсюда
\[
D_{\text {кан }}=\frac{D_{\perp E}}{\sin ^{2} \psi} .
\]

Расчет диффузии. Если коэффициент внешней диффузии $D_{0}$ не зависит от направления на плоскости $\left(I_{1}, I_{2}\right)$, то $D_{E}=D_{0}$ и $D_{\text {кан }}=$ $=D_{0} / \sin ^{2} \psi$. В случае анизотропной диффузии предположим, что тензор внешней диффузии имеет вид
\[
\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ll}
D_{1} & 0 \\
0 & D_{2}
\end{array}\right),
\]
т. е. оси $I_{1}$ и $I_{2}$ совпадают с главными направлениями D. Тогда начальное распределение в виде $\delta$-функции эволюционирует по закону [62]
\[
F=\frac{1}{4 \pi t\left(D_{1} D_{2}\right)^{12}} \exp \left(-\frac{I_{1}^{2}}{4 D_{1} t}-\frac{I_{2}^{2}}{4 D_{2} t}\right) .
\]

Введем новые переменные $I_{1}^{\prime}, I_{2}^{\prime}$, соответствующие повороту осей на угол $\theta$, так что ось $I_{2}^{\prime}$ направлена перпендикулярно энергетической поверхности (рис. 6.16). Имеем
\[
\left(\begin{array}{l}
I_{1} \\
I_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
I_{1}^{\prime} \\
I_{2}^{\prime}
\end{array}\right) .
\]

Подставляя эго соотношение в (6.3.5) и интегрируя по $I_{1}^{\prime}$, получаем
\[
\int F^{\prime}\left(I_{1}^{\prime}, I_{2}^{\prime}, t\right) d I_{1}^{\prime} \propto \exp \left(-\frac{\left(I_{2}^{\prime}\right)^{2}}{4 D_{ \pm E} t}\right),
\]

где
\[
D_{\perp E}^{-1}=\frac{\frac{1}{2}\left(D_{1}^{-2}+D_{2}^{-2}\right) \sin ^{2} 2 \theta+D_{1}^{-1} D_{2}^{-1} \cos ^{2} 2 \theta}{D_{1}^{-1} \cos ^{2} \theta+D_{2}^{-1} \sin ^{2} \theta}
\]
– коэффициент диффузии по $I_{2}^{\prime}$. Зная $D_{\text {. }}$, из (6.3.4) находим $D_{\text {кан }}$. Другой метод состоит в выборе таких новых переменных $\bar{I}$, в которых тензор диффузии становится изотропным. Иначе говоря, константы метрики $g^{i j}$ нового пространства действий выбираются так, чтобы
\[
D^{i j}=\bar{D}_{0} g^{i j},
\]

где $D^{i j}$ – компоненты исходного тензора внешней диффузии, а

$\bar{D}_{0}$ – коэффициент изотропной диффузии. Если, например,
\[
\mathrm{D}=\bar{D}_{0}\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 36
\end{array}\right),
\]

то новые элементы длины равны
\[
\begin{array}{l}
d s_{1}=d I_{1} / \sqrt{g^{11}}=d I_{1}, \\
d s_{2}=d I_{2} / \sqrt{g^{29}}=d I_{2} / 6 .
\end{array}
\]

После этого можно, но не обязательно, сделать формальное преобразование к новым переменным
\[
\bar{I}_{1}=I_{1}, \quad \bar{I}_{2}=\frac{1}{6} I_{2} .
\]

В обоих случаях диффузия будет изотропной. Эти преобразования иллюстрируются на рис. 6.17 для невозмущенного гамильтониана
\[
H_{0}=I_{1}^{2}+I_{2}^{2}
\]

и тензора диффузии (6.3.9). В новых переменных (6.3.11) невозму. щенный гамильтониан (6.3.12) принимает вид
\[
\bar{H}_{0}=\bar{I}_{1}^{2}+\frac{D_{2}}{D_{1}} \bar{I}_{2}^{2}=\bar{I}_{1}^{2}+\left(6 \bar{I}_{2}\right)^{2} .
\]

Замена переменных соответствует производящей функции
\[
F_{2}=\theta_{1} \bar{I}_{1}+6 \theta_{2} \bar{I}_{2},
\]

откуда
\[
\bar{\theta}_{1}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \bar{I}_{1}}=\theta_{1} ; \quad \bar{\theta}_{2}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \bar{I}_{2}}=6 \theta_{2} .
\]

