§ 22.2. МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ

Оценивание параметров траекторий, заданных детерминированными функциями, при фиксированном объеме выборки.

Как отмечалось в § 4.9, для решения данной задачи можно воспользоваться методом максимального правдоподобия, поскольку в этом случае конечное число параметров, постоянных на интервале наблюдения, полностью определяет оцениваемую функцию. Оценим параметры траектории, заданной полиномом первой степени. Полученные при этом общие результаты будут справедливы для любых функций данного класса.

Пусть на вход устройства вторичной обработки поступают результаты измерений полиномиальной функции в дискретные, не обязательно равноотстоящие, моменты времени (рис. 22.5). Априорная информация о законах распределения и отсутствует. Так как измерения содержат случайные погрешности, то результаты измерений имеют вид

где - погрешности измерения соответствующих параметров радиосигнала устройствами первичной обработки, имеющие гауссовское распределение с заданными корреляционными свойствами.

Задача состоит в получении оценок постоянных параметров и по результатам измерений . На основании (22.9) построим систему уравнений

(22.10)

Введя обозначения

запишем систему (22.10) в матричной форме:

(22.12)

На основе этого представления задач оценивание векторного параметра может быть осуществлено в общем виде для любой функции из класса детерминированных, зависящих от конечного числа параметров и допускающих запись в виде .

Для оценки векторного параметра , входящего в уравнение (22.12), воспользуемся методом максимального правдоподобия. Используя формулу (1.6) для многомерной гауссовской ПВ, запишем выражение для ФП:

(22.13)

где — корреляционная матрица вектора погрешностей измерений. Оценка максимального правдоподобия векторного параметра находится из решения уравнения правдоподобия

(22.14)

логарифм ФП по векторному подвекторному аргументу , получим

Следовательно,

(22.15)

Чтобы подчеркнуть линейность этой оценик, запишем ее в виде

где матричный оператор

Корреляционная матрица ошибок оценки с учетом соотношений (22.12), (22.16) и (22.17) может быть рассчитана следующим образом:

При выводе этого соотношения использованы свойство симметричности корреляционных матриц, правила транспонирования произведения и обращения транспонированной квадратной матрицы

(22.19)

Таким образом, матричный оператор G, определяемый формулой (22.17), окончательно можно записать в виде

(22.20)

Вернемся к оцениванию параметров полинома первой степени. Подставив в (22.15) выражения для и из (22.11) с учетом предположения о независимости, равноточности и равнодискретности измерений, когда для любых , после несложных преобразований получим

(22.21)

(22.22)

где — весовые функции оценки координаты и скорости.

Структурная схема алгоритма вычисления оценок параметров линейной траектории при фиксированном объеме выборки приведена на рис. 22.6, а. На рис. 22.6, б показаны весовые функции и для . Следует отметить, что эти функции всегда удовлетворяют соотношениям

(22.23)

Поскольку для вычисления оценок в данном фильтре используются только N последних измерений, такие фильтры называются фильтрами с конечной памятью.

Корреляционная матрица ошибок оценивания параметров находится путем подстановки соотношений (22.11) в (22.18). При тех же условиях независимости, равноточности и равнодискретности измерений выражение для корреляционной матрицы можно привести к следующему окончательному виду:

Рис. 22.6

(22.24)

Диагональные элементы этой матрицы определяют дисперсии ошибок оценивания координаты , и скорости . На рис. 22.7 приведены зависимости нормированных элементов корреляционной матрицы от объема выборки. Из анализа этих зависимостей следует, что для получения достаточно точных оценок параметров линейной траектории необходимо проводить

С вычислительной точки зрения рассматриваемый алгоритм имеет две особенности.

Рис. 22.7

Во-первых, для его реализации требуется запоминать все N отсчетов, по которым вычисляется оценка, во-вторых, с приходом очередного измерения необходимо повторять все вычисления для получения текущих оценок параметров, что требует выполнения операций умножения и сложения на каждом шаге. Более экономичным по требуемому объему памяти и числу операций являются рекуррентные алгоритмы. В таких алгоритмах результаты новых измерений учитываются только путем внесения поправок в значение уже имеющейся оценки, причем полностью повторять все вычисления заново не нужно.

Рекуррентное оценивание параметров полиномиальных траекторий. Для решения этой задачи можно воспользоваться алгоритмом фильтра Калмана, рассмотренным в § 4.9 и справедливым как для детерминированных, так и для марковских моделей. Ограничиваясь случаем линейной траектории, запишем уравнение состояния дискретной динамической системы, моделирующей эту траекторию в виде

(22.25)

(22.26)

— ее переходная матрица. Компоненты вектора состояния и имеют смысл координаты и скорости ее изменения.

