ГЛАВА 5. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ И РАСЧЕТА ТОЧНОСТИ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

§ 5.1. ОЦЕНКА ВСЕХ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

В данной главе приводятся примеры применения изучавшейся в гл. 4 теории к конкретным радиотехническим задачам оценки параметров сигналов, т. е. измерения параметров, постоянных в течение наблюдений. Практическим примерам фильтрации посвящен специальный раздел — гл. 22.

Рассмотрим простейшие примеры оценки всех неизвестных параметров сигнала. Напомним, что все неизвестные параметры оцениваются в том случае, когда либо мешающие (неинформационные) параметры сигнала отсутствуют, либо наблюдатель включает мешающие параметры в число измеряемых.

Оценка амплитуды сигнала. Пусть сигнал имеет вид , где — амплитуда, подлежащая измерению и являющаяся единственным неизвестным параметром сигналу — сомножитель, задающий форму сигнала и имеющий единичную энергию ределим сначала структуру, реализующую ОМП соответствующего параметра (в данном случае ), а затем рассчитаем потенциальную точность измерения. Поскольку А — энергетический параметр, для решения первой из поставленных задач воспользуемся правилом ОМП (4.39), в котором

где .

Тогда оценкой максимума правдоподобия А будет точка максимума по А функции . Единственный максимум этого квадратного двучлена соответствует значению , так что .

Таким образом, ОМП амплитуды сигнала, не содержащего мешающих параметров, можно получить как отсчет на выходе коррелятора с опорой (рис. 5.1, а) или фильтра, согласованного устройств реализации .

Рис.5.1

Разумеется, и коррелятор, и СФ должны опрашиваться в момент завершения формирования , т. е. в момент окончания входного сигнала , для чего на рис. 5.1 используется схема временной выборки (перемножитель, на один вход которого подан узкий импульс единичной амплитуды , смещенный по времени на ).

Расчет потенциальной точности при измерении амплитуды тривиален, так как равенство означает, что дисперсия ОМП совпадает с дисперсией корреляции . Таким образом, вычислять дисперсию ОМП по общей методике (см. § 4.7) не нужно. Из следует, что . Отметим, что это равенство точное и не связано с асимптотическими свойствами ОМП. Кроме того, измерение амплитуды является редким примером существования строго эффективной оценки, которой и служит ОМП в силу перечисленных в § 4.4 свойств последней. Действительно, (4.31) после учета (5.1) приводит к результату

свидетельствующему о выполнении необходимого и достаточного условия существования строго эффективной оценки (4.25).

Более информативным показателем точности ОМП амплитуды, чем , служит дисперсия относительной ошибки , равная , где . Таким образом, для повышения точности измерения амплитуды есть только один путь — увеличение отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра .

Совместная оценка амплитуды и фазы (оценка комплексной амплитуды). Пусть помимо амплитуды А неизвестна и подлежит измерению и начальная фаза сигнала , где — известная комплексная огибающая, учитывающая детерминированные законы амплитудной и угловой модуляции сигнала.

Эквивалентной является задача измерения единственного комплексного параметра — комплексной амплитуды ,. Положим, как и в предыдущем случае, что сигнал единичной амплитуды имеет и единичную энергию .

При получении структур, реализующих ОМП и , можно воспользоваться материалом § 4.6 для случая, когда фаза измеряется наряду с другими параметрами сигнала. Подставив в формулу (4.45) вместо величину , получим , где - корреляция комплексных огибающих принятого колебания и сигнала единичной энергии . Так как , то, максимизируя правую часть (4.41) по А, для ОМП А амплитуды А имеем , после чего для ОМП фазы в соответствии с (4.42) найдем . Для практического осмысления найденных правил ОМП достаточно обратиться к формулам (4.46) — (4.48), согласно которым и есть полярные координаты плоского вектора с декартовыми компонентами

где — квадратурные составляющие сигнала . Таким образом, для формирования А и необходимо вычислить корреляции с и и перевести декартовы координаты в полярные по правилу

Второе слагаемое в последнем равенстве обусловлено тем, что значения арктангенса лежат в пределах , тогда как интервал определения фазы .

