§ 2.2. РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Статистические критерии различения детерминированных сигналов. Для того чтобы задача поиска, или синтеза, оптимальных правил различения сигналов обрела математическую содержательность, необходимо прежде всего задаться некоторым формальным показателем (критерием) качества различения, т. е. количественной мерой, суммирующей ущерб, наносимый ошибочными решениями.

Введение такого показателя не является плодом каких-либо формально-теоретических выкладок: при решении вопроса

об адекватности того или иного критерий реальной ситуации исследователь или проектировщик, учтя все специфические стороны последней, во многом опирается на здравый смысл и техническую интуицию. Избранный на этом этапе критерий в дальнейшем воспринимается как аксиома.

В тех задачах, которые удается свести к проверке простых гипотез, продуктивным оказывается критерий минимума среднего риска, называемый также критерием Байеса. Для того чтобы наиболее наглядно ввести связанную с ним систему понятий и терминов, обратимся к конкретному примеру различения М детерминированных сигналов , на фоне помех с полностью заданным статистическим описанием, т. е. с точно известной ПВ любой размерности или точно известным функционалом ПВ. В рамках такой модели различения ПВ любой размерности или функционал ПВ наблюдаемого колебания при условии, что в входит сигнал с номером — некоторая вполне определенная функция, вид которой зависит лишь от номера . При этом имеется М классов, содержащих по одному распределению, т. е. различение сигналов состоит в проверке простых гипотез.

Предположим, что известна вероятность присутствия в сигнала . Эту вероятность называют априорной (доопытной), поскольку она отражает сведения, которыми располагает наблюдатель, еще не имея в распоряжении реализации и показывает, насколько часто при длительной эксплуатации изучаемой системы можно ожидать появления в . Для систем М-ичной цифровой связи, например, вероятность , характеризует среднюю частоту, с которой посылается в канал. Очевидно, вероятность можно назвать и априорной вероятностью истинности записав . Ясно также, что подчинены условию нормировки , ибо события составляют полную группу несовместных событий.

Предположим, что - условная вероятность перепутывания сигнала с , т. е. принятия решения [о присутствии в ] при условии, что истинна [в содержится ]. Следовательно, множество вероятностей при составляет набор условных вероятностен всех ошибочных решений.

Эти вероятности для любого фиксированного способа различения сигналов можно вычислить, так как помехи считаются полностью статистически заданными (см. далее).

Введем неотрицательных величин ПЛ, каждая из которых характеризует риск (потери, ущерб) от перепутывания -го сигнала с . При этом правильные решения считаются не наносящими ущерба, так что . Для наглядности можно считать некими денежными штрафами, уплачиваемыми за ошибки.

В каждой отдельной попытке различения сигналов итог (решение) оказывается случайным событием, а поэтому случайным будет и значение риска. Очевидно, безусловную вероятность того, что риск окажется равным , по теореме умножения вероятностей можно найти как , поэтому математическое ожидание риска или средний риск

Критерий Байеса, или минимального среднего риска, предписывает добиваться минимума (2.1). Различитель, оптимальный по этому критерию (байесовский различите , при длительной эксплуатации будет наиболее «экономичным» из всех, поскольку сумма штрафов за ошибки у него окажется наименьшей.

Хотя задание рисков (часто и априорных вероятностей ) достаточно произвольно, практическая ценность критерия Байеса чрезвычайно велика, так как он, обобщая ряд других критериев, позволяет получить универсальный ответ на вопрос о наилучшей стратегии различения сигналов. Предположим, например, что, не имея объективных данных для назначения всех рисков, разработчик стремится лишь к тому, чтобы различитель как можно реже ошибался, т. е. чтобы полная вероятность ошибки

была минимальной. Нетрудно видеть, что такой критерий качества, называемый критерием идеального наблюдателя или критерием Котельникова, можно рассматривать как частный случай байесовского, положив в (2.1) , , где П — произвольная неотрицательная константа. При этом и минимизация среднего риска равносильна минимизации (2.2).

Представим теперь, что затруднение вызывает задание не только рисков, но и априорных вероятностей. Подобная картина типична, например, для радиолокационного обнаружения. Тогда определить полную вероятность ошибки нельзя, но можно предложить вполне удовлетворительный критерий качества — критерий минимума суммы условных вероятностей ошибок

Легко убедиться, что это частный случай байесовского критерия, в котором . Действительно, после этих подстановок (2.1) примет вид , указывающий на идентичность задач минимизации .

