§ 4.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ОЦЕНОК. ФУНКЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Как указывалось в § 4.4, оценка по максимуму правдоподобия эффективна всякий раз, когда строго эффективная оценка вообще существует. Однако во всех случаях выполнения условий регулярности (см. § 4.4) ОМП асимптотически эффективна. Таким образом, можно считать дисперсию ОМП совпадающей с границей Крамера — Рао. При существовании эффективной оценки это совпадение абсолютно точно, в других же случаях дисперсия ОМП тем ближе к названной границе, чем информативнее наблюдения, т. е. чем правомернее ориентир на асимптотическую эффективность ОМП. Как отмечалось, для проявления механизма асимптотической эффективности необходимо заметное превышение энергией сигнала интенсивности шума либо достаточная продолжительность наблюдений. Полагая требования, гарантирующие равенство (точное пли приближенное) дисперсии ОМП границе Крамера — Рао, соблюденными, конкретизируем выражения для последней применительно к измерениям параметров сигнала, маскируемого аддитивным белым шумом.

Допустим вначале, что оцениваются все неизвестные параметры сигнала. При этом на этапе формирования оценок полезные и мешающие параметры абсолютно равноправны, поскольку отбор оценок полезных параметров наблюдатель осуществит только после оценивания всех параметров. В итоге рассматриваемая задача неотличима от оценки параметров сигнала, не содержащего неинформационных параметров. Воспользовавшись результатами (4.31), (4.27), для элементов матрицы Фишера Ф получим

Если не содержит энергетических составляющих, то и второе слагаемое в правой части (4.51) обращается в нуль. Тогда

Так как , где — истинное значение параметра , то

где — отношение сигнал/шум на выходе согласованного с сигналом фильтра, а функция

называется функцией неопределенности (ФН) сигнала по параметру . Очевидно, ФН есть коэффициент корреляции двух копий сигнала , имеющих различные значения измеряемого параметра . Кроме того, . В рассматриваемых далее примерах будут встречаться лишь ФН стационарного типа, зависящие только от разностного аргумента . Независимость такой ФН от позволяет определить ее равенством

В таком виде ФН характеризует изменение корреляции сигнала с его копией по мере отклонения значения параметра от нулевого. Максимум , равный единице, достигается при . При стационарной ФН (4.52) элементы матрицы Ф определяются как

Рассмотрим случай, когда наблюдатель предпочел воспользоваться (4.38), т. е. когда начальная фаза сигнала случайна и имеет равномерную априорную ПВ (4.37). Считая параметр неэнергетическим , для элементов матрицы Фишера будем иметь

Для высокоинформативных измерений можно принять , так что в некоторой окрестности ,

Согласно равенствам (4.34), (4.45),

где

причем — комплексная огибающая шума . Если отличие от достаточно мало, то первое слагаемое под знаком модуля в выражении для по абсолютному значеншо близко к единице, второе (случайное) имеет, как нетрудно показать, дисперсию , так что можно вновь воспользоваться неравенством и, ограничившись в разложении в ряд Тейлора по степеням линейным приближением, после усреднения получить

где уместно назвать ФН сигнала по параметру . Отметим, что, как и прежде, . Комплексная величина , согласно определению (4.55), есть коэффициент корреляции двух копий и комплексной огибающей сигнала , отличающихся лишь значениями и . измеряемого параметра . Числовой же характеристикой близости этих копий служит модуль , т. е. ФН . Для ФН стационарного типа, зависящих только от разности , можно положить , перейдя к определению

Ясно, что характеризует ослабление сходства комплексной огибающей с ее копией по мере отклонения значения в последней от нуля. Значение является максимумом . Подставив (4.58) в соотношения (4.57), (4.54) и вычислив производные ФН с учетом того, что , придем к окончательному выражению для элементов матрицы Фишера :

Таким образом, элементы информационной матрицы Фишера в задачах со стационарными ФН вычисляются согласно формулам (4.53), (4.52), когда оцениваются все неизвестные параметры, и формулам (4.59), (4.58) либо

(4.55), когда наблюдатель предпочитает предварительное усреднение ФН по равновероятной начальной фазе.

После того как все найдены, следует выполнить обращение матрицы . Полученная при этом обратная матрица является, как указывалось в § 4.4 (по крайней мере асимптотически), корреляционной матрицей ОМП всех одновременно оцениваемых параметров . В главной диагонали стоят, следовательно, искомые дисперсии ОМП [см. (4.26)].

Пусть, например, измеряется единственный неэнергетический параметр сигнала . Тогда Ф — скаляр, определяемый согласно (4.53): (сигнал не содержит других неизвестных параметров, кроме ) — или (4.59): (сигнал со случайной равновероятной фазой). Поэтому дисперсия ОМП, полагаемая равной правой части (4.26) или, что в данном случае одно и то же, (4.24), при отсутствии у сигнала неинформационных параметров

а в случае сигнала с начальной фазой, равновероятной на интервале ,

(4.61)

Таким образом, повышению точности ОМП скалярного параметра способствует, с одной стороны, увеличение энергии сигнала, т. е. величины другой — применение таких сигналов, у которых ФН имеет по возможности острый пик (большую по абсолютному значению отрицательную вторую производную) в точке .