§5.2. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ ФАЗОЙ

В настоящем параграфе синтезированы структуры и определены потенциальные точности измерителей, основывающихся на допущении случайности и равновероятности на интервале неинформационной начальной фазы сигнала . Так как рассматриваются оценки неэнергетических параметров, то примем за основу правило ОМП (4.50) и выражения для элементов матрицы Фишера (4.59).

Оценка времени запаздывания. Модель сигнала со случайной фазой, единственным измеряемым параметром которого является время запаздывания , можно записать как

Согласно правилу (4.50), с учетом (4.46) — (4.47) и подстановки вместо А. оптимальный измеритель можно реализовать по общей схеме рис. 4.6, в которой исключены элементы преобразователей П, вычисляющие , а на входы пар корреляторов поданы пары квадратурных составляющих с отличными от одной пары к другой значениями времени запаздывания. Однако, как и в § 5.1, здесь вновь существует альтернатива многоканальной структуре, поскольку на основании равенства (4.45)

Рис. 5.4

где — комплексная огибающая импульсной характеристики фильтра, согласованного с сигналом (с копией сигнала, имеющей нулевую либо любую фиксированную начальную фазу ). Полученный комплексный интеграл показывает, что величина , аргумент максимума которой как функции есть ОМП , воспроизводится с задержкой на известную длительность сигнала огибающей на выходе СФ. Поэтому оценку запаздывания можно получить пропустив через последовательно соединенные СФ и детектор огибающей ДО и зафиксировав момент максимума выходной величины последнего. Вычитание из значения позволяет получить ОМП . Соответствующая схема дана на рис. 5.4, а, а эпюры, пронумерованные, как и точки схемы, — на рис. 5.4, б.

Как и в § 5.1, ФН относительно параметра стационарна, и из формул (4.58), (4.55) следует . Применив теорему Парсеваля, получим

где — Фурье-спектр комплексной огибающей сигнала . Обратившись к формулам (4.61), (4.59) и учтя, что оценивается единственный параметр , придем к результату

Второе слагаемое в скобках имеет смысл квадрата центральной частоты гильбертовой комплексной огибающей . Так как спектр представляет собой спектр исходного сигнала , смещенный к пулевой частоте, то и потому

где

— эффективная (среднеквадратическая) ширина спектракомплексной огибающей сигнала . Очевидно, что момент инерции квадрата модуля спектра (нормированного так, чтобы площадь под ним была единичной) относительно оси , или, что то же самое, квадрата модуля спектра сигнала (с аналогичной нормировкой) относительно его центральной частоты . Поэтому называют эффективной (среднеквадратической) шириной спектра сигнала.

Таким образом, точность ОМП запаздывания сигнала со случайной фазой можно повысить и не прибегая к увеличению энергии сигнала, ибо расширение спектра также уменьшает условную дисперсию ОМП. Тривиальным способом увеличения является укорочение сигнала, т. е. уменьшение его длительности . При этом, однако, для сохранения постоянства энергии, т. е. значения q, необходимо одновременно поднимать и пиковую мощность сигнала, что на практике не всегда возможно в силу ограниченности ресурса пиковой мощности реальных передатчиков. К счастью, спектр сигнала можно расширить и при фиксированной (например, достаточно большой) длительности . Для этого требуется только осуществить соответствующую модуляцию сигнала в пределах длительности . При правильно выбранном законе модуляции ширина спектра определяется параметрами этого закона, а не длительностью . При этом выполняется соотношение .

Уже упоминавшиеся в предыдущем параграфе и более подробно изучаемые в гл. 6 сигналы, удовлетворяющие этому неравенству, называют сложными (широкополосными, шумоподобными) в отличие от простых, для которых база (произведение близка к единице.