В частном случае рассматриваемая задача переходит в обнаружение детерминированного сигнала на фоне помех с известным статистическим этом условные вероятности и на статистическом языке называют вероятностями ошибок первого и второго рода. Согласно терминологии, принятой в радиоэлектронике, эти же величины именуют более выразительно — вероятности ложной тревоги и (сигнала), понимая под ложной тревогой факт решения об обнаружении сигнала при условии, что он в наблюдаемом колебании не содержится, а под пропуском — объявление о том, что сигнала в нет при условии, что в действительности он в присутствует. Далее для вероятностей ложной тревоги и пропуска будут использованы обозначения и . Средний риск при обнаружении где и — риски, связанные с ложной тревогой и пропуском; — априорная вероятность отсутствия в . Соотношения (2.2) и (2.3) в этом случае можно представить в виде

Помимо введенных общих критериев, не связанных с какими-либо допущениями относительно числа М проверяемых гипотез, при обнаружении часто применяют критерий Неймана — Пирсона, предписывающий добиваться минимума вероятности пропуска при ограничении сверху на вероятность ложной тревоги .

В математической дисциплине, называемой нелинейным программированием и занимающейся вопросами отыскания условных (в заданных областях аргументов) экстремумов функций многих переменных, доказывается известная теорема Куна—Таккера, согласно которой минимизация при равносильна безусловной минимизации целевой функции , где неопределенный коэффициент Лагранжа. Положив и приведя (2.1) к виду , нетрудно убедиться в возможности интерпретации и этого критерия как частного случая байесовского.

Правила оптимального различения обнаружения. Попытаемся выяснить, какой стратегии должен придерживаться байесовский различитель М детерминированных сигналов. При этом в свете ранее изложенного сразу будут установлены и стратегии функционирования различителен, оптимальных по критериям минимума и , а также обнаружителя Неймана — Пирсона.

Предположим, что из наблюдаемой реализации доступны лишь дискретных отсчетов , составляющих вектор наблюдения . Обобщение на случай непрерывного наблюдения в дальнейшем не составит труда. Пусть — условная ПВ вектора при условии, что верна гипотеза т. е. что в содержится . Так как помехи полностью статистически заданы, то — некая конкретная функция, удовлетворяющая условиям где, как и далее, отсутствие пределов интеграла соответствует интегрированию по всей области задания функции.

Любая нерандомизированная (не включающая преднамеренно введенных действий со случайным исходом типа бросания жребия) процедура различения М сигналов может интерпретироваться следующим образом. Допустим, что -мерное пространство векторов разбито на М (соответственно числу различаемых сигналов) непересекающихся областей решения :

Тогда принятие решения различителем сводится к указанию номера области, в которую попал вектор наблюдения . Если , то принимается решение о присутствии в сигнала . Возможность такой «геометризации» различения сводит поиски оптимальной стратегии различителя к отысканию наилучшего разбиения на области решений.

В случае обнаружения число областей решения также равно двум: , причем область называют допустимой (при принимают решение об истинности ), а область -критической (при гипотезу отклоняют и принимают решение ).

Для того чтобы найти оптимальное правило разбиения, подставим в (2.1) выражения для условных вероятностей ошибок , вытекающие из определения

областей .Тогда

Очевидно, «назначение» конкретной конфигурации областей решения сводится к тому, чтобы, перебрав все векторы , расписать их по М областям, включив каждый в одну и только одну область . При этом, как следует из последней формулы, каждый вектор войдет в одно и только одно слагаемое суммы по , отвечающее той области, за которой он закреплен. Поэтому минимума можно добиться, если охватить областью именно те векторы , для которых подынтегральное выражение в интеграле минимально. Следовательно, разбиением на области , минимизирующим , будет такое, при котором в включаются векторы (и только они), удовлетворяющие системе неравенств

Если перейти к случаю непрерывного наблюдения (к пространствам бесконечной размерности), то ПВ в (2.4) превратятся в функционалы ПВ , т. е. область принятия решения определится системой М неравенств

