§3.8. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ НЕБЕЛОГО ШУМА

Попытаемся выяснить, какие изменения необходимо внести в правила и структуры оптимальных приемников, если входящий в состав наблюдаемого колебания аддитивный нормальный шум не является белым. «Прямой» способ решения этого вопроса может состоять в построении ФП на основе общего выражения для функционала ПВ (1.8) подобно тому, как это было проделано в § 2.4 для модели белого шума. Можно, однако, получить необходимые результаты и менее формальным путем. Допустим, что шум стационарен и его спектр отличен от нуля всюду на оси . Тогда, пропустив процесс через линейный фильтр с постоянными параметрами и амплитудно-частотной характеристикой , можно превратить его в белый шум, так как спектр шума на выходе фильтра окажется равным . Таким образом, если через названный выбеливающий фильтр пройдет процесс , являющийся суммой небелого шума и некоторого (возможно нулевого) сигнала , то на выходе фильтра будет наблюдаться аддитивная смесь (сумма) белого шума с некоторым новым, искаженным сигналом . Спектр последнего будет равен , где — комплексный спектр сигнала — коэффициент передачи выбеливающего фильтра.

Рис. 3.18

Отметим, что на фазочастотную характеристику само требование выбеливания никаких ограничений не накладывает на спектр выходного шума не влияет, поэтому ее следует выбирать так , чтобы импульсная характеристика выбеливающего фильтра удовлетворяла условиям физической реализуемости .

Поскольку шум в аддитивный и белый, оптимальный прием (обнаружение, различение или даже рассматриваемые в следующих разделах оценка параметров и разрешение) сигналов, содержащихся в не представляет ничего нового. При обнаружении (различении) детерминированных сигналов за выбеливающим фильтром должен следовать обнаружитель (различитель). показанный на рис. 3.1 или 3.2 (рис. 3.14 или 3.16), при приеме сигналов со случайными фазами выбеленный процесс подастся на схемы рис. 3.7, 3.8, 3.17 и т. д. Таким образом, приемником сигнала на фоне небелого шума может служить структура, показанная на рис. 3.18 и содержащая выбеливающий фильтр и оптимальный приемник для модели белого шума. Остается убедиться, что такой приемник действительно оптимален, т. е. никакая иная структура не позволит добиться лучших, чем у него, показателей.

Предположим противное: пусть существует некоторый гипотетический оптимальный приемник для небелого шума, лучший, чем совокупность выбеливающего фильтра и оптимального приемника для белого шума. Тогда, взяв обратный фильтр с коэффициентом передачи и пропустив через него процесс на выходе выбеливающего фильтра, можно восстановить колебание , так как .

Если восстановленное колебание подать на оптимальный приемник для небелого шума (пунктир на рис. 3.18), что эквивалентно подаче на последний процесса со входа выбеливающего фильтра, то информация из , согласно предположению, будет извлечена лучше, нежели верхней схемой. Но это означает, что блок, названный на рис. 3.18 оптимальным приемником для белого шума, таковым не является, ибо, как оказывается, предпочтительных показателей приема сигнала в белом шуме можно добиться, если сперва «окрасить» белый шум в с помощью обратного фильтра, а затем воспользоваться оптимальным приемником для небелого шума. Следовательно, допущение неоптимальности верхней схемы рис. 3.18 ведет к противоречию и прием на основе выбеливания оптимален.

Нетрудно понять, что для расчета, например, показателей обнаружения сигналов в небелом шуме можно пользоваться соответствующими формулами, полученными ранее для модели белого шума, подставляя в них параметр обнаружения, вычисленный на выходе выбеливающего фильтра: , где энергия сигнала и спектр шума после выбеливания. Так как и, согласно равенству Парсеваля, , то при обнаружении в небелом шуме . Подобным же образом для определения показателей различения сигналов в небелом шуме следует «пересчитать» их энергии и коэффициенты корреляции на выход выбеливающего фильтра, после чего задача будет сведена к ранее решенной.

Прокомментируем допущения, принятые ранее за основу. Во-первых, предположение об отличии от нуля всюду на оси с точки зрения физики не является сколько-нибудь ограничительным, ибо отказ от него привел бы к так называемому вырожденному случаю, лишенному практической содержательности. Действительно, если, например, в задаче обнаружения считать, что на оси частот есть участки, где шум отсутствует, а компоненты сигнала не равны нулю, то это будет означать не что иное, как возможность абсолютно безошибочных решений , так как наблюдатель в этом случае может воспользоваться полосовым фильтром, пропускающим лишь спектральные компоненты сигнала, на которых шумовой спектр равен нулю (отношение сигнал/шум после такого фильтра окажется бесконечным). Что касается тех участков оси частот, где сигнальные компоненты отсутствую, то на них, как отмечалось в § 1.4, спектр шума может полагаться произвольным: оптимальная приемная система все равно отбросит эти «фиктивные» спектральные составляющие шума.

Во-вторых, идею «выбеливания» нетрудно в принципе распространить и на нестационарный шум, при этом в роли выбеливающего будет выступать некоторый фильтр с переменными параметрами.

С какой вероятностью будет пропущен детерминированный сигнал, если значения параметра q и нормированного порога h одинаковы?

Согласно (3.1), детерминированный сигнал считается присутствующим в , если имеет достаточное сходство (в смысле, определяемом корреляцией ) с . С учетом (3.12) дайте аналогичную трактовку правилу (3.14) обнаружения сигнала со случайной фазой.

Опираясь на критерий Неймана — Пирсона, попробуйте дать физическое объяснение отсутствию влияния априорной ПВ на структуру и значение порога обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой. Пользуясь характеристиками обнаружения на рис. 3.6, оцените потери в энергии порогового сигнала из-за незнания начальной фазы, а также амплитуды и начальной фазы сигнала при и трех значениях вероятности ложной тревоги .

Чем объяснить, что для схемы рис. 3.11 характеристика амплитудного детектора определена однозначно, тогда как в обнаружителе на рис. 3.8 можно применить детектор с любой монотонной зависимостью выходной величины от значения огибающей на входе?

Каким хорошо известным эффектом, присущим амплитудному детектированию слабых сигналов, можно объяснить низкую эффективность обнаружения некогерентных пакетов при ?

Во сколько раз (на сколько децибел) можно уменьшить энергию каждого из двух детерминированных сигналов равной энергии, имеющих коэффициент корреляции , если заменить их противоположными? Каков будет ответ, если

Каков энергетический проигрыш при различении М ортогональных детерминированных сигналов по сравнению с различением М симплексных сигналов, если ?

Чем отличаются ортогональные сигналы от ортогональных в усиленном смысле?

Опираясь на факт асимптотического сближения аддитивных границ (3.48) и (3.54) с истинными значениями вероятности ошибки различения, показать, что при энергетические потери за счет незнания начальных фаз сигналов асимптотически (при ) пренебрежимо малы.