Старое условие резонанса $\omega_{1}-\omega_{2}=0$ заменяется новым
\[
6 \bar{\omega}_{1}-\bar{\omega}_{2}=0,
\]

или в переменных действия
\[
\bar{I}_{2}=\bar{I}_{1} \sqrt{\frac{D_{1}}{D_{2}}}=-\frac{\bar{I}_{1}}{6} .
\]

Тем самым мы фактически пришли к модели невозмущенного гамильтониана (6.1.7). Используя (6.3.13) и (6.3.16), находим $\sin ^{2} \psi=$ $=4 D_{1} D_{2} /\left(D_{1}+D_{2}\right)^{2}$ и соответственно величину коэффициента диффузии центров колебаний в пространстве новых переменных
\[
\frac{1}{\sin ^{2} \psi}=\frac{\bar{D}_{\text {кан }}}{\bar{D}_{0}}=\frac{\left(D_{1}+D_{2}\right)^{2}}{4 D_{1} D_{2}} \approx 9,5 .
\]

Скорость диффузии в исходных переменных получается с помощью обратного преобразования переменных.

Следуя Теннисону [405], рассмотрим пример резонансного каналирования для гамильтониана
\[
H=I_{1}^{2}+\left(6 I_{2}\right)^{2}+V_{R} \cos \left(6 \theta_{1}-\theta_{2}\right)
\]
8
Рис. 6.17. Изменение масштаба и преобразование переменных для перехода к изотропной диффузии (см. текст).
Прямая линия – резонанс связи; пунктирная линия – линия постоянной знергии.
с $V_{R}=10^{-5}$. Будем считать, что внешний пум вызывает периодические (с периодом $T=1$ ) смещения $\Delta I_{1}=0, \Delta I_{2}=10^{-5}$ sin $r_{n}$, где $r_{n}$ – случайные числа, равномерно распределенные в интервале $(0,2 \pi)$. На рис. 6.18 показаны последовательные положения системы, усредненные по интервалам $\Delta t=500$ и соединенные прямыми линиями. Начальные условия (точка $I$ на рис. 6.18) выбирались на линии резонанса (пунктирная линия). В процессе диффузии траектория в конце концов выходит из резонанса и оканчивается в точке $F$. Диффузия вдоль резонанса и есть резонансное каналирование. Движение под острым углом к резонансной линии связано с прохождением резонанса (ср. рис. 5.17). Оно идет почти

Рис. 6.18. Резонансное каналирование для модели (6.3.17) (по данным работы [405]).
Ломаная линия – численные данные для траектории движения, усредненной на интервалах $\Delta t \approx 500 \approx 3 T_{0}$, где $T_{0}$ – пернод малых фазовых колебаний; $I, F$ – начальная и конечная точки траектории; пунктирная линия – линия резонанса.

вдоль линии постоянной энергии. Наконец, вертикальное движение по обе стороны от точки $F$ есть результат медленной классической диффузии по $I_{2}$ вдали от резонанса.

Резонансное каналирование возможно лишь для достаточно сильного (широкого) резонанса, когда время внешней диффузии поперек резонанса
\[
\tau_{D}=\frac{\left(\Delta I_{R}\right)^{2}}{2 D_{\perp R}}
\]

велико по сравнению с периодом фазовых колебаний
\[
\tilde{\omega}_{R} \tau_{D}>2 \pi \text {. }
\]

Здесь $\Delta I_{R}$ и $D_{\perp R}$ – полная ширина резонанса и скорость внешней диффузии, перпендикулярная линии резонанса, а $\tilde{\omega}_{R}$ – частота фазовых колебаний. В примере Теннисона $\Delta I_{R} \approx 3 \times 10^{-3}$, $D_{\perp R} \approx 10^{-8}, \tau_{D} \approx 450, \tilde{\omega}_{R} \approx 0,03$, так что условие $\tilde{\omega}_{R} \tau_{D} \approx$ $\approx 14>2 \pi$ выполняется.