Таким образом, байесовский различитель, наблюдая реализацию , должен установить номер для которого совместно выполнены неравенства (2.5), и принять решение о наличии в сигнала с номером . Представим это правило в виде, который и далее будет использоваться для записи алгоритмов различения сигналов:

где символ указывает на решение, принимаемое при одновременном выполнении всех неравенств в (2.6). Отметим, что величину

называют условным или апостериорным [вычисленным для данной конкретной наблюдаемой реализации ] средним риском. Поэтому выражение (2.6) подразумевает вычисление для анализируемой реализации значений условного среднего риска , и принятие решения о наличии в сигнала с тем номером , для которого значение минимально.

Рассмотрим важнейшие частные случаи. Для идеального наблюдателя, минимизирующего (2.2), следует положить . Тогда выражение (2.6) примет вид

На основании формулы полной вероятности

согласно (2.7), получим

Так как, по теореме умножения вероятностей, , то соотношение (2.8) может быть переписано как

Величина определяет апостериорную (обратную, послсопытную) вероятность гипотезы т. е. вероятность наличия -гo сигнала в с учетом всех сведений, которые можно извлечь из наблюдаемой реализации . Следовательно, идеальный наблюдатель принимает решение в пользу сигнала, имеющего наибольшую апостериорную вероятность, т. е. действует по правилу максимума апостериорной вероятности (МАВ).

Если данные об априорных вероятностях ненадежны и проектировщик предпочел критерий минимума суммы условных вероятностей ошибок (2.3), то соответствующее оптимальное правило различения можно получить из (2.8) при :

Функционал ПВ — условной ПВ, определенной при условии истинности гипотезы [присутствия в ], — рассматриваемый как функция номера гипотезы при фиксированной реализации , называют функцией (функционалом) правдоподобия (ФП). Таким образом, стратегия различителя, минимизирующего (2.3), сводится к использованию правила максимума правдоподобия (МП), т. е. к подстановке принятой реализации в выражение для ФП, известное в силу детерминированности сигналов и статистической определенности помех, и подбору , максимизирующего ФП.

В случае обнаружения детерминированного сигнала выражение (2.6) можно переписать так:

где расстановка символов и показывает, вьшолнение какого из неравенств влечет за собой принятие соответствующего решения. Правило (2.11) традиционно представляют в виде

называя отношение двух значений ФП отношением (коэффициентом) правдоподобия (ОП). Как видно, байесовский обнаружитель детерминированного сигнала должен для полученной реализации вычислить ОП и сравнить его с порогом , зависящим от рисков и априорных вероятностей отсутствия и наличия сигнала.

Если разработчик обнаружителя ориентируется на критерий идеального наблюдателя, то в выражении (2.12) следует положить , что превратит его в правило МАВ, сделав пороговый уровень равным . Аналогично, принятие за основу критерия минимума придаст (2.12) вид правила МП, для которого .

Наконец, стратегию обнаружителя,оптимального по Нейману — Пирсону, также можно описать соотношением (2.12), если значение выбрать из условия поддержания вероятности ложной тревоги не выше заданного уровня.

Как видно, обнаружители, оптимальные по любому из рассмотренных критериев, должны выполнять одни и те же действия: вычислять ОП и сравнивать его с порогом. От конкретного критерия зависит лишь значение порога, и поэтому обнаружитель, наилучший по одному критерию, трансформируется в оптимальный по другому простым изменением порога

Завершим параграф одним существенным для дальнейшего рассуждением. Хотя выражения (2.6) — (2.12) однозначно определяют последовательность действий оптимальных различителен, соображения практического плана нередко толкают на путь таких модификаций этих правил, реальное воплощение которых (аппаратурное или программное) оказалось бы наиболее простым. В основе подобных модификаций лежит переход от величин, фигурирующих в (2.6) — (2.12), к так называемым статистикам — величинам, заменяющим ФП, ОП и т. п. без потери оптимальности соответствующего правила. Так, достаточными статистиками при различении сигналов по правилу МАВ будут величины , по правилу МП — , при и , где — любая монотонно изменяющаяся функция. Действительно, если, например, функция монотонно возрастает, то система неравенств

равносильна системе неравенств в (2.10), поэтому правило

есть просто эквивалентная запись правила МП (2.10).