§ 3.2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ

Рассмотрим сигнал, который не может считаться детерминированным, так как содержит случайный параметр — фазу . В общем виде модель такого сигнала можно записать как

где и - известные законы амплитудной и угловой модуляции; — известная центральная частота; — случайная начальная фаза с априорной ПВ - комплексная огибающая сигнала , являющегося реализацией при .

В соответствии с § 2.4 оптимальный обнаружитель должен формировать усредненное ОП (2.20) и сравнивать его с порогом.

Поскольку начальная фаза радиоимпульса является неэнергетическим параметром, т. е. выражение (2.20) примет вид

где . Пользуясь тем, что для любых функций(равенство Парсеваля для преобразования Гильберта), выражение для можно представить в виде

где и - аналитические сигналы, отвечающие и (см. § 1.3); — знак комплексного сопряжения.

Так как , где — комплексная огибающая входной реализации , то

В последнем равенстве

Во многих задачах начальную фазу сигнала можно считать равномерно распределенной на интервале . При этом интеграл (3.10) с учетом (3.11) имеет вид

Воспользовавшись интегральным представлением модифицированной функции Бесселя порядка

окончательно получим

Рис. 3.7

Так как при монотонно зависит от своего аргумента, то соотношение (3.13) позволяет решающее правило записать как

где - функция, обратная .

Перепишем выражение для следующим образом:

где

Таким образом, оптимальный обнаружитель сигнала со случайной начальной фазой должен вычислять длину вектора с декартовыми составляющими и . Как следует из (3.12), является абсолютным значением корреляции комплексных огибающих принятого колебания и сигнала . При этом, согласно (3.15), и есть корреляции принятой реализации с квадратурными составляющими сигнала и — детерминированными колебаниями, несущие которых сдвинуты по фазе на угол — преобразование Гильберта сигнала . Структура такого обнаружителя показана на рис. 3.7.

Отличие обнаружителя рис. 3.7 от приведенного на рис. 3.1 состоит в наличии второго коррелятора и принятии решения по статистике объединяющей выходные эффекты обоих каналов. Если бы сигнал со случайной фазой обнаруживался как детерминированный, то при схема рис. 3.1 "не замечала" бы из-за слабой корреляции последнего с опорным сигналом коррелятора .

Благодаря тому что на рис. 3.7 опорные сигналы корреляторов находятся в квадратуре, статистика не зависит от , в результате чего устраняется вредное влияние случайности начальной фазы. Таким образом, инвариантность Z к начальной фазе сигнала объясняется тем, что значение влияет только на аргумент корреляции (3.12) комплексных огибающих и , тогда как Z есть модуль .

Иная реализация оптимального обнаружителя возможна при использовании фильтра, комплексная огибающая импульсной характеристики . Подобный фильтр согласован с сигналом , имеющим некоторое фиксированное значение , например в этом случае фильтр согласован с первой из квадратурных составляющих сигнала, т. е. . Огибающую на выходе этого СФ при воздействии на входе можно найти с помощью комплексного интеграла Дюамеля:

При равенстве нулю сигнала за пределами интервала наблюдения , как следует из (3.12), . Таким образом, статистика Z может быть интерпретирована как значение огибающей на выходе СФ в момент времени . Структурная схема обнаружителя на основе СФ приведена на рис. 3.8. Заметим, что вместо линейного детектора (ЛД) можно использовать любой, лишь бы его амплитудная характеристика была монотонной функцией огибающей входного процесса.

Для того чтобы рассчитать в рассматриваемом случае, достаточно вспомнить, что отсчеты огибающей узкополосного нормального шума с дисперсией распределены по закону Рэлея

Рис.3.8

и подчиняются обобщенному закону Рэлея

если к шуму добавляется сигнал с амплитудой .

Как отмечалось ранее [см. выражения (3.2) и , на выходе СФ . Поэтому

Перейдя к нормированной переменной , получим

где — нормированный порог; - параметр обнаружения; - табулированная -функция Маркума (интегральное распределение Рэлея — Райса).

Для построения характеристик обнаружения необходимо выразить нормированный порог h через заданную вероятность ложной тревоги . Согласно (3.18), . Подставив это в выражение для вероятности правильного обнаружения, придем к результату

Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной фазой даны пунктиром на рис. 3.6.

Для определения порогового сигнала нужно решить уравнение относительно :

где - функция, обратная -функции по второму аргументу.

Соотношения (3.8) и (3.19) позволяют оценить в пороговом сигнале, связанные со случайным характером фазы. Эти потери обычно характеризуют показателем

где и - пороговые отношения сигнал/шум, необходимые для обнаружения с верностью соответственно детерминированного сигнала и сигнала со случайной начальной фазой. Величина показывает, во сколько раз следует увеличить энергию сигнала (т. е. его среднюю мощность при или длительность Т при ), чтобы скомпенсировать снижение верности, обусловленное случайностью начальной фазы. Обычно величину как и другие аналогичные характеристики, выражают в децибелах: . Зависимость для нескольких значений приведена на рис. 3.9 [5].

Рис.3.9.

Как видно из приведенных кривых, значение потерь зависит от заданных вероятностей ошибок, снижаясь с уменьшением значений и . Благодаря малым значениям при малых и ориентировочный расчет порогового отношения сигнал/шум для модели сигнала со случайной фазой нередко проводят по более простой формуле (3.8), полученной для модели детерминированного сигнала.