§ 4.6. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА НА ФОНЕ АДДИТИВНОГО НОРМАЛЬНОГО ШУМА

Рассмотрим случаи, когда помехой является аддитивный нормальный шум. Практические основания для первоочередного внимания к помехам этого типа были изложены в § 2.4. Чтобы учесть и возможность наличия у сигнала мешающих параметров, введем обозначение , где , -мерный вектор неизвестных параметров сигнала. Считая шум стационарным и белым (случай «окрашенного» шума отдельно не рассматривается, ибо, как было выяснено в § 3.8, выбеливание позволяет свести его к случаю белого шума), для функционала ПВ процесса при условии наличия в нем сигнала можно записать [см. (2.6)]

где — некоторая константа. «Читая» функционал ПВ «наоборот», т. е. как функцию условия при фиксированной реализации , получим ФП параметра .

После раскрытия скобок в показателе экспоненты получим (см. §2.4)

где — корреляционный интеграл (корреляция) принятой реализации с сигналом — энергия сигнала — коэффициент, зависящий от . Таким образом, «правдоподобие» некоторого значения при принятой реализации определяется тем, насколько последняя похожа на сигнал [мерой сходства служит при этом - см. § 2.4], а также энергией сигнала с данным значением .

Если сигнал не содержит мешающих параметров, то и необходимая ФП

В тех случаях, когда при известной ПВ желательно сразу исключить из , с тем чтобы оценивать лишь -мерный вектор полезных параметров , согласно соотношению (4.29), имеем

Рассмотрим случай, когда в число неизвестных параметров (полезных или мешающих) входит начальная фаза сигнала . Предположим, что, за исключением , сигнал не имеет других неинформационных параметров. Модель такого сигнала можно записать как , где - гильбертова комплексная огибающая сигнала, зависящая только от информационных параметров — известная центральная частота. При этом вектор -мерный. Тогда

где — аналитические сигналы, отвечающие и . Воспользовавшись тем, что для любого комплексного , а также соотношением , справедливость которого проверяется с помощью равенства Парсеваля для преобразования Гильберта (см. § 3.2), будем иметь

(4.33)

где

Примем во внимание, что энергия сигнала не зависит от начальной фазы и в рассматриваемом случае

Поэтому, согласно (4.30) и (4.33)

,

Если по тем или иным причинам подлежит оценке наряду с , т. е. — информационный или мешающий (не интерпретируемый наблюдателем как случайный с известной априорной ПВ) параметр, то ФП (4.36) можно использовать для отыскания ОМП и . В этом случае ФП (4.36) есть просто расшифровка ФП (4.31) с учетом конкретной природы одного из оцениваемых параметров — начальной фазы . Если же — случайный мешающий параметр с определенной статистикой, то можно исключить из ФП согласно (4.32). Можно указать ряд приложений (импульсная локация, связь по федингующим каналам и , в которых начальную фазу допустимо считать равновероятной на интервале :

Тогда, усредняя ФП (4.36) в соответствии с равенством (4.32), получим ФП параметра .

в которой модифицированная функция Бесселя нулевого порядка появилась по той же причине, что и в ОП (3.13).

Выражения для ФП (4.31), (4.36) и (4.38) позволяют установить и физически интерпретировать правила ОМП параметров сигнала на фоне гауссовского шума. Так, из выражений (4.31), (4.28) следует, что ОМП параметра в отсутствие у сигнала мешающих параметров есть значение , максимизирующее показатель правой части (4.31) или величииу :

(4.39)

При измерении неэнергетических, т.е. таких, от которых не зависит энергия сигнала , параметров, правило (4.39) упрощается:

(4.40)

Как видно, ОМП к неэнергетического параметра есть такое его значение, при котором принятая реализация обладает наибольшим сходством (корреляцией) с . Поэтому в реальном времени, т. е. без запоминания реализации , оценку неэнергетического параметра сигнала, не содержащего неизмеряемых параметров, можно сформировать согласно рис. 4.5, располагая набором М корреляторов , на которые параллельно подается входная реализация , в то время как опорные колебания во всех корреляторах различны и являются копиями сигнала с различными значениями параметра .

Рис.4.5.

Решающий блок РБ выдает в качестве оценки значение в опорном колебании канала с максимальным выходным эффектом. Число каналов М в такой схеме может быть равно числу различных значений , если последний дискретен, или в общем случае — числу значений , перепутывания которых наблюдатель допустить не может. Нетрудно видеть, что схема рис. 4.5 является оптимальным (действующим по правилу МП) различителем М детерминированных сигналов равной энергии , что подтверждает единство задач различения сигналов и оценки их параметров, отмеченное в § 4.2, 4.4. Уместно напомнить, что корреляции можно вычислять и с помощью согласованных с сигналами фильтров, заменив ими (в последовательном соединении со схемами временной выборки) корреляторы на рис. 4.5. Если бы параметр к был энергетическим, то схему рис. 4.5 (или ее эквивалент с согласованными фильтрами) пришлось бы несколько усложнить, вычтя в каждом из каналов из корреляций значения .