Резонансное каналирование при условии (6.3.18) соответствует так называемой банановой диффузии частиц в тороидальных магнитных ловушках при редких столкновениях. Такое название происходит от формы инвариантных кривых внутри резонанса (см. рис. $6.22, a)^{2}$ ). С ростом уровня шума условие (6.3.18) перестает выполняться и происходит переход к режиму, при котором скорость диффузии не зависит от величины шума,- к так называемому режиму плато ${ }^{2}$ ). Чириков [71] и Коэн и Раулэндс [80] исследовали этот режим на модели, описанной в п. 6.3б. Мы отложим обсуждение этого режима до § 6.4, где рассматривается диффузия частиц в тороидальных магнитных ловушках при наличии резонансов. Наконец, при еще большей интенсивности шума резонансная структура уже не играет никакой роли, и возникает третий режим чисто классической диффузии. В § 6.4 мы обсудим также и этот режим. Средняя скорость диффузии в системе со многими (неперекрывающимися) резонансами зависит также от доли фазового пространства, занятого резонансами.

Резонансное каналирование имеет место и в многомерных системах [405]. Внешняя диффузия усиливается вдоль резонансной поверхности в направлении проекции на нее вектора резонанса $\left.{ }^{3}\right) \boldsymbol{m}_{R}$.

Теннисон [405] полагает, что такого типа диффузия может быть причиной «раздувания» встречных пучков в накопительных кольцах. Возможно также, что подобное усиление диффузии имеет место и в различных установках магнитного удержания и нагрева плазмы. Теннисон отметил также, что в диссипативных системах с затуханием по обеим степеням свободы резонансное каналирование может привести к быстрому увеличению одной из переменных действия. Он сравнивает это с движением парусной лодки против
1) В отечественной литературе используется также термин «диффузия Будкера», который первым предсказал и дал оценку такой диффузии (см. примечание редактора на с. 336 и [71]).- Прим. ред.
2) В отечественной литературе он называется также режимом ГалееваСагдеева, которые построили теорию диффузии в этих условиях [510, 71]. В рассматриваемой задаче такой режим имеет место только в случае многих резонансов. – Прим. ред.
3) В отличие от двух степеней свободы усиление внешней диффузии возможно здесь, вообще говоря, и в том случае, когда внешний шум сохраняет энергию, например, при рассеянии частицы (см. работу [405], рис. 8).Прим. ред.

ветра. Представим себе, что на рис. 6.16 лодка находится в точке $a$ и может двигаться только вдоль линии резонанса. Пусть плоскость паруса параллельна вектору $\boldsymbol{m}_{R}$, а ветер, диссипативная сила, давит в направлении от $a$ к $b$. Тогда если наклон линии резонанса отрицательный, то результирующая сила будет направлена от $A$ к $B$, и лодка будет идти «на ветер» по $I_{2}$, хотя при этом полная энергия системы будет уменьшаться.
6.3б. Диффузия резонанса

Модельное отображение. Рассмотрим явное отображение поворота (3.1.17)
\[
\begin{aligned}
J_{n+1} & =J_{n}+f(\mu) \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+1} & =\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}, \mu\right),
\end{aligned}
\]

где $J, \theta$ – канонические переменные, а $\mu$ – дополнительный параметр. Вводя периодическую $\delta$-функцию, эти уравнения можно записать в форме гамильтоновых дифференциальных уравнений типа (3.1.34). Пусть теперь изменение параметра $\mu$ описывается независимым уравнением
\[
\mu_{n+1}=\mu_{n}+\zeta_{n},
\]

где $\zeta_{n}$ – случайная переменная. Тогда в системе (6.3.19) с $\mu=$ $=\mu_{n+1}$ возникает внешняя диффузия, аналогичная описанной в п. 6.3а. Такой подход использовался Чириковым [71] и Коэном и Раулэндсом $[80]$ при исследовании процессов переноса в магнитных ловушках.

Для упрощения анализа линеаризуем отображение (6.3.19) по переменным $J$ и $\mu$ в окрестности $\mu=\mu_{0}$ и неподвижной точки $\left(J_{0}, \theta_{0}\right)$, положив $\theta_{0}=0$ и определив $J_{0}$ из уравнения $\alpha\left(J_{0}, \mu_{0}\right)=k$, где $k$ – целое число. В результате получаем расширенное стандартное отображение:
\[
\begin{array}{l}
I_{n+1}=I_{n}-K \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+I_{n+1}+P_{n+1}, \\
P_{n+1}=P_{n}+\xi_{n} / \tau^{1 / 2},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
I_{n}=2 \pi-\frac{\partial \alpha}{\partial J_{0}}\left(J_{n}-J_{0}\right), \\
P_{n}=2 \pi-\frac{\partial \alpha}{\partial \mu_{0}}\left(\mu_{n}-\mu_{0}\right), \\
K=2 \pi f\left(\mu_{0}\right) \frac{\partial \alpha}{\partial J_{0}}, \\
\xi_{n}=2 \pi \frac{\partial \alpha}{\partial \mu_{0}} \tau^{1 / 2} \zeta_{n} .
\end{array}
\]

