§ 2.4. ФУНКЦИЯ И ОТНОШЕНИЕ ПРАВДОПОДОБИЯ ПРИ РАЗЛИЧЕНИИ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНОГО НОРМАЛЬНОГО ШУМА

Какое бы из введенных в § 2.2 оптимальных правил ни было положено в основу работы различителя, наиболее существенным действием в нем оказывается вычисление ФП .

ФП — единственная из всех используемых различителем величин, зависящая от вида принятой реализации и вследствие этого случайно, непредсказуемо меняющаяся от опыта к опыту. После формирования ФП различитель либо непосредственно приступает к принятию решения (правило МП), предварительно вычисляет апостериорные вероятности (правило МАВ) или условные средние риски [правило (2.6)]. В последних случаях помимо найденной в данном опыте ФП приходится учитывать заранее заданные константы (априорные вероятности и риски ), не зависящие от конкретной реализации и не меняющиеся от опыта к опыту.

Нахождение ФП в условиях, когда помеха полностью статистически задана и оператор взаимодействия сигнала и помехи конкретизирован, принципиально не представляет труда. Напомним, что ФП есть условная ПВ (функционал ПВ) наблюдаемого процесса при условии истинности рассматриваемая для фиксированной реализации как функция номера гипотезы . Таким образом, если имеется выражение функционала , задающее «вероятности» тех или иных реализаций при условии истинности гипотезы, то получение ФП сводится к подстановке в него данной наблюдаемой реализации и варьированию в пределах от 0 до М—1.

Все выводы были получены без какой-либо конкретизации способа объединения помехи с сигналом в и модели самой помехи.

Дальнейшее рассмотрение процедур различения и обнаружения сигналов будет вестись применительно к помехе в виде аддитивного нормального (гауссовского) шума. Аддитивность означает, что помеха складывается с сигналом, так что под понимают обычную алгебраическую сумму сигнала и помехи. Разумеется, можно указать практические задачи, где механизм взаимодействия сигнала с помехой иной, однако модель аддитивных помех описывает наибольшее число реальных ситуаций и потому представляет основной интерес в статистической теории радиосистем. Что касается допущения о нормальности шума, то соображения в его пользу были приведены в § 1.4. Вопросы обработки сигналов на фоне негауссовских помех носят более частный характер, чем изучаемые здесь, и им посвящена специальная литература.

Отложив до § 3.8 учет нюансов, связанных с возможной «окрашенностью» шума, будем считать последний белым. При этом выражения для ФП и ОП можно получить с использованием функционала ПВ (1.9).

Детерминированные сигналы. При различении М детерминированных сигналов на фоне аддитивного шума гипотеза означает, что Поэтому из выражения (1.9) для ФП получаем

где обозначением подчеркнуто, что подставляют в функционал ПВ помехи .

Последняя запись позволяет дать наглядную интерпретацию правила МП (2.10): для данной реализации принимают решение о присутствии в ней того из М сигналов, который наименее уклоняется от . При этом мерой уклонения является энергия разности и .

Для дальнейшего использования ФП удобно представить в форме, следующей из (2.16) после раскрытия скобок под интегралом:

где - энергия i-го сигнала; - корреляционный интеграл (или просто корреляция) принятой реализации и i-го сигнала; - коэффициент, зависящий от , но не от , и потому не влияющий на решения, принимаемые согласно выводам § 2.2 по результатам сравнения значений соответствующих функций (условного среднего риска, апостериорной вероятности, ФП), вычисленных для конкретной наблюдаемой реализации .

Смысл корреляционного интеграла очевиден: если и , согласно современным концепциям теории сигналов, рассматривать как векторы в бесконечномерном евклидовом пространстве, то , окажется их скалярным произведением, т. е. величиной, характеризующей близость, сходство и . Отсюда вытекает следующая физическая трактовка правила МП применительно к различению М детерминированных сигналов равной энергии : принимают решение о наличии в того сигнала, который имеет наибольшее сходство с .

В частном случае обнаружения детерминированного сигнала и, согласно (2.17) . Соответственно ,и

Подставив это выражение в (2.12), для ОП получим

где индекс опущен, так как ненулевой сигнал единственный и может быть обозначен как .

Сигналы со случайными параметрами. В соответствии с выводами § 2.3 ФП при различении сигналов со случайными параметрами, априорные распределения которых заданы, может быть получена усреднением ФП, построенной для детерминированных сигналов. При конкретных значениях неизвестных параметров -го сигнала последний становится детерминированным и, согласно (2.17),

где — энергия -го сигнала с фиксированным и равным значением вектора неизвестных параметров; - корреляция с сигналом, имеющим фиксированное и равное значение вектора неизвестных параметров. Обратившись к (2.15), приходим к выражению для ФП

В частном случае обнаружения ненулевого сигнала, повторив в приложении к (2.19) рассуждения, приведенные в конце предыдущего пункта, придем к выражению для ОП

где - корреляция с обнаруживаемым сигналом при фиксированном и равном значении вектора его неизвестных параметров; энергия сигнала — априорная ПВ вектора случайных параметров обнаруживаемого сигнала. Действия, выполняемые согласно (2.20), соответствуют усреднению ОП для детерминированного сигнала с фиксированными значениями по всем возможным значениям . Поэтому (2.20) часто называют усредненным ОП.

Изложенные принципы обнаружения и различения сигналов в следующей главе будут конкретизированы применительно к различным моделям сигналов. При этом главная цель будет состоять в отыскании алгоритмов работы оптимальных устройств и определении их качественных показателей. Для обнаружителей это будут вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала или правильного обнаружения [принятия решения о наличии сигнала в при условии, что он там действительно присутствует] . Качество работы различителей будет характеризоваться вероятностями перепутывания гипотезы о приеме сигнала или вычисленной на основе этих вероятностей и априорных данных полной вероятностью ошибки (2.2). При дальнейшем рассмотрении (до § 3.7) моделью помехи будет служить аддитивный белый шум, схема обобщения результатов на случай небелого шума будет дана в § 3.8.

Почему обнаружение и различение сигналов являются задачами проверки гипотез? Чем отличаются простые гипотезы от сложных? параметрические от непарамстрическнх? Каким образом критерий Байеса связан с критериями идеального наблюдателя, минимума суммы условных вероятностей ошибок, Неймана — Пирсона?

Составляют ли ложная тревога и пропуск полную группу событий?

Какие векторы [реализации ] включают в область , соответствующую принятию гипотезы при использовании байесовского критерия и его вариантов?

В чем разница между априорной и апостериорной вероятностями гипотезы [присутствия сигнала в ]. При каких прочтениях выражение является условным функционалом ПВ при истинной гипотезе , либо функцией правдоподобия?

В каком смысле оптимальны и как соотносятся друг с другом правила МАВ и МП?

Как связаны друг с другом отношение и функция правдоподобия?

Объясните, почему различение сигналов со случайными параметрами при известной априорной ПВ последних удается свести к проверке простых .

Присутствие какого из различаемых детерминированных сигналов наиболее правдоподобно в колебании если помехой является аддитивный белый гауссовский шум? Как соответствующее утверждение связано с интерпретацией выражения (1.9)?