Структуры, с помощью которых осуществляется оценка А и , представлены на рис. 5.2, а, б.

Рис.5.2

Первая из них — обычная пара квадратурных корреляторов и преобразователь П декартовых координат в полярные. Возможность применения второй следует из того, что отсчет комплексной огибающей на выходе фильтра, согласованного с , в момент окончания входного сигнала (см. § 3.2). Поэтому и являются амплитудой и фазой колебания на выходе упомянутого фильтра и, следовательно, могут быть получены как выборки на выходе детектора огибающей ДО и фазового детектора ФД при .

В данном примере, как и в последующих, строго эффективных оценок не существует и потому приходится довольствоваться асимптотической эффективностью ОМП. Расчет дисперсий последних в асимптотическом приближении нетрудно произвести на основании соотношений (4.51), (4.26), в первое из которых следует подставить в качестве . вектор всех оцениваемых параметров, в данном случае двумерный вектор . Тогда

Считая , имеем

Так как интеграл в последнем равенстве есть энергия сигнала единичной амплитуды , то . Следовательно,

и так как ОМП А и асимптотически совместно нормальны с корреляционной матрицей (см. § 4.4), то они асимптотически независимы в силу диагональности полученной матрицы . Кроме того, условные дисперсии и

Таким образом, дисперсия А имеет то же значение, что и при оценке одной амплитуды, а дисперсия оценки фазы сигнала определяется только фактическим (отвечающим истинному значению амплитуды А) отношением сигнал/шум на выходе СФ. Поэтому при неизвестной энергии сигнала никаким изменением его формы или параметров повысить точность оценки фазы (как и амплитуды) нельзя.

Получешше результаты содержат в себе и решение более простой задачи оценки только фазы сигнала, не содержащего никаких неизвестных параметров: . Действительно, поскольку и зависит от того, известна амплитуда А или подлежит оценке, то для формирования ОМП при известной амплитуде сигнала по-прежнему пригодны схемы рис. 5.2, в которых выход А не используется, а следовательно, могут быть исключены все операции по вычислению длины вектора в схеме рис. 5.2, а и цепочка, включающая ДО, в схеме рис. 5.2, б. Условная дисперсия ОМП выразится соотношением (5.2), в которое в качестве q (А) подставляют величину , соответствующую энергии Е сигнала с известной амплитудой.

Отметим также, что когда фаза — неинформационный неизвестный параметр и требуется измерять лишь амплитуду, то схемы рис. 5.2 упрощаются путем исключения звеньев, формирующих (вычислителя угла в П на рис. 5.2, а и цепочки, содержащей ФД, на рис. 5.2, б).

Оценка времени запаздывания сигнала. Предположим, что информационным параметром сигнала служит время запаздывания и других неизвестных параметров сигнал не содержит. Тогда . Пусть также — длительность сигнала, а наблюдения, начинающиеся при , для любых имеют продолжительность .

Так как в этих условиях выражение от не зависит, то время запаздывания оказывается неэнергетическим параметром и поэтому его ОМП, согласно правилу (4.40), можно получить непосредственно с помощью схемы рис. 4.5, где опорными сигналами корреляторов служат копии сигнала с различным временем запаздывания. Можно, однако, прийти и к иной реализации измерителя , не предполагающей «распараллеливания» обработки по многим каналам. Действительно, в правой части (4.40) можно записать как

где - импульсная характеристика фильтра, согласованного с . Из полученного выражения, являющегося интегралом Дюамеля, следует, что корреляцию принятой реализации с копиями сигнала, имеющими различное время запаздывания, формирует СФ в последовательные моменты времени, отличающиеся от соответствующих лишь известным слагаемым . Поэтому ОМП можно найти пропустив сначала через СФ, а затем зафиксировав момент достижения колебанием на выходе СФ своего максимума на интервале наблюдения. Вычитание из величины позволяет определить искомую ОМП времени запаздывания . Изложенное иллюстрируется рис. 5.3, а, где РБ — решающий блок, фиксирующий момент максимума на выходе СФ, а также эпюрами на рис. 5.3, б, оцифровка которых соответствует номерам точек на рис. 5.3, а.

