§ 3.3. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНЫМИ АМПЛИТУДОЙ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ

Во многих практических задачах случайным параметром обнаруживаемого сигнала наряду с начальной фазой является и его амплитуда. В этом случае в модель сигнала (3.9) вводят дополнительный случайный параметр — амплитуду А:

Когда амплитуда и начальная фаза независимы, совместная априорная ПВ А и . Согласно (2.20), ОП

(3.20)

где и имеют тот же смысл, что и в (3.10), т. е. представляют собой корреляцию принятого колебания с сигналом единичной амплитуды в функции от фазы и энергию . Считая ПВ начальной фазы равномерной и выполняя в (3.20) интегрирование по с учетом результатов § 3.2, получим

(3.21)

где величина Z определена в (3.11), (3.14).

Так как подынтегральное выражение в (3.21) неотрицательно, а — монотонная функция своего аргумента при , то также монотонная функция статистики и структура оптимального обнаружителя при любом распределении будет такой же, как и для сигнала со случайной начальной фазой и фиксированной амплитудой. Таким образом, структуры, приведенные на рис. 3.7, 3.8, сохраняют оптимальность и в том случае, когда у сигнала случайна не только фаза, но и амплитуда, причем конкретный вид ПВ может влиять только на пороговые значения .

Вероятность ложной тревоги определяется первым из выражений (3.18). Для вычисления вероятности пропуска необходимо задать вид распределения так как

(3.23)

где — вероятность пропуска сигнала с конкретным значением А. Чаще других на практике встречается рэлеевская модель флуктуаций амплитуды

(3.23)

хорошо согласующаяся, например, с реальными мерцаниями сигналов, отраженных от радиолокационных целей, федингом в линиях радиосвязи и т. п.

Выбор параметра здесь произволен, так как истинная огибающая сигнала в момент есть и увеличение А во сколько-то раз при соответствующем уменьшении значения огибающей не изменит. Обычно выбирают из условия . При этом средняя энергия сигнала равна энергии сигнала Е при единичной амплитуде. Так как для рэлеевской случайной величины то для выполнения условия необходимо, чтобы .

Для рэлеевских флуктуаций А значение можно вычислить, не прибегая к интегрированию в (3.22). Действительно, мгновенные значения радиосигнала с начальной фазой, распределенной равномерно, и с амплитудой, флуктуирующей по закону Рэлея, нормальны с нулевым средним. Таким образом, при истинности гипотезы на выходе СФ (см. рис. 3.8) наблюдается сумма независимых нормальных процессов, один из которых (шум) имеет дисперсию [см. (3.4)], а другой (сигнал) — . Поскольку эта сумма нормальна и имеет нулевое среднее, ПВ при гипотезе описывается не (3.17), а (3.16), т. е. является рэлеевской (вместо обобщенной рэлеевской), причем фигурирующий в (3.16) параметр теперь равен . Поэтому

При получим

где h имеет тот же смысл, что и в (3.18), а параметр обнаружения q соответствует сигналу с единичной амплитудой, т. е. усредненному по А значению мощности сигнала при флуктуациях, описываемых (3.23). Для построения характеристик обнаружения служит равенство, следующее из (3.24) и формулы для в (3.18):

Характеристики обнаружения сигнала со случайной фазой и рэлсевскими флуктуациями амплитуды на рис. 3.6 нанесены штрихпунктиром.

Их особенность состоит в том,что они пересекают аналогичные кривые для сигнала фиксированной амплитуды, соответствующие тем же значениям . Объясняется это тем, эпизодические большие выбросы флуктуирующей амплитуды увеличивают вероятность обнаружения сигнала с малым значением в области же больших q провалы интенсивности флуктуирующего сигнала (замирания) резко замедляют рост как функции .