§3.6. СТРУКТУРЫ И ПОКАЗАТЕЛИ РАЗЛИЧИТЕЛЕЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Предшествующий материал относился только к обнаружению, представляющему собой частный случай различения двух сигналов, один из которых равен нулю. В настоящем и следующем параграфах будет рассмотрено различение ненулевых сигналов одинаковой энергии. При этом за основу будет принято правило МП (2.10), оптимальное в том случае, когда критерием качества служит сумма условных вероятностей ошибок (2.3), либо полная вероятность ошибки при равных априорных вероятностях всех сигналов , либо средний риск (2.1) при равновероятности сигналов и равной опасности всех ошибок . Подобные допущения упростят рассмотрение и придадут ему максимальную физическую наглядность, обобщения же обсуждаемых правил и структур на случаи неравных энергий и байесовских критериев с произвольными очевидны и у читателя, постигшего суть вопроса, затруднений не вызовут. Начнем с различения двух детерминированных сигналов.

Различение двух детерминированных сигналов. Согласно (2.10), (2.17), действующий по правилу МП различитель двух детерминированных сигналов и равной энергии должен принимать решение о присутствии в колебании сигнала, имеющего с большую корреляцию:

Перепишем это правило в следующем виде:

(3.39)

где . Таким образом, чтобы различить два детерминированных сигнала, достаточно вычислить единственную корреляцию с разностным сигналом , причем какое из решений будет вынесено — зависит только от знака . Структура, реализующая правило (3.39) и использующая коррелятор, показана на рис. 3.14. Как всегда, коррелятор можно заменить фильтром, который должен быть согласованным с разностным сигналом .

Рассмотрим геометрическое толкование процедуры различения, проясняющее попутно вопросы о вероятностях ошибок и о том, как лучше выбрать сами различаемые сигналы. Будем интерпретировать и как векторы в некотором евклидовом пространстве (см. § 2.4), учтя, что длины последних в силу равенства энергий одинаковы: . Так как в любом пространстве через два вектора с общим началом всегда проходит плоскость, векторы и можно считать расположенными на плоскости Р (рис. 3.15). Допустим, что к присутствующему на входе различителя сигналу добавилась помеха , которую можно также интерпретировать как вектор, но уже не обязательно лежащий в плоскости Р. Тогда результирующий вектор и решение будет выноситься в пользу сигнального вектора, ближайшего к , т. е. имеющего от меньшее евклидово расстояние (см. § 2.4).

Рис.3.14.

Рис.3.15

Понятно, что вектор ближе к тому из векторов , к которому ближе проекция на плоскость Р. Таким образом, если через середину вектора провести перпендикуляр ( на рис. 3.15), разделяющий Р на две полуплоскости, то получится следующая модель принятия решения: считается, что в присутствует тот сигнал, который лежит в той же полуплоскости, что и проекция на Р.

Отсюда уже нетрудно прийти к выражениям для вероятностей перепутывания сигналов. Действительно, как видно из рис. 3.15, сигнал будет ошибочно принят за сигнал тогда и только тогда, когда проекция шумового вектора на направление окажется больше половины длины разностного вектора Так как проекция на направление равна , где - скалярное произведение (корреляция) и , то для вероятности перепутывания с имеем

Воспользовавшись нормальностью как линейного преобразования и тем, что среднее , а дисперсия (см. §3.1), где — энергия разностного сигнала, причем , получим

Вероятность перепутывания уменьшается с ростом длины разностного вектора , т. е. с увеличением евклидова расстояния между и

в котором

— коэффициент корреляции сигналов и . Теперь выражение (3.40) можно представить в более традиционном виде:

где — уже известный параметр обнаружения, равный отношению сигнал/шум на выходе фильтра, согласованного с , при гипотезе .

В силу симметрии векторов и относительно на рис. 3.15 вероятности перепутывания и одинаковы и полная вероятность ошибки (2.2) при равновероятных сигналах

Выражение (3.42), как и рис. 3.15, отвечают на вопрос о наилучшей в смысле минимума паре сигналов фиксированной энергии Е. Действительно, коэффициент корреляции (3.41) как частное от деления скалярного произведения и на произведение длин есть косинус угла между векторами и и, следовательно, минимален , когда эти векторы противоположны. Таким образом, вероятность ошибки (3.42) минимальна и равна

для противоположных сигналов , почему такая пара и считается оптимальной в любых приложениях, где требуется различение двух детерминированных сигналов равной энергии.

Тем не менее на практике по разным причинам нередко используют и неоптимальные, например ортогональные, сигналы, для которых и [см. (3.42)]

Сравнивая выражение (3.44) с (3.43), нетрудно видеть, что применение ортогональных сигналов вместо противоположных требует для сохранения значения в раз большего значения q, т. е. двукратного увеличения энергии сигналов Е. Поэтому в классе детерминированных сигналов ортогональная пара имеет энергетические потери по отношению к противоположной .

Легко видеть, что противоположную пару образуют два радиосигнала, отличающиеся сдвигом на угол фазы несущей частоты. Характерных примеров ортогональных пар значительно больше, и среди них такие, как два отрезка длительностью Т гармонического колебания частоты (к — натуральное число), сдвинутые по фазе на угол любые два сигнала, не перекрывающиеся по времени или по спектру; разнообразные фазоманипулированные сигналы и пр.