Механизм роста потенциальной точности оценки с расширением спектра сигнала был проанализирован в § 5.1: с ростом огибающая сигнала после СФ «обостряется» и ее пик флуктуирует по времени под воздействием шума того же уровня в меньших пределах. При этом нужно иметь в виду, что безграничное увеличение при фиксированной энергии сигнала не гарантирует беспредельного роста потенциальной точности, так как пороговое отношение сигнал/шум, превышение которого величиной q обязательно для предотвращения аномальных эффектов, возрастает по мере сужения главного пика ФН (см. § 4.8), т. е. значения . Подчеркнем очевидную, но важную деталь: точность оценки сигнала со случайной фазой не зависит от номинала несущей , поскольку за ОМП принимают временное положение максимума огибающей радиосигнала (а не его высокочастотного заполнения, как в § 5.1) на выходе СФ (рис. 5.4, б)

Оценка частоты. Пусть носителем интересующей наблюдателя информации является частота принимаемого сигнала. Тогда, отсчитывая частоту от некоторого фиксированного номинала , модель сигнала со случайной фазой при оценке частоты можно записать в виде , где - измеряемая частотная расстройка, т. е. отклонение частоты принимаемого сигнала от . Пользуясь тем, что — неэнергетический параметр, согласно правилу (4.50) с учетом (4.46), (4.47) при получим структуру измерителя в виде многоканального корреляционного приемника (см. рис. 4.6), в которой узлы преобразователей , вычисляющие , исключены, а в качестве опор в паре корреляторов взяты пары квадратурных компонентов сигнала с центральной частотой .

Другая модификация оптимального измерителя частоты, основанная на интерпретации как огибающей на выходе фильтра, согласованного с сигналом в момент окончания наблюдений (см. § 3.2), приведена на рис. 5.5. Эта схема представляет собой набор М резонаторов СФ, настроенных каждый на свою резонансную частоту .

Решающий блок РБ выдает в качестве оценки (или ) частоту настройки того резонатора, колебания на выходе которого в момент Т имеют максимальную амплитуду. По такому принципу работают многие частотомеры и волномеры. Одним из простейших примеров его воплощения служит, в частности, язычковый частотомер, широко применяемый как щитовой контрольный прибор в сетях электроснабжения.

Рис. 5.5

Чтобы рассчитать дисперсию ОМП частоты, заметим, что ФН стационарна и в соответствии с выражением (4.58)

Применив алгоритм вычисления элементов матрицы Фишера (4.59), в котором следует положить , получим

где

— эффективная (среднеквадратическая) длительность сигнала, квадрат которой есть момент инерции фигуры под кривой (под квадратом огибающей сигнала, нормированным так, чтобы площадь под ним была равна единице) относительно центра тяжести

В результате условная дисперсия ОМП частоты

тем меньше, чем больше продолжительность сигнала.

Физика роста точности ОМП с увеличением очевидна: оценить отличие частоты от номинального значения можно по набегу фазы несущей наблюдаемого колебания относительно гармонической опоры частоты . За эффективную длительность значение набега составит и потому оценить можно путем деления ОМП величины на в силу инвариантности ОМП относительно замены переменных (см. § 4.4). Так как дисперсия имеет порядок (см. § 5.1), то дисперсия F оказывается равной правой части (5.8).

Интересно отметить дуальность временных и спектральных характеристик при измерениях и . Если при точность оценки времени запаздывания определяется шириной спектра, т. е. «протяженностью» сигнала в частотной области, то дисперсия ОМП частоты зависит только от протяженности сигнала во временной области.

Совместная оценка временя запаздывания частоты. Пусть у сигнала со случайной равновероятной в пределах , начальной фазой измерению подлежат время запаздывания и частотная расстройка относительно номинала . Вектор измеряемых параметров при этом двумерный: . Такое положение типично для радиолокации, где время запаздывания и доплеровский сдвиг частоты сигнала, отраженного наблюдаемой целью, несут информацию о дальности и скорости последней: радионавигации, в которой и F содержат сведения о местоположении и параметрах движения пользователя; службы единого времени и цифровой связи, где путем оценки и сводят шкалы местных и системных хранителей времени, и т. п.

Для совместных измерений и , как всегда при оценке неэнергетических параметров сигнала, пригодна универсальная структура рис. 4.6, в которой не нужны элементы преобразователей П, вычисляющие . При этом опорами пары корреляторов служат квадратурные компоненты и , причем пара от отличается в общем случае временем запаздывания и частотой опор. Число каналов М в такой схеме выбирают из условия достаточно точной дискретной аппроксимации функции двух переменных .

Если, однако, вновь перейти к СФ и детекторам огибающей, то число параллельных каналов измерителя можно значительно уменьшить.