Здесь $K$ – параметр стохастичности; $\xi_{n}$ – нормированная случайная переменная: $\left\langle\xi_{n}\right\rangle=0$ и $\left\langle\xi_{n}^{2}\right\rangle=1$, а
\[
\tau=\left(2 \pi \sigma \frac{\partial \alpha}{\partial \mu_{0}}\right)^{-2}
\]
– безразмерный параметр, характеризующий случайную величину $\zeta_{n}\left(\left\langle\zeta_{n}^{2}\right\rangle=\sigma^{2}\right)$. Иначе говоря, $\tau$ равно числу итераций отображения, за которое средний квадрат $P$ становится равным единице:
\[
\left\langle P^{2}\right\rangle=n / \tau \text {. }
\]

Если $K \gg 1$, то резонансы перекрываются и диффузия по $I$ определяется приближенно квазилинейным выражением (5.4.21б):
\[
D_{1}=\frac{\left\langle(\Delta I)^{2}\right\rangle}{2}=\frac{K^{2}}{4} .
\]

В этом случае фаза $\theta$ является полностью стохастической, и диффузия не зависит от внешнего шума по параметру $\mu$. При $\tau \ll 1$ внешний шум полностью хаотизирует $\theta$ за одну итерацию отображения, и скорость диффузии оказывается предельной (6.3.26) независимо от величины $K$. Нас, однако, интересует случай совместного действия резонансов и внешнего шума (ср. п. 6.3a), который имеет место при выполнении условий
\[
K \ll 1 ; \quad \tau \gg 1 .
\]

В этой области изменения переменных $I$ и $P$ за одну итерацию малы, так что разностные уравнения (6.3.21) можно аппроксимировать следующей системой дифференциальных уравнений ${ }^{1}$ ):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d n}=K \sin \theta, \\
\frac{d \theta}{d n}=I+P, \\
\frac{d P}{d n}=\xi / \tau^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Диффузия резонанса. Уравнения (6.3.28а) и (6.3.28б) имеют гамильтониан
\[
H=I^{2} / 2+P(n) I+K \cos \theta,
\]

описывающий «блуждающий» резонанс с центром при $I=-P(n)$. Используя (6.3.25), получаем
\[
\left\langle I^{2}\right\rangle=\left\langle P^{2}\right\rangle=\frac{n}{\tau} .
\]
1) В отличие от отображения (6.3.21) уравнения (6.3.28) описывают единственный резонанс $I+P=0 .-$ Прим. ред.

Локальный коэффициент диффузии внутри резонанса ${ }^{1}$ ) равен
\[
D_{r}=\frac{\left\langle I^{2}\right\rangle}{2 n}=\frac{1}{2 \tau} .
\]

Это выражение справедливо при условии, что траектория остается внутри резонанса в течение многих периодов фазовых колебаний, т. е. что параметр
\[
S \equiv \omega_{0} \tau_{d} \gg 1 .
\]

Здесь $\omega_{0}$ – частота фазовых колебаний, а $\tau_{d}$ время внешней диффузии через резонанс. Поскольку ширина резонанса $\sim K^{1 / 2}$, то из (6.3.30) получаем оценку
\[
\tau_{d} \sim K \tau .
\]

С другой стороны, частота фазовых колебаний $\omega_{0} \approx$ $\approx K^{1 / 2}$, и условие (6.3.32a) принимает вид
\[
S \sim K^{32} \tau \gg 1 .
\]

Фактически замена переменных
\[
\begin{aligned}
P^{\prime} & =K^{-12} P, \\
I^{\prime} & =K^{-1} \cdot 2 \\
n^{\prime} & =K^{\prime / 2} n
\end{aligned}
\]

показывает, что $S$ является единственным параметром уравнений (6.3.28).

Рис. 6.19. Связь между резонансным каналированием (a) (п. 6.3а) и диффузией резонанса (б) (п. 6.3б).
1) Точнее коэффициент диффузии вместе с резонансом. – Прим. ред.

