§ 2.3. РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Далеко не всегда наблюдатель столь подробно априори осведомлен о различаемых сингалах, как это полагалось в § 2.2. Чаще ему заранее не известны не только номер присутствующего в анализируемой реализации сигнала, но и значения каких-либо параметров (амплитуды, частоты, фазы и пр.) каждого из возможных сигналов.

Сами сигналы при этом уже не являются детерминированными, поскольку параметры их не заданы; соответствующую задачу различения называют различением сигналов с неизвестными параметрами.

Предположим, что сигнал зависит от априори неизвестных параметров , которые для компактности объединим в вектор неизвестных параметров , подчеркнув в обозначении сигнала зависимость последнего от . Тогда при истинности , т. е. при наличии сигнала в наблюдаемой реализации, имеем и параметры сигнала окажутся некими параметрами распределения процесса, ансамблю которого принадлежит . Таким образом, класс распределений отвечающий гипотезе , будет содержать не одно распределение, а столько, сколько различных значений может принять вектор параметров . Если, например, сигнал есть радиоимпульс определенной частоты с амплитудой и фазой, о которых априори известно только, что каждая из них может независимо принимать по 10 различных значений, то класс содержит 100 распределений — по числу возможных сочетаний амплитуд и фаз. При этом гипотезы оказываются сложными параметрическими, так как перечисление всех распределений из свелось бы к заданию всех возможных значений . В итоге процедура различения сигналов с неизвестными параметрами выливается в проверку сложных параметрических гипотез.

Не имея возможности даже бегло осветить общую проблематику подобных задач, рассмотрим здесь лишь важный для практики частный случай, когда проверяемые сложные гипотезы удастся заменить простыми. Такое упрощение оказывается осуществимым, если неизвестные параметры сигнала могут интерпретироваться как случайные величины с заданной априорной ПВ . Подчеркнем, что определением «априорная» в применении к ПВ акцентируется независимость содержащихся в ней сведений от вида анализируемой реализации . В выражена вся информация о вероятностях возможных значений параметров -го сигнала, которой наблюдатель располагает еще до того, как приступает к наблюдению реализации .

Вернемся на время к дискретному наблюдению, приняв во внимание, что при истинности ; ПВ вектора наблюдений содержит в качестве параметров . Поэтому для упомянутой ПВ уместно обозначение , где второе условие указывает на то, что при данной гипотезе ПВ может меняться в зависимости от конкретных значений .

Воспользовавшись теоремой умножения всроялюстей, запишем

где правая часть является условной совместной ПВ векторов и при условии присутствия в сигнала. Интегрируя эту совместную ПВ по , из соотношения согласованности (формулы полной вероятности) получим ПВ при истинности .

Полученная ПВ вектора при истинности не зависит от неизвестных параметров сигнала и при полной статистической заданности помехи является однозначно определенной функцией для каждого . Таким образом, каждой , соответствует одна ПВ и гипотеза превратилась в простую. Перейдя вновь от дискретных наблюдений к непрерывным, т. е. от ПВ вектора к функционалам ПВ , и объединив (2.13), (2.14), получим

Таким образом, знание априорной ПВ случайных параметров различаемых сигналов позволяет трансформировать сложные гипотезы в простые, открывая тем самым путь к использованию байесовского подхода и критериев, описаиных в § 2.2. В итоге при различении М сигналов со случайными параметрами оказываются применимыми все приведенные в предыдущем параграфе оптимальные правила [а именно ]. Необходимо лишь помнить, что фигурирующая в них ФП должна быть предварительно определена из (2.15) с учетом заданной априорной ПВ неизвестных параметров . Процедура, предписываемая (2.15), есть не что иное, как усреднение ФП , содержащей случайные параметры по всем возможным значениям с учетом известных вероятностей появления последних .