Действительно, согласно равенству (4.45), в котором , а в качестве подставлено , т. е. с учетом

где — комплексная огибающая импульсной характеристики фильтра, согласованного с сигналом . Поэтому правая часть (5.9) для любого фиксированного значения F представляет собой огибающую на выходе СФ при подаче на вход наблюдаемой реализации . При фиксированном значении как функция воспроизводится с запаздыванием на огибающей на выходе согласованного фильтра, частота настройки которого равна . Для воспроизведения при всех возможных следует взять набор М СФ, настроенных каждый на свою частоту. При этом число М СФ выбирают из условия удовлетворительного дискретного приближения как функции F, оно существенно меньше числа параллельных корреляторов в структуре рис. 4.6. Осуществив таким способом вычисление , остается определить и по правилу (4.50): . Измеритель, показанный на рис. 5.6, отличается от измерителя частоты на рис. 5.5 только тем, что в нем на решающий блок РБ подают непрерывные процессы с выходов детекторов огибающей (ДО), а не их отсчеты в момент окончания наблюдений .

Рис. 5.6

РБ выбирает тот канал, на выходе которого отмечен наибольший в течение наблюдений выброс огибающей. Временное положение этого максимального выброса после вычитания поправки служит ОМП времени запаздывания ; частота настройки канала, на выходе которого он зафиксирован, служит ОМП частоты .

Для вычисления условных дисперсий воспользуемся стационарностью по и ФН, принимающей, согласно определению (4.58), вид

Матрица Фишера имеет размерность , ее элементы вычисляют в соответствии с равенствами (4.59), в которых . Диагональные элементы , и так как , a , то выражения для и уже известны:

где и — эффективные ширина спектра (5.6) и длительность (5.7) сигнала. Остается определить . Согласно (4.59),

Первый интеграл во втором слагаемом в скобках последнего выражения равен нулю вследствие равенства нулю.центральной частоты спектра комплексной огибающей . Поэтому

где — действительная огибающая и закон угловой модуляции сигнала.

Так как , где — мгновенное отклонение частоты сигнала от вызванное угловой модуляцией, то и

(5.11)

где

— коэффициент частотно-временной связи. Обратив матрицу Фишера с учетом выражений (5.10) — (5.12), получим

Таким образом, условные дисперсии совместных ОМП и в асимптотическом приближении

Так как матрица Ф является корреляционной матрицей асимптотически совместно нормальных ОМП и (см. § 4.4), то из соотношения (5.13) следует, что коэффициент частотно-временной связи есть не что иное, как коэффициент корреляции случайных величин и при . Кроме того, результаты (5.14), (5.15) показывают, что при прочих равных условиях точность оценки и выше в том случае, когда , т. е. и некоррелированы. При этом выражения (5.14) и (5.5), как и (5.15) и (5.8), совпадают, откуда следует, что при отсутствии частотно-временной связи точность ОМП одного из параметров не зависит от того, известен ли другой или оценивается наряду с первым. Подчеркнем, что для любых сигналов без частотной модуляции, а также для сигналов с симметричной амплитудно-частотной модуляцией 0. Для сигналов названных типов, наиболее распространенных на практике, дисперсии ОМП и при совместных и раздельных измерениях времени запаздывания и частоты одинаковы. При этом ФН

называют частотно-временной.

Само название «функция неопределенности», введенное Ф. Вудвордом, первоначально было закреплено именно за величиной (5.16) и лишь впоследствии по мере разработки общей теории оценок распространено на параметры любой природы. Очевидно, геометрически ФН (5.16) описывает некую поверхность над плоскостью т, F, причем ее максимум, равный единице, находится в точке [; см. §4.7].

Чтобы лучше уяснить смысл требований к ФН (5.16), вытекающих из стремления к высокой точности оценок и F, вновь обратимся к схеме измерителя времени запаздывания и частоты на рис. 5.6. Пусть на ее вход подан сигнал с нулевыми временем запаздывания и частотной расстройкой. Тогда в отсутствие шума на входе выход ДО канала в момент , согласно (5.9),

Таким образом, огибающая после i-гo СФ воспроизводит по форме ФН как функцию при фиксированной расстройке . Но поскольку меняется от канала к каналу, рассматриваемые в совокупности выходы всех ДО схемы рис. 5.6 одновременно воспроизводят все сечения ФН (5.16) плоскостями . В идеале частотная расстройка между соседними каналами рис. 5.6 должна быть бесконечно малой. Тогда выходы всех ДО в точности воспроизвели бы ФН (5.16), если одну координату, , «читать» как реальное время t (с вычитанием ), а другую, вниз» как частотную расстройку СФ от номинала .