Различение M сигналов. При произвольном М различитель, придерживающийся правила МП, по-прежнему считает присутствующим в сигнал, наименее в смысле евклидова расстояния [см. (2.10), (2.16)] или, что при одинаковых энергиях сигналов равносильно, имеющий с максимальную корреляцию [см. (2.17)]. Используя соглашение о символике решающих правил в (2.6) — (2.10), алгоритм МП можно записать в виде

(3.45)

Структура, в основу которой положено правило (3.45), изображена на рис. 3.16. Она содержит М каналов (по числу сигналов), вычисляющих М корреляций наблюдаемой реализации со всеми сигналами.

Рис.3.16

Решающий блок РБ отыскивает наибольшую из корреляций. Сигнал, поданный в качестве опорного на коррелятор, на выходе которого зафиксирован максимум объявляется присутствующим в . Вместо корреляторов можно использовать фильтров, каждый из которых согласован со своим сигналом . Число каналов в схеме можно уменьшить на единицу, если в каждом из них вычислять корреляцию не с , а с . Тогда с выходов всех каналов будут сниматься разности , и логика работы РБ должна быть изменена: решение будет выноситься только если все (это значит, что при всех ). Если же среди разностей хоть одна положительна, то будет решено, что в содержится тот сигнал, для которого .

Геометрические образы, использованные ранее, можно распространить и на случай , только теперь пучок векторов , расположится не на плоскости, а в -мерном пространстве. Для того чтобы по возможности уменьшить вероятность перепутывания -го сигнала с , следует максимально «раздвинуть» и векторы. Однако если , то, раздвигая два вектора, необходимо следить, чтобы каждый из них не приближался к какому-то третьему, поскольку все сигналы равноправны и каждый из них может с равной вероятностью присутствовать в . Таким образом, оптимальный выбор М детерминированных сигналов сводится к поиску такой конфигурации пучка М векторов, в которой минимальное евклидово расстояние между парой векторов было бы максимальным: . Так как при равенстве энергий, т. е. длин векторов, , где - коэффициент корреляции -го и -го , то требование максимума минимального расстония тождественно условию минимума максимального коэффициента корреляции в множестве (ансамбле) сигналов . Предельно достижимый минимум максимального коэффициента корреляции устанавливается довольно легко. Просуммировав по всем и , получим

где неравенство следует из неотрицательности квадрата под интегралом. Кроме того, в сумме слева М слагаемых при равны единице, а остальные не больше , где . Поэтому и .

Конфигурацию из М векторов, в которой косинус угла между любой парой векторов равен — , называют правильным симплексом. Если эти векторы взять в качестве М сигналов, то полученный детерминированный ансамбль (симплексный код) при равновероятности всех обеспечит минимум полной вероятности ошибки (2.2), что и решает вопрос об оптимальном выборе М сигналов. Примерами правильных симплексов служат при два противоположных вектора; при — три вектора, лежащих в одной плоскости и разбивающих ее на три равных угла по при — четыре вектора, концы которых являются вершинами правильного тетраэдра, и т. д. Понятно, что при выполняется соотношение , и поэтому при большом числе различаемых сигналов ортогональный ансамбль, в котором , практически не проигрывает симплексному в значении .

Последовательность вывода точного выражения для вероятности ошибки различения сигналов с произвольными такова [9]. ПВ системы случайных величин -мерный нормальный закон, для задания которого достаточно знать средние всех и их корреляционную матрицу [см. (1.4)]. Для средних при истинности гипотезы имеем . Корреляционный же момент и корреляций равен . После того как -мерная ПВ найдена, ее М-кратный интеграл по области , позволяет получить вероятность правильного решения при условии истинности . Сумма таких вероятностей, деленная на (с учетом равновероятности сигналов), будет полной вероятностью правильного решения , связанной с

(2.2) очевидным равенством .

Получаемый таким образом -кратный интеграл в ряде важных случаев удастся свести к однократному. Так, для любых равнокоррелированных (равноудаленных) сигналов

(3.47)

В практических расчетах выражение (3.47) используют редко из-за необходимости численного интегрирования. Чрезвычайно полезна оценка (3.47) сверху, для вывода которой будем считать, что истинна гипотеза . При этом ошибка происходит всегда, когда истинно хотя бы одно из событий . Вероятность ее , равная вероятности объединения событий , по теореме сложения вероятностей,

и в силу известного неравенства Буля не больше первой суммы справа. Так как каждое слагаемое этой суммы есть вероятность перепутывания двух сигналов с , то, согласно (3.42), для равноудаленных сигналов

При равновероятных сигналах приходим к так называемой аддитивной границе полной вероятности ошибки

(3.48)

При как видно из сравнения с (3.42), последнее соотношение является строгим равенством. Использование

(3.48) при оправдывается, с одной стороны, асимптотическим сближением его правой части и по мере роста требований к качеству различения , а с другой — тем, что, выбирая необходимую энергию сигналов (минимальное значение q) исходя из правой части (3.48), разработчик всегда действует с известной перестраховкой, гарантируя удержание фактической вероятности ошибки ниже цифры, принятой им при расчете.