ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ И УСТРОЙСТВА ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ

§ 3.1. ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА

Как было показано в гл. 2, процедура оптимального обнаружения полностью известного сигнала сводится к вычислению ОП (2.12) или любой монотонной функции и сравнению их с соответствующими пороговыми значениями. Учитывая вид для рассматриваемой задачи (2.18) и выбрав в качестве , получим следующее решающее правило:

где - корреляционный интеграл или корреляция, определяющая степень сходства наблюдаемой реализации с ожидаемым сигналом . При гипотезе и корреляция в среднем будет больше, чем при гипотезе , когда . Это обстоятельство и используется при обнаружении. Входящий в (3.1) пороговый уровень зависит от принятого критерия обнаружения. Так, при общем байесовском подходе, согласно (2.12), . При ориентации на наиболее часто применяемый на практике критерии Неймана—Пирсона определяется заданным уровнем вероятности ложной тревоги . Структура устройства, называемого корреляционным приемником и реализующего алгоритм (3.1), приведена на рис. 3.1, где обозначения и ПУ отвечают перемножителю, интегратору и пороговому устройству.

Рис. 3.1

Третий слева блок предназначен для взятия отсчета (стробирования) текущего значения на выходе интегратора в момент окончания наблюдений Т. Это равносильно умножению выходной величины интегратора на короткий (за его длительность результат интегрирования не должен изменяться) импульс единичной амплитуды , запаздывающий на время Т. Заметим, что опорный сигнал коррелятора на рис. 3.1 - точная копия обнаруживаемого сигнала, формируемая автономным генератором в месте приема. Воспроизведешь сигнала в обнаружителе оказывается возможным вследствие полной детерминированности .

Можно предложить другую техническую реализацию алгоритма (3.1), основываясь на том, что корреляцию можно сформировать как отсчет в момент времени сигнала на выходе фильтра, импульсная характеристика которого . Напомним, что такой фильтр называют согласованным. Структура обнаружителя, основанного на использовании согласованного фильтра (СФ), и временные диаграммы, иллюстрирующие его работу для случая, когда обнаруживаемым сигналом является прямоугольный импульс, приведены на рис. 3.2 и 3.3.

Как известно [9], реакция СФ на сигнал, с которым он согласован, имеет вид корреляционной функции последнего , смещенной на время Т в сторону запаздывания, т. е.

Следовательно, максимальное значение (амплитуда) сигнала после СФ.

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Белый шум на выходе СФ «окрашивается», и его корреляционная функция по форме совпадает с :

(3.3)

Из (3.3) следует, что дисперсия (мощность) шума на выходе СФ

Диаграммы рис. 3.3 отвечают случаю, когда порог превышен и будет принято решение в пользу гипотезы .

Рассчитаем вероятности ошибок в оптимальном обнаружителе детерминированного сигнала, пользуясь тем, что

где — ПВ корреляции при гипотезе .

Графическая иллюстрация этих соотношений приведена на рис. 3.4, где площади заштрихованных областей равны (косая штриховка) и (прямая штриховка). Так как есть линейное преобразование нормального случайного процесса (умножение на фиксированную функцию и интегрирование), то где одномерные нормальные ПВ. Остается найти лишь их параметры: среднее и дисперсию . При отсутствии сигнала

так как . Появление сигнала на входе приводит к тому, что [см. (3.2)]

Из физических соображений ясно, что дисперсия , совпадающая с дисперсией помехи на выходе СФ, не зависит от присутствия на входе сигнала и с учетом (3.4) . Таким образом,

Рис. 3.5

Введя безразмерную переменную получим

где — интеграл вероятности; — нормированный пороговый уровень; — параметр обнаружения, равный отношению сигнал/шум на выходе фильтра, согласованного с обнаруживаемым сигналом . График функции приведен на рис. 3.5. С учетом того, что , выражение для можно представить в виде

С помощью соотношений (3.5) и (3.6) осуществляется расчет обнаружителя в соответствии с принятым критерием оптимальности. Так, при использовании критерия Неймана— Пирсона требуется минимизировать при фиксированном значении . При этом из уравнения следует найти нормированный порог , где функция, обратная (т.е. решение уравнения относительно ), и подставить полученное значение h в формулу для . Зависимости

от q при фиксированных значениях вероятности ложной тревоги называют характеристиками обнаружения. Опираясь на свойства интеграла вероятности , легко установить, что зависимость от q является монотонно возрастающей, асимптотически стремящейся к единице при .

Рис. 3.6

При . Характеристики обнаружения детерминированного сигнала приведены на рис. 3.6 (сплошные линии).

Часто бывает необходимо рассчитать минимальное значение параметра q, при котором достигается требуемая верность обнаружения, т. е. заданные значения и . Это минимальное значение определяет при заданной спектральной плотности мощности шума энергию сигнала , называемого иногда пороговым. Пользуясь соотношениями (3.5) — (3.7), легко установить, что