Так как на вход устройства вторичной обработки поступают результаты измерений координаты, то уравнение наблюдений имеет вид

(22.27)

где

(22.28)

— матрица измерений; — дискретный белый шум с корреляционной функцией .

Подставив соотношения (22.26) и (22.28) в формулы (4.88) — (4.90), определяющие уравнения оценки, корреляционную матрицу ошибок фильтрации и матричный коэффициент усиления фильтра, после элементарных преобразований получим

Рис. 22.8

(22.29)

(22.30)

(22.31)

Структурная схема алгоритма, построенного в соответствии с формулами (22.29) — (22.31), приведена на рис. 22.8. Этот алгоритм описывает дискретный фильтр с двумя интеграторами, коэффициенты усиления которого и , влияющие на эффективную ширину полосы пропускания фильтра, являются переменными. Функциональный вид этих коэффициентов зависит от априорных данных, заданных вектором и корреляционной матрицей . При радиолокационных измерениях эти характеристики зависят от распределения ошибок ввода и, следовательно, от способа построения и качества работы устройств первичной обработки. На рис. 22.9 (сплошные кривые) приведены графики и , рассчитанные на ЭВМ при .

Рис. 22.9

Если априорная информация о векторе состояния полностью отсутствует, т. е. ( — единичная матрица), то в случае равноточных и равнодискретных измерений возможно получение явных аналитических зависимостей для коэффициентов усиления и Воспользуемся для этого выражением (22.30), из которого непосредственно следует, что

(22.32)

Подставив поочередно равенства (22.32) одно в другое, получим

(22.23)

Так как априорная информация о начальных значениях параметров траектории отсутствует, то . Приняв во внимание соотношения (22.26) и (22.28), выражение для корреляционной матрицы ошибок фильтрации можно привести к следующему виду:

(22.34)

Учтя равенство , найдем окончательное выражение для матричного коэффициента усиления фильтра:

(22.35)

Графики для коэффициентов усиления и , построенные в соответствии с формулой (22.35), показаны на рис. 22.9 (пунктирные линии). Как следует из приведенных зависимостей, основная особенность коэффициентов усиления фильтра и заключается в их стремлении к нулю при . Физически это означает, что с течением времени по мере уточнения оценок параметров траектории эффективная полоса пропускания фильтра сужается, роль текущих измерений становится все меньшей и при со фильтр размыкается, переходя в режим выдачи оценок экстраполяции.

При этом стремятся к нулю и элементы корреляционной матрицы ошибок оценивания и . Данное свойство фильтра является следствием допущения о точном значении модели траектории и ее детерминированном характере, в результате чего придается неоправданно большой вес прошлым измерениям. Поэтому если реальная траектория не совпадает с принятой моделью, например, за счет маневра, информация о котором не поступает на вход фильтра из-за малости его коэффициентов усиления, то оценки параметров траектории существенно отличаются от их истинных значений и фильтр будет расходящимся. Фильтры, в которых оценка вырабатывается по всей предыстории входного процесса, называются фильтрами с растущей памятью, поскольку число измерений, участвующих в формировании оценки, с увеличением i неограниченно возрастает. Таким образом, фильтр Калмана является примером фильтра с растущей памятью. Из изложенного следует, что для предотвращения эффекта расходимости оценок необходимо ограничить память фильтра. Это можно сделать различными способами, важнейшими из которых являются:

1) использование в алгоритме (22.29) постоянных значений коэффициентов усиления фильтра . При этом последним измерениям придается такой же вес, как и прошлым. Фильтры такого типа называются фильтрами с эффективной конечной памятью;

2) выбор коэффициентов усиления G, на основе гипотезы об экспоненциальном старении данных, что проявляется в увеличении со временем элементов корреляционной матрицы ошибок оценок экстраполяции. Эти фильтры образуют класс экспоненциальных фильтров Калмана;

3) применение рекуррентных аналогов фильтров с конечной памятью, рассмотренных ранее.

Остановимся кратко на характеристиках перечисленных типов фильтров, нашедших широкое применение в устройствах вторичной обработки сигналов радиолокационных и радионавигационных систем.

Из фильтров с эффективной конечной памятью наиболее часто используются полиномиальные фильтры второго порядка, называемые -фильтрами, и фильтры третьего порядка, известные в литературе как -фильтры. Рассмотрим -фильтры. Структурная схема этих фильтров приведена на рис. 22.8 для и (отсюда и их название).

Пользуясь методами теории автоматического регулирования, можно показать, что дискретная передаточная функция - фильтра по координате имеет вид

(22.36)

где — дискретный оператор задержки.