Хотя локальный коэффициент диффузии представляет некоторый интерес и сам по себе, более важно знать среднюю скорость диффузии. Ее можно найти следующим образом. Если пренебречь диффузией вне резонанса (ср. п. 5.5б) ${ }^{1}$ ), то средняя скорость диффузии пропорциональна доле времени, проводимого траекторией внутри резонанса, которая в свою очередь пропорциональна фазовой площади, занимаемой резонансом. Используя гамильтониан (6.3.29) и учитывая периодичность исходного отображения (6.3.21) по $I$, получаем для относительной фазовой площади резонанса
\[
f_{r}=\frac{4(2 K)^{1 / 2} \int_{0}^{\pi}(1-\cos \theta)^{1 / 2} d \theta}{(2 \pi)^{2}}=\frac{4 K^{1 / 2}}{\pi^{2}} .
\]

Отсюда средний коэффициент диффузии
\[
\langle D\rangle=D_{r} \dot{I}_{r}=\frac{2}{\pi^{2}} \frac{K^{1 / 2}}{\tau} .
\]

Помимо диффузии вместе с резонансом происходит еще и диффузия внутри резонанса. Последний эффект был рассмотрен Коэном и Раулэндсом [81], которые получили поправку к (6.3.31) при $K \ll 1$ :
\[
D_{r}=\frac{1}{2 \tau}\left(1+\frac{1}{2-K / 2}\right) .
\]

Неясно, однако, справедлива ли эта поправка в случае длительной диффузии при многократном попадании в резонансы. Қак бы то ни было, эта поправка составляет всего около $50 \%$. По-видимому, такого же порядка и другие ошибки, в частности, из-за приближений вблизи сепаратрисы ${ }^{2}$ ). Поэтому можно принять выражение (6.3.33) в качестве разумной оценки средней скорости диффузии.

Связь с резонансным каналированием. Сравним расчет козффициента диффузии вдоль резонанса $D_{\text {кан }}$ в п. 6.3 а с проведенным выше расчетом $D_{r}$. Мы покажем, что при некоторых упрощающих предположениях эти задачи можно связать друг с другом.

Рис. 6.19, а напоминает схему расчета $D_{\text {кан }}$. Внешняя диффузия с коэффициентом $D_{\perp E}$ перпендикулярно энергетической поверхности вызывает диффузию вдоль резонанса со скоростью
\[
D_{\text {кан }}=D_{\perp E} / \sin ^{2} \psi \text {. }
\]
1) Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе [71].- Прим. ред.
2) По-видимому, имеется в виду нерезонансная диффузия вблизи резонанса. Согласно работе [71], эта поправка становится заметной только при $S \geqq 10^{3}$. С другой стороны, соотношение (6.3.33) совпадает с точностью лучшей $10 \%$ с результатом Рютова и Ступакова [357], полученным ранее другим методом. Поэтому поправка Коэна и Раулэндса остается проблематичной. Если понимать ее как результат прохождения резонанса, то в рассматриваемом режиме Будкера ( $S \gg 1$ ) прохождение является медленным, и средний эффект многих прохождений близок к нулю (см. [467]).Прим. ред.

На рис. $6.19,6$ показано то же самое в новых переменных $I_{1}^{\prime}, I_{2}^{\prime}$, так что внешняя диффузия с коэффициентом $D$ идет теперь по линии $I_{2}^{\prime}$, а вектор резонанса $m$ направлен по $I_{1}^{\prime}$. При этом величина $D_{\perp E}$ и угол $\psi$ не изменяются. Наконец, на рис. 6.19 , в мы еще раз переходим к новым переменным
\[
P=I_{2}^{\prime} \operatorname{ctg} \psi, \quad I=I_{1}^{\prime},
\]

что эквивалентно растяжению масштаба по $I_{2}^{\prime}$ в $\operatorname{ctg} \psi$ раз.
Линия резонанса проходит теперь под углом $45^{\circ}$, а коэффициент внешней диффузии возрастает
\[
D_{P}=D_{\perp E} \operatorname{ctg}^{2} \psi .
\]

Рассматривая $P$ как параметр и используя (6.3.30), находим, что компонента диффузии по $I$ равна $D_{r}=D_{P}$. Сравнивая (6.3.35) и (6.3.4), получаем
\[
D_{r}=D_{\text {кан }} \cos ^{2} \psi \text {. }
\]

Этим устанавливается соответствие между резонансным каналированием и диффузией резонанса ${ }^{1}$ ).

Аналогичные соотношения можно получить и для многих степеней свободы, используя ортогональную метрику, описанную Чириковым [70].