Пусть среди оцениваемых параметров наряду с присутствует и начальная фаза . Тогда на основании равенств (4.28), (4.36) ОМП и можно найти путем максимизации по и числителя в показателе экспоненты в правой части (4.36). Очевидно, при любом к максимум этой величины по достигается при . Поэтому правило ОМП параметров , имеет вид

(4.41)

(4.42)

где определяют по (4.34), (4.35). Если параметр неэнергетический, то оценка его предельно упрощается и вместо (4.41), (4.42) имеем

(4.43)

(4.44)

Смысл алгоритма (4.43), (4.44) будет особенно нагляден, если в соотношениях (4.34), (4.35) выразить аналитические сигналы через соответствующие комплексные огибающие. Подставив — комплексная огибающая колебания и в равенство (4.34), получим

В таком виде есть корреляция комплексных огибающих принятого колебания и сигнала , у которого вектору информационных параметров придано значение . Таким образом, правило (4.43) предусматривает выдачу в качестве ОМП к того значения , при котором указанная корреляция максимальна по абсолютному значению и, следовательно, комплексные огибающие принятой реализации и сигнала и имеют максимальное сходство. При этом ОМП фазы равна аргументу корреляции (4.45) с комплексной огибающей сигнала, у которого вектору к придано значение его ОМП .

Чтобы прийти к структуре, реализующей ОМП (4.43), (4.44), учтем, что действительная и мнимая части аналитического сигнала связаны преобразванием Гильберта (то же верно и в отношении и ).

Теорема Парсеваля вместе с соотношением (1.3), связывающим спектры и и позволяет получить равенства

где , — преобразования Гильберта колебаний и . Поэтому из соотношений (4.34), (4.35) следует

(4.46)

где

(4.47)

(4.48)

Так как ; и - действительная огибающая и известный закон угловой модуляции сигнала — не зависящие от квадратурные составляющие сигнала , то из (4.46) — (4.48) следует, что модуль и аргумент корреляции комплексных огибающих и есть полярные координаты (длина и угол с горизонтальной осью) двумерного вектора (комплексного числа) с декартовыми координатами и , равными корреляциям колебания с квадратурными компонентами сигнала (см. § 3.2, 3.7). Таким образом, схему измерителя, работающего по правилу (4.43), (4.44), можно представить как набор М пар квадратурных корреляторов К (рис. 4.6), каждая из которых формирует пару корреляций и с двумя копиями квадратурных компонентов сигнала и . Преобразователь П декартовых координат в полярные переводит и в и , после чего решающий блок РБ отбирает в качестве ОМП , то , которое использовано в опорах пары корреляторов с наибольшим выходным эффектом . За ОМП принимают на выходе преобразователя того канала, где . Число каналов в этой схеме выбирают так же, как в схеме рис. 4.5. Предусмотрев вычитание из всех поправок , нетрудно приспособить схему рис. 4.6 для формирования ОМП параметра , включающего и энергетические компоненты согласно (4.41), (4.42).

Рассмотрим ОМП параметра сигнала со случайной фазой, имеющей априорную ПВ (4.37).

Применив алгоритм(4.28) к ФП (4.38), видим, что ОМП к можно найти из условия

Если параметр — неэнергетический, то достаточно максимизировать по , так что правило ОМП

совпадает с (4.43). Поэтому ОМП к есть вновь то , при котором комплексные огибающие и максимально близки, и, следовательно, для формирования к можно опять использовать схему рис. 4.6, в которой, однако, вычислять и подавать на РБ теперь незачем, поскольку фазу оценивать не требуется. При этом схема рис. 4.6 оказывается обычным, работающим по правилу МП различителем М сигналов равной энергии со случайными начальными фазами (см. § 3.7). Величины можно интерпретировать и как отсчеты в момент Т огибающих на выходах фильтров, согласованных с сигналами . Поэтому каждую цепочку из пары квадратурных корреляторов и преобразователя П на рис. 4.6 можно заменить последовательно соединенными согласованным фильтром, детектором огибающей и схемой временной выборки (см. рис. 3.17).

Рис. 4.6

Формальное несовпадение правил (4.49) и (4.41) при энергетическом параметре может вызвать некоторое недоумение. Действительно, наблюдателю, даже абсолютно уверенному в случайности и равновероятности , никто не вправе запретить включить в число оцениваемых параметров, с тем чтобы по окончании измерений отбросить ОМП (4.42) как ненужную. Что же лучше: опираться на случайность фазы и, следовательно, пользоваться алгоритмом (4.49) либо оценивать фазу и тем самым предпочесть правило?

Не будем забывать, однако, что для высокоинформативных измерений необходимо заметное преобладание сигнала над шумом . При этом с большой вероятностью для всех , достаточно близких к истинному значению измеряемого параметра [для таких близко к ]. С учетом асимптотики логарифма функции Бесселя для больших аргументов (см. § 3.4) . Ясно, что в этих условиях правила (4.49) и (4.41) совпадают.

В заключение отметим, что учет физической природы измеряемых величин нередко позволяет обходиться при формировании ОМП средствами более простыми, чем иллюстрируемые рис. 4.5, 4.6. Такая возможность будет использована в примерах, рассматриваемых в гл. 5.