Знание передаточной функции позволяет обоснованно подойти к выбору коэффициентов усиления и с точки зрения обеспечения устойчивости фильтра, требуемой длительности и качества переходного процесса, получения минимума среднеквадратического значения суммарной ошибки фильтрации в установившемся режиме при заданном ускорении на .

Для экспоненциальных фильтров Калмана уравнение оценки, определяющее алгоритм их работы, можно записать в виде (22.29). Однако коэффициенты усиления фильтра и , а также корреляционные матрицы ошибок фильтрации и экстраполяции имеют уже иной вид. Для их нахождения воспользуемся теми же допущениями и той же методикой, что и при выводе выражений (22.34) и (22.35). С учетом гипотезы об экспоненциальном старении данных выражение (22.33) для матрицы, обратной корреляционной матрице ошибок фильтрации, можно записать в виде

(22.37)

где ; — эмпирически задаваемый коэффициент, характеризующий скорость старения данных. Обычно . Так как , то элементы корреляционной матрицы , при отличны от нуля. Следовательно, отличны от нуля и установившиеся значения коэффициентов усиления и , в результате чего расходимость фильтра устраняется. Можно показать, что при

(22.38)

Рис. 22.10

Рекуррентные полиномиальные фильтры с конечной памятью имеют те же характеристики, что и соответствующие нерекуррентные фильтры, описываемые соотношением (22.20). Однако для их реализации требуется меньшее число операций умножения, что особенно важно при микропроцессорном исполнении устройств вторичной обработки. Структурная схема рекуррентного фильтра с конечной памятью приведена на рис. 22.10. Расчетные соотношения, определяющие уравнение оценки, корреляционную матрицу ошибок фильтрации и матричные коэффициенты усиления фильтра, имеют следующий вид:

(22.39)

(22.40)

где

(22.41)

(22.42)

(22.43)

Такой фильтр представляет собой двухконтурную систему с обратной связью, причем верхний контур (рис. 22.10) образует фильтр Калмана для текущих измерений , а нижний — для измерений , задержанных относительно текущих на N тактов.

Для образования невязки (обновляющего процесса) во втором фильтре используется оценка интерполяции . Так как рассматриваемый фильтр линейный и для него справедлив принцип суперпозиции, формулы полностью аналогичны формулам , описывающим фильтр Калмана с учетом дополнений, вызванных наличием второго контура. Нетрудно показать, что данный фильтр имеет импульсную характеристику конечной длительности. Действительно, импульсный отклик, возникающий в верхнем контуре фильтра при подаче на его вход -импульса, полностью компенсируется через промежуток времени АТД откликом, возникшим в нижнем контуре. В этом можно убедиться, анализируя непосредственно прохождение -импульса через фильтр первого порядка при и . Соответствующая импульсная реакция представляет собой пачку из N -импульсов одинаковой амплитуды.

При оценке параметров линейной траектории коэффициенты, усиления фильтра, определяемые соотношениями (22.42) и (22.43), с учетом выражений (22.26) и (22.28) вычисляются следующим образом:

(22.44)

При матричный коэффициент усиления рассчитывается по формуле (22.35), как и в полиномиальном фильтре Калмана, . Таким образом, при вводе, когда , рассматриваемый фильтр с конечной памятью работает, как фильтр Калмана, а начиная с к работе подключается второй контур и параметры фильтра остаются далее постоянными.

Опенивание параметров траекторий, описываемых марковскими моделями. Как отмечалось, такими моделями часто описывают траектории маневрирующих объектов. При этом стохастическое дифференциальное уравнение вида (22.2) определяет векторный марковский процесс одним из компонентов которого является траектория объекта.

В § 4.9 показано, что для получения оценки такого процесса следует использовать алгоритм фильтра Калмана, задаваемый соотношением и реализуемый с помощью цифровых вычислительных устройств. Однако предварительно необходимо осуществить переход от дифференциального уравнения (22.2), описывающего поведение реального объекта в непрерывном времени, к конечно-разностному уравнению вида (4.79), определяющему его состояние в дискретные моменты. Это легко сделать, используя известное решение уравнения

(22.2), имеющее вид

(22.45)

где — переходная матрица состояния системы; — оператор обратного преобразования Лапласа.

Полагая и вводя обозначения

(22.46)

(22.47)

уравнение (22.45) приведем к виду , после чего можно применить формулы , описывающие дискретный алгоритм калмановской фильтрации.

