§ 6.2. ФУНКЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ТЕОРИИ РАЗРЕШЕНИЯ

Ранее отмечалось, что статистическая интерпретация позволяет переформулировать любую задачу разрешения в терминах обнаружения, различения, измерения параметров сигналов. Подобная трансформация подразумевает расшифровку конкретной цели разрешения и введение подходящих новых моделей сигналов и помех, адекватных исходной постановке. С учетом этого можно успешно применять развитый в предыдущих главах аппарат для статистического синтеза оптимальных в том или ином смысле алгоритмов и устройств разрешения сигналов. В специальной литературе можно найти многочисленные примеры такого рода решений, от обсуждения которых на страницах данной книги придется воздержаться, во-первых, из-за ограниченного объема, а во-вторых, вследствие того, что с методологической точки зрения соответствующие задачи не новы по сравнению с рассмотренными в гл. 2 — 5. Более важным представляется изучить влияние законов и параметров модуляции сигналов на разрешающую способность и критерии рационального выбора сигналов, связанные с характеристиками разрешающей способности.

Начнем со следующей задачи. Пусть необходимо установить, отсутствует или присутствует на входе некоторого устройства полезный радиосигнал с комплексной огибающей , имеющий значение некоторого неэнергетического параметра, равное .

Cопутствует помеха в виде белого шума и, быть может, складывающегося с ним мешающего сигнала. Под последним понимается копия полезного сигнала , у которой комплексная амплитуда ( и — неизвестные амплитуда и начальная фаза мешающего сигнала), а упомянутый неэнергетический параметр равен . Мешающий сигнал может присутствовать или отсутствовать в составе суммарной помехи. Нетрудно понять, что речь идет о разрешении — обнаружении, т. е. о проверке двух (сложных) гипотез

причем могут быть и равными нулю, что соответствует отсутствию мешающего сигнала на входе. Отметим, что вследствие априорной неизвестности значений комплексной амплитуды мешающего сигнала их при гипотезах и следует полагать разными [в (6.1) ].

Для того чтобы выяснить, какая форма (закон модуляции, структура) сигнала является оптимальной для данной задачи, следовало бы, согласно (2.15), найти значения ФП при гипотезах На и (если известно априорное распределение ) и, составив ОП, получить оптимальное правило разрешения — обнаружения. После этого вычисление вероятностей ошибок позволило бы выявить их зависимость от функции , а следовательно, определить и наилучшую форму сигнала. Однако, пожертвовав точными количественными зависимостями, можно на качественном уровне проследить связь характеристик разрешения с законом модуляции сигнала . Действительно, при фиксированных значениях и гипотезы и будут тем заметнее отличаться одна от другой, чем больше евклидово расстояние между парой сигналов и (см. §3.6), так как в соответствии с (6.1) проверка относительно и есть различение двух названных сигналов.

Так как квадрат евклидова расстояния равен энергии разности сигналов, то

где . Воспользовавшись тем, что , после раскрытия прямых скобок получим

где энергия сигнала не зависит от , поскольку параметр — неэнергетический. Второе слагаемое в скобках последнего выражения можно записать как

где и — модуль и аргумент ,

— комплексный коэффициент корреляции [см. (4.55)] двух копий комплексной огибающей сигнала, отличающихся значениями ; — ФН сигнала по параметру (см. § 4.7). При любом фиксированном значении значение может оказаться равным (неизвестность начальной фазы мешающего сигнала вынуждает считать априори равновероятными любые ее значения), что и обратит в минимум квадрат расстояния (6.2):

Следовательно, для максимизации минимального по значения квадрата евклидова расстояния (6.2), т. е. обеспечения по возможности лучшей разрешающей способности [различимости гипотез (6.1)] в условиях, когда мешающий сигнал проявляет себя наиболее неблагоприятным образом, следует стремиться к минимизации уровня ФН . Заметим, что используемое здесь определение ФН соответствует введенному в § 4.7 для модели сигнала со случайной фазой. Это объясняется принятым в (6.1) и справедливым для всех нетривиальных задач разрешения допущением о неопределенности разности фаз разрешаемых сигналов.

Таким образом, качественный вывод, к которому привел анализ задачи разрешения — обнаружения, состоит в том, что показатели разрешения по нсэнергетическому параметру сигналов и , «расстроенных» по на — , тем выше, чем ниже уровень ФН . При стационарной ФН можно положить , тогда величина ФН будет характеризовать качество разрешения двух сигналов, значения неэнергетического параметра которых отличаются на . Следовательно, зависимость качества разрешения от формы сигнала проявляется в «управлении» разрешающей способностью через уровень ФН .

К аналогичным выводам привело бы и рассмотрение более сложных статистических задач разрешения, а также детерминистический анализ разрешающей способности на основе рэлеевского критерия. В заключение отметим, что любое разрешение основывается различиях расстроенных на копий сигнала. Следовательно, чем заметнее отличаются друг от друга эти копии, тем легче их разрешить. Мерой же отличия либо, наоборот, сходства двух копий сигнала, расстроенных по неэнергетическому параметру на , а также по начальной фазе на непредсказуемое значение , служит ФН .