Следовательно, для достижения высокой точности совместного измерения и необходимо иметь достаточно острый пик ФН (5.16) в точке . Действительно, появление некоторого шума на входе рис. 5.6 приведет к искажению воспроизводимой поверхности по сравнению с ФН и опусканиям отдельных ее участков) и, как следствие, к отклонениям координат ее максимума от значений . При одном и том же достаточно слабом шуме колебания поверхности по вертикали вызовут тем меньшие флуктуации координат максимума, чем острее пик ФН (5.16) в точке (подобные рассуждения см. в § 4.8). В § 4.8 указывалось, что наличие у ФН побочных максимумов (боковых лепестков) увеличивает риск возникновения аномальных ошибок.

Привязка этого факта к рассматриваемому примеру очевидна: если у самой ФН (5.16) есть побочные лепестки, их «легче» поднять до уровня главного (расположенного в точке ) так как для этого потребуются шумовые выбросы меньшей интенсивности, чем при равенстве ФН нулю вне пределов зоны главного максимума. (Напомним, что вероятность значения отсчета гауссовского шума экспоненциально убывает с ростом ).

Сформулированные требования к виду ФН (5.16) аналогичны требованиям, которые будут изложены в гл. 6. Поэтому целесообразнее дать их трактовку и указать возможности их удовлетворения в соответствующих параграфах упомянутой главы.

Завершая разбор примеров оценок параметров сигналов, укажем, что нередко приходится сталкиваться с разрывными сигналами, для которых границы Крамера — Рао теряют смысл в связи с несуществованием вторых производных ФН. Простейшим примером разрывного сигнала при оценке времени запаздывания служит прямоугольный видеоимпульс. Для разрывных сигналов не выполняются условия регулярности, упоминавшиеся в § 4.4, и ОМП не являются эффективными (даже асимптотически). Более того, в этих условиях ОМП вообще не являются оценками, обеспечивающими минимум дисперсии при . Для выяснения вопроса о потенциальной точности оценок параметров разрывных сигналов могут быть использованы более сложные, чем неравенство Крамера — Рао соотношения (подробнее см. специальную литературу).

Измеряется только амплитуда, только начальная фаза либо амплитуда и начальная фаза сигнала. В каких из названных случаев оценки измеряемых параметров окажутся строго эффективными?

Сколько максимумов может иметь ФП при оценке только времени запаздывания? только фазы? только амплитуды сигнала?

Время запаздывания радиосигнала измеряется одновременно с начальной фазой , меняющейся от опыта к опыту независимо от .

Можно ли повысить точность оценки времени запаздывания увеличивая центральную частоту сигнала .

Радиосигнал со случайной фазой имеет огибающую колоколообразной формы , где — длительность сигнала на уровне .

Получить формулу, связывающую при условную дисперсию оценки времени запаздывания с параметрами и и спектральной плотностью белого шума .

Можно ли , задачу, аналогичную предыдущей, для радиоимпульса с прямоугольной огибающей?

Какое из необходимых условий, лежащих в основе вывода неравенства Крамера — Рао, нарушено для такого сигнала?

Основываясь на соображениях практического характера, предложите методику расчета условной дисперсии, которая все же позволила бы воспользоваться границей Крамера — Рао.

Для радиоимпульса с колоколообразной огибающей рассчитайте условную дисперсию (при ) ОМП частоты.

Можно ли сделать то же самое для радиоимпульса с прямоугольным спектром? Провести аналогию с содержанием предыдущей задачи.

Покажите, что для сигналов с симметричной амплитудно-частотной модуляцией ошибки совместных оценок времени запаздывания и частоты при лезависимы. Сделайте то же самое для сигнала с кусочно-постоянным законом угловой модуляции [ в дискретные моменты времени меняется скачком, а между соседними точками скачков остается постоянным].

С помощью каких структур можно аппаратным способом воспроизвести ФН радиосигнала?