Остановимся на некоторых важных для практических положений частных случаях использования алгоритмов дискретной фильтрации. Прежде всего рассмотрим случай, когда в модели траектории и канала измерений присутствуют неизвестные воздействия или сигналы, которые можно считать постоянными на интервале наблюдения. Например, сигналы измерений могут содержать медленно меняющиеся составляющие из-за дрейфов параметров усилителей измерительной аппаратуры вследствие методических погрешностей измерений или воздействия внешних возмущений.

Уравнения состояния и измерений для этого случая можно записать так:

(22.48)

где а, b — постоянные во времени случайные векторы.

Следовательно,

(22.49)

Решение задачи фильтрации для модели (22.48), (22.49) может быть найдено методом расширения вектора состояния системы. Рассматривая и как добавочные компоненты этого вектора, получаем следующую модель системы:

Уравнения (22.50) и (22.51), являющиеся уравнениями состояния и измерений расширенной системы, позволяют построить фильтр Калмана по формулам . Структурная схема этого фильтра приведена на рис. 22.11. В нем помимо производится оценка векторов и , причем определяется и точность этих оценок, выражаемая соответствующими элементами корреляционной матрицы ошибок фильтрации. Более общим является случай, когда а и b — временные полиномы с постоянными, но не известными коэффициентами. При этом в расширенный вектор состояния в качестве дополнительных компонентов вводят все параметров полинома степень).

Метод расширения вектора состояния применим и для дискретной фильтрации в случае коррелированного шума измерений. При этом предполагают, что последний можно аппроксимировать компонентом векторного марковского процесса.

Рис. 22.11

Таким образом, модель фильтруемого сообщения имеет вид процесса. Таким образом, модель фильтруемого сообщения имеет вид

а в модели шум измерений получается на выходе формирующего фильтра, возбуждаемого белым гауссовским шумом , т. е.

где — переходная матрица.

Наличие корреляции между элементами последовательности не позволяет непосредственно построить фильтр Калмана для рассматриваемой модели. Поэтому, образовав расширенный вектор состояния в виде , получим следующее описание модели расширенной системы:

Алгоритм оптимальной фильтрации для этой системы непосредственно следует из уравнений (4.88) и может быть записан в виде

(22.54)

Структурная схема фильтра приведена на рис. 22.12. В нем осуществляется совместное оценивание вектора состояния и коррелированного шума измерений , результаты которого используют при нахождении общего

Рис. 22.12

Рис. 22.13

Следует, однако, отметить, что подобный подход к решению задачи фильтрации при коррелированных шумах измерений имеет два существенных недостатка: 1) из-за расширения вектора состояния системы и увеличения общей размерности задачи возрастают требования к необходимому объему вычислений; 2) из-за отсутствия шума в уравнении измерений расширенной системы (22.53) на определенном этапе вычислений корреляционная матрица становится вырожденной, что может привести к расходимости оценки. Указанные недостатки можно исключить, если ввести в уравнение измерений (22.53) аддитивный шум с нулевым средним и положительно определенной для всех корреляционной матрицей . Если присутствие такого шума в уравнении измерений необоснованно, то для решения данной задачи следует использовать разностную схему измерений .

Рассмотрим некоторые особенности реализации алгоритмов фильтрации в многоканальных системах. При большой размерности вектора измерений , когда число каналов приема сигнала N велико, фильтр Калмана, построенный непосредственно по формулам , получается сложным и при реализации на ЭВМ требует значительного объема вычислений. Для уменьшения этого объема используют фильтры с предварительным сжатием входных данных (рис. 22.13).

Сущность такого сжатия заключается в том, что сначала на каждом шаге измерений по данным всех каналов с помощью нерекуррентного алгоритма формируется предварительная оценка вектора состояния, в результате чего уменьшается размерность вектора эквивалентных измерений поступающего на вход основного фильтра Калмана, и тем самым сокращается необходимый для его реализации объем вычислений.

Алгоритм фильтрации с предварительным сжатием входных данных можно получить путем преобразования основного уравнения калмановской фильтрации (4.88) следующим образом. Перепишем выражение (4.88) с учетом того, что при многоканальной фильтрации с независимыми шумами измерений в каналах

где обозначает диагональную матрицу. В результате получим

(22.55)

Полагая, что все измерители однотипны, т. е. , выражение (22.55) можно записать в виде

(22.56)

где

(22.57)

— вектор эквивалентных измерений, являющийся результатом сжатия входных данных.

Структурная схема алгоритма (22.56) приведена на рис. 22.13. Вектор эквивалентных измерений образуется

как нормированная относительно величины весовая входных реализаций всех каналов, причем весовые коэффициенты обратно пропорциональны соответствующим дисперсиям шумов измерений. В основном фильтре Калмана производится окончательное оценивание процесса с учетом принятой для него модели.