§ 4.4. ОЦЕНКИ ПО МАКСИМУМУ ПРАВДОПОДОБИЯ

Требование (4.25) накладывает жесткие ограничения на вид ФП: преобразуя его, можно убедиться, что равносильным необходимым и достаточным условием существования эффективной оценки скалярного параметра к является принадлежность к довольно специфическому (экспоненциальному) классу функций. Более того, при несуществовании эффективной оценки не всегда удается построить несмещенную оценку, хотя бы удовлетворяющую критерию (4.16), предписывающему минимизировать условную дисперсию равномерно по (т. е. одновременно для всех истинных значений ). Возможны случаи, когда в одной области значений лучшим будет одно правило оценки, а в другой — другое. Аналогичные выводы можно сделать и для векторного параметра .

Однако в практических задачах измерения, как правило, должны выполняться с высокой точностью, для достижения которой экспериментатор заранее принимает необходимые меры. Такой мерой при радиотехнических измерениях является обеспечение достаточной длительности наблюдений или заметного превышения помех сигналом. В подобных условиях наблюдателя может удовлетворить правило оценки, гарантирующее несмещенность и равномерный по к минимум условной дисперсии асимптотически, т. е. при неограниченном увеличении интервала анализа или уровня сигнала. Именно такими асимптотически оптимальными свойствами и обладает оценка по максимуму правдоподобия (ОМП).

В качестве ОМП измеряемого вектора к берут значение , максимизирующее ФП для наблюдаемой реализации . Как отмечалось, оценка параметров сигнала есть разновидность различения сигналов, поэтому алгоритм ОМП не нов — это разновидность введенного в § 2.2 правила МП, распространенного и на континуальные множества различаемых сигналов.

Поскольку максимум ФП достигается на тех же , что и максимум логарифма ФП, правило ОМП можно записать в виде

В теории оценок доказывается, что при выполнении некоторых достаточно общих условий регулярности ФП (в частности, дифференцируемости по всем ) относительно ОМП справедливы следующие утверждения:

1) ОМП — асимптотически несмещенная;

2) ОМП параметров асимптотически совместно эффективны;

3) ОМП параметров асимптотически совместно нормальны с корреляционной матрицей К, обратной информационной матрице Фишера:.

Здесь термин «асимптотически» означает соблюдение условий достижения высокой точности измерений; он является кратким эквивалентом словосочетания «при большом времени наблюдения или большой энергии сигнала».

Следовательно, во-первых, наблюдатель, заинтересованный в надежных измерениях, может принять в качестве оптимальной стратегию формирования оценки по максимуму правдоподобия, причем уверенность в том, что эта оценка наилучшая, будет тем более обоснованной, чем больше время наблюдений или энергия сигнала, и, во-вторых, условные дисперсии ОМП, асимптотически стремящиеся к границам Крамера — Рао, при точных измерениях могут рассчитываться как правые части неравенств (4.24),(4.26).

Перечислим дополнительно некоторые важные свойства ОМП:

1) если строго (а не только асимптотически) эффективная оценка существует, то ОМП и является этой оценкой. Для скалярного измеряемого параметра это вытекает из условия (4.25). Поэтому наблюдатель, придерживающийся правила ОМП, не только убежден в асимптотической оптимальности решений, но и застрахован от того, чтобы не заметить эффективную оценку, если таковая существует;

2) ОМП инвариантна к замене переменных. Пусть вектор является функцией некоторого вектора . Тогда ОМП вектора есть любое значение которому отвечает образ , где — ОМП , так как если максимизирует ФП , то , для которого , максимизирует ФП .

Это свойство важно для практики, ибо дает возможность находить ОМП одних параметров через ОМП других;

3) ОМП являются асимптотически байесовскими оценками. Действительно, при измерениях высокой точности, как указывалось в § 4.2, апостериорная ПВ значительно «острее» априорной. Поэтому в соотношении (4.14) практически постоянна в области значений , где сосредоточена апостериорная ПВ которая, таким образом, повторяет по форме ФП . Благодаря этому апостериорная мода совпадает с ОМП. Учитывая, что по мере сужения апостериорной ПВ (увеличения точности измерений) все байесовские оценки сближаются, можно утверждать, что ОМП асимптотически совпадает с байесовской оценкой при любых априорной ПВ и функции потерь.

Изложенное позволяет рассматривать правило ОМП как универсальную и безотказную методику оценки параметров сигналов. Являясь эффективной в тех случаях, когда эффективная оценка существует, ОМП в условиях надежных измерений обладает практически наилучшими характеристиками, в том числе и в байесовском смысле. Последнее имеет принципиальное значение, объединяя оба подхода, рассмотренных в § 4.2, 4.3. Поэтому дальнейшее изучение теории оценки (но не фильтрации — см. § 4.9) параметров сигналов опирается на использование правила ОМП.