Рис.5.3

Так как — единственный измеряемый и к тому же неэнергетический параметр, то дисперсию его ОМП в асимптотическом случае можно найти из (4.60). Стационарность ФН по очевидна, так как после замены переменных подпадает под определение (4.52). Имеет смысл, однако, придать второй производной ФН (4.60) форму, способствующую более наглядному выявлению взаимосвязи точности оценки запаздывания со структурой и параметрами сигнала. Перейдем к Фурье-спектру сигнала и применим теорему Парсеваля к ФН (4.52), учтя, что по теореме запаздывания спектром будет . Тогда

откуда

Таким образом, из равенства (4.60) для дисперсии ОМП следует

где

— эффективная или среднеквадратическая частота спектра сигнала . Как видно, является моментом инерции плоской фигуры под кривой (энергетическим спектром сигнала, нормированным так, чтобы площадь под ним была единичной) относительно оси и потому характеризует «размах» спектра относительно нулевой частоты.

Если измеряется время запаздывания видеосигнала, спектр которого сосредоточен вблизи нулевой частоты, то имеет смысл ширины спектра , которая связана обратной зависимостью с протяженностью по корреляционной функции сигнала , т. е. длительностью отклика СФ на (в данном случае названная корреляционная функция в точности совпадает с ФН по параметру ). Следовательно, расширение спектра «обостряет» максимум сигнала на выходе СФ, и этот более острый максимум под действием шума одного и того же уровня будет флуктуировать по времени относительно своего истинного положения с меньшим разбросом, чем тупой. В этом и заключена физическая природа снижения с расширением спектра видеосигнала.

Для радиосигнала, у которого спектр сконцентрирован в окрестности центральных частот , где - "центр тяжести" плоской фигуры под кривой ,

Так как первое слагаемое здесь является моментом инерции плоской фигуры под при относительно ее центра тяжести, то его степень определяет некоторую эффективную ширину спектра , для узкополосных сигналов значительно меньшую центральной частоты: . Поэтому и дисперсия (5.3)

что свидетельствует о возможности повышения точности ОМП за счет увеличения центральной частоты спектра радиосигнала, т. е. номинала несущей. Физика подобного явления очевидна — увеличивая , можно сделать более острым пик высокочастотного заполнения сигнала на выходе СФ, временное положение которого и дает оценку (рис. 5.3, б). Напомним в то же время, что расчет по границе Крамера—Рао не учитывает аномальные ошибки, вероятность которых при повышении номинала несущей (без одновременного увеличения q) возрастает, так как ФН радиосигнала (корреляционная функция, как отмечено ранее) — радиоимпульс и помимо главного пика при имеет и боковые, следующие с периодом по , равным . В §4.8 отмечалось, что боковые пики ФН служат дополнительным источником аномальных ошибок. С ростом боковые пики сближаются с главным (и по , и по уровню) и опасность аномальных ошибок увеличивается.

Поэтому все усилия по практическому использованию резерва повышения точности измерения , связанного с выбором номинала несущей , должны сопровождаться соответствующими мерами предотвращения аномальных эффектов, в противном же случае последние могут свести на нет ожидаемый выигрыш в точности.

Хотя сделанная оговорка существенна, она не отрицает принципиальной возможности увеличения точности измерения определенных параметров (в данном случае ) с помощью рационального выбора формы и числовых характеристик сигналов в условиях, когда рассчитывать на увеличение энергии сигнала и, следовательно, отношения q не приходится. Наиболее совершенные радиоэлектронные системы реализуют эту возможность, применяя сложные (широкополосные) сигналы (см. гл. 6).