§ 1.4. НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР И НОРМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС. БЕЛЫЙ ШУМ

Рассмотрим случайный -мерный вектор компоненты которого имеют нулевые средние (математические ожидания): (чертой сверху далее будет обозначаться статистическое усреднение, т. е. вычисление математического ожидания соответствующей случайной величины или случайного процесса). Пусть корреляционный момент и компонентов т.е. среднее значение их произведения: . Понятно, что —дисперсия поэтому корреляционная матрица составленная из корреляционных моментов по правилу

оказывается симметрической, причем главную ее диагональ образуют дисперсии всех компонентов.

Предположим, что невырожденная матрица, а следовательно, ее определитель и обратная ей матрица существует. Пусть — элемент строки и -го столбца матрицы . Рассмотрим выражение вида . Оно представляет собой результат умножения симметрической матрицы на столбец справа и строку, полученную транспонированием этого столбца, слева, т. е. скаляр, называемый квадратичной формой:

Значение данной квадратичной вследствие случайности , причем, как можно показать, форма (1.5) неотрицательна при любых . Случайный вектор называют нормальным или гауссовским, если его ПВ экспоненциально убывает с ростом значения квадратичной формы (1.5). С учетом условия нормировки ПВ такого вектора (-мерный нормальный или гауссовский закон) имеет вид

Это определение распространяется и на векторы с ненулевыми средними значениями компонентов.

Пусть могут отличаться от нуля. Обозначим и назовем вектором средних. Очевидно, для центрированного вектора вектор средних всегда нулевой. В то же время ПВ и совпадают, так как —детерминированный вектор, а отличается от только слагаемым . Следовательно, нормальным можно называть любой вектор, который после центрирования (вычитания ) подчиняется закону (1.6).

Компоненты нормального случайного вектора называются совместно нормальными случайными величинами. Справедливы следующие утверждения: любые случайных величин, выбранных из совместно нормальных, также совместно нормальны; из некоррелированности совместно нормальных случайных величин следует их независимость; линейное преобразование нормального вектора, т. е. результат умножения его слева на детерминированную матрицу, — вновь нормальный вектор; сумма нормальных векторов — нормальный вектор. Доказательства этих фактов здесь не приводятся, однако особого труда они не представляют и содержатся во многих руководствах по теории вероятностей и математической статистике.

Рассмотрим случайный процесс с корреляционной

функцией . Если вектор , составленный из его отсчетов , взятых в моменты . При любом и любом расположении сечений на интервале наблюдений нормален, то и сам процесс называют нормальным или гауссовским. Свойства нормального процесса наследуются им от нормального вектора. Так, любое линейное преобразование нормального процесса, т. е. результат его пропускания через линейную систему (фильтр, четырехполюсник), - вновь нормальный процесс; некоррелированные сечения нормального процесса независимы; сумма нормальных процессов — нормальный процесс. Кроме того, любой нормальный процесс полностью описывается математическим ожиданием и корреляционной функцией , причем из стационарности нормального процесса в широком смысле следует и строгая стационарность. Действительно, зная и , можно построить вектор средних и корреляционную матрицу для любых сечений, т. е. вычислить ПВ (1.6) любой совокупности отсчетов процесса, а следовательно, определить сколь угодно точно вероятность любого его поведения.

Кроме того, стационарность в широком смысле означает, что , зависит только от , но не от . Поэтому для любого набора сечений вектор средних будет всегда иметь равные одной и той же константе компоненты, а корреляционная матрица К будет зависеть лишь от и взаимного расположения моментов времени и оставаться неизменной при всяком «дружном» сдвиге всех сечений по оси . Таким образом, для стационарного в широком смысле процесса закон (1.6) инвариантен к началу отсчета , что и означает строгую стационарность .

Пусть на отрезке , взято сечений нормального процесса с нулевым средним . Если его корреляционная функция, то корреляционный момент и сечений . При и можно ПВ (1.6) превратить в функционал ПВ нормального процесса. Не детализируя, отметим лишь, что при таком переходе двойная сумма в (1.5) может трактоваться как интегральная и пределом квадратичной формы окажется двойной интеграл:

Функцию называют обратной корреляционной функцией. Она является решением интегрального уравнения

в котором - дельта-функция. Уравнение (1.7) нетрудно вывести, если вспомнить, что — элементы матрицы, обратной корреляционной. Следовательно, , где — единичная матрица, или

где — символ Кронекера при . При предельном переходе сумму в этом выражении можно рассматривать как интегральную. При этом функции двух дискретных переменных и превращаются в функции непрерывных переменных и .

В итоге получится интеграл из левой части (1.7), тогда как дельта-функция справа (1.7) есть предельная форма .

Таким образом, функционал ПВ нормального процесса с нулевым средним

где обратная корреляционная функция связана с уравнением (1.7). Обозначенный в (1.8) через с предел сомножителя перед экспонентой в (1.6) может и не существовать или быть равным нулю, однако этот факт не играет сколько-нибудь серьезной роли, поскольку этот сомножитель одинаков для всех реализаций, в то время как функционал ПВ важен именно как показатель вероятности одних реализаций по сравнению с другими.

Повышенное внимание, проявленное к нормальным процессам, объясняется тем, что реальная радиопомеха часто оказывается суперпозицией большого числа некоторых элементарных случайных колебаний и ее многомерные ПВ удается аппроксимировать нормальным законом на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей. Напомним, что смысл последней сводится к утверждению о нормализации суммы случайных слагаемых с произвольными ПВ по мере увеличения их числа.

В большинстве рассматриваемых далее задач моделью помехи будет нормальный стационарный дельта-коррелированный процесс , или, что то же самое, белый шум. Для такого процесса , где двусторонняя спектральная плотность, не зависящая от частоты. Несмотря на то что белый шум — неосуществимая в реальности абстракция (его дисперсия, т. е. средняя мощность, бесконечна), ценность этого понятия и для теории, и для практики велика. Дело в том, что объектом внимания в прикладных дисциплинах являются не столько сами по себе случайные процессы, сколько реакция на них тех или иных физических систем. Любая же реальная система обладает конечной полосой пропускания, и потому при ее исследовании произвольный случайный процесс (шум) со спектром, равномерным в пределах этой полосы, можно заменить белым шумом, не внеся погрешности, поскольку добавленные внеполосные составляющие никакого воздействия на систему не окажут.

Обратная корреляционная функция белого шума что легко проверяется прямой подстановкой в (1.7). Использовав в выражении (1.8), получим известную формулу для функционала ПВ белого шума:

Таким образом, «вероятность» реализации белого шума тем меньше, чем больше ее энергия на интервале наблюдения .

Какой смысл вкладывается в радиотехнике в термины «сигнал», «помеха»,«помехоустойчивой»? Для каких функций существует интеграл Фурье? Отталкиваясь от трактовки гармонического колебания как проекции вектора, вращающегося с постоянной скоростью, попытайтесь дать геометрическую интерпретацию понятию гильбертовой огибающей.

Рассматривая преобразование Гильберта как интеграл наложения (свертки, Дюамеля), покажите физическую нереализуемость гильбертова фильтра.

Объясните смысл функционала ПВ случайного процесса и его преемственность по отношению к многомерным ПВ. Какие детерминированные векторно-матричные величины и в каком количестве полностью описывают вероятностные свойства нормального случайного вектора?

Что такое обратная корреляционная функция и как она участвует в вероятностном описании гауссовского случайного процесса?

Что представляет собой обратная корреляционная функция белого гауссовского шума и как классифицируются реализации последнего по «вероятности»?