§ 9. Вариационный принцип теории упругой устойчивости

В линейной теории упругости компонент удлинений выражаются через перемещения точек тела с помощью линейных соотношений (2.9). Для решения задач устойчивости этих соотношений недостаточно, так как задачи устойчивости не линейны.

Если в выражениях удлинений наряду с линейными относительно перемещений слагаемыми учесть квадратичные слагаемые, то для компонентов удлинений можно получить следующие нелинейные соотношения

Применим эти соотношения при исследовании устойчивости упругого тела, нагруженного системой мертвых сил (см. рис. 2.1). Для простоты рассуждений будем считать, что все внешние силы изменяются пропорционально одному параметру Р, а наложенные связи исключают перемещения тела как жесткого целого.

Предположим, что состояние равновесия нагруженного тела, соответствующее решению линейной задачи, известно. Это состояние в дальнейшем будем называть начальным невозмущенным состоянием равновесия. Устойчивость равновесия этого состояния исследуем при следующих допущениях.

1. Начальное невозмущенное состояние равновесия тела описывается уравнениями линейной теории упругости.

2. Изменениями размеров и формы тела в начальном состоянии равновесия можно полностью пренебречь.

3. Зависимости закона Гука (2.3) справедливы не только для начального состояния, но и при малых отклонениях тела от начального состояния равновесия.

Вариационная формулировка условий устойчивости упругого тела может быть получена двумя различными способами (см. § 5). Первый способ основан на определении условий, при которых в окрестности начального невозмущенного состояния равновесия может существовать новое возмущенное состояние равновесия, т. е. на определении вариационным методом точек бифуркации начального состояния равновесия. Второй способ связан с непосредственным исследованием устойчивости начального состояния равновесия с помощью теоремы Лагранжа.

Рассмотрим первый способ. Перемещения точек тела в начальном невозмущенном состоянии равновесия будем считать известными и обозначим Тогда перемещения, соответствующие новому возмущенному состоянию равновесия, равны

где — дополнительные перемещения, которые получают точки тела при переходе из начального невозмущенного состояния равновесия в новое возмущенное состояние равновесия.

При этом функции будем считать конечными, а коэффициент бесконечно малой величиной, не зависящей от координат.

В новом состоянии равновесия компоненты деформаций выразим через перемещения (2.23) с помощью соотношений (2.22):

где — компоненты деформаций в начальном состоянии равновесия, определяемые линейными соотношениями (2.9):

Величины линейно зависят от производных функций .

а величины квадратов производных

Заметим, что выражения для имеют следующую структуру:

Поскольку в соответствии с принятым допущением (см. § 7) изменением размеров тела в докритическом состоянии равновесия пренебрегаем, вместо последних зависимостей получаем выражения (2.26). Таким образом, при исследовании устойчивости начального невозмущенного состояния принимаем такую модель: до потери устойчивости тело напряжено, но не деформировано.

Закон Гука считаем справедливым для состояний, смежных с начальным. Поэтому внутреннюю потенциальную энергию в новом возмущенном состоянии равновесия можно вычислить по формуле (2.7), подставив значения деформаций из (2.24). С точностью до слагаемых, имеющих множитель , получим

где — потенциальная энергия деформации тела в начальном состоянии равновесия,

Потенциал внешних (мертвых) сил в новом возмущенном состоянии равновесия подсчитаем по общей формуле (2.10), учитывая зависимости (2.23):

где — потенциал внешних сил в начальном состоянии равновесия,

Полная потенциальная энергия равна

где — полная потенциальная энергия в начальном состоянии.

Величина представляет собой первую специальную вариацию полной энергии в начальном состоянии равновесия, т. е. вариацию, при которой возможные перемещения бы, совпадают с перемещениями [15]. Поскольку такая вариация является частным случаем общей вариации, очевидно, Определим условия существования состояний равновесия, смежных с начальным невозмущенным состоянием. Новое возмущенное состояние является равновесным, если первая вариация полной потенциальной энергии в этом состоянии равна нулю, т. е.

Так как начальное состояние равновесно, , и вариационное условие существования новых состояний равновесия, смежных с начальным, принимает вид

Величина пропорциональна второй специальной вариации . Поэтому условие (2.37) иногда формулируют в виде следующего вариационного принципа [15]. Для существования равновесных состояний, смежных с начальным состоянием равновесия, необходимо, чтобы вторая специальная вариация полной потенциальной энергии принимала стационарные значения, т. е.

Из этого вариационного принципа или вариационного критерия устойчивости можно найти собственные значения параметра нагрузки и собственные функции задачи, описывающие конфигурацию системы в момент перехода к новому возмущенному состоянию равновесия.

Для того чтобы выяснить, при каких значениях Р начальное состояние устойчиво и при каких его значениях оно неустойчиво, можно воспользоваться вторым путем вывода, полученного выше вариационного принципа (см. § 5).

Согласно теореме Лагранжа исходное состояние равновесия устойчиво только тогда, когда полная потенциальная энергия имеет минимум. Таким образом, при любых возможных отклонениях системы в окрестности устойчивого состояния равновесия должно выполняться условие

Критическим является такое значение параметра нагрузки , при превышении которого начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Поэтому при условие (2.39) для любых возможных отклонений не выполняется и, вообще говоря, имеются такие отклонения, при которых . Следовательно, можно разыскивать как нижнюю границу тех значений , при которых возможны отклонения системы от начального состояния, приводящие к условию .

Следует подчеркнуть, что при полная потенциальная энергия начального состояния не становится максимальной, а только перестает быть минимальной. Поэтому при кроме отклонений, приводящих к , возможны отклонения, при которых и .

Учитывая, что , из выражения (2.35) получаем

Обозначим

где

здесь — компоненты деформаций начального состояния при Р=1. Тогда для тех отклонений, при которых , можно записать

Нетрудно убедиться, что условие минимума , определяемого этой зависимостью, снова приводит к вариационному , эквивалентному (2.38). Действительно, из условия

получаем

С учетом зависимостей (2.42) и (2.41) последнее равенство приводит к вариационному уравнению (2.37). Теперь становится ясным, что первое собственное значение параметра нагрузки определяемое из этого уравнения, совпадает с нижней границей значений , определяемых зависимостью (2.42), поэтому .

Из изложенного вытекает практическое правило, обычно используемое при определении критических нагрузок.

Для определения критического значения параметра нагрузки нужно подсчитать изменение полной потенциальной энергии системы с точностью до квадратов перемещений, описывающих переход системы в новое, отклоненное состояние, смежное с начальным состоянием равновесия, устойчивость которого исследуется. Собственные значения параметра нагрузки можно найти либо из условия стационарности

(2.43)

либо из условия

при дополнительном условии минимума параметра нагрузки . Первое собственное значение равно критическому значению , а первая собственная функция задачи описывает конфигурации» системы в момент потери устойчивости.

Формулу для можно преобразовать, выразив слагаемое V2 не через начальные удлинения, а через начальные напряжения. Воспользовавшись зависимостями закона Гука (3.3), получим

где — компоненты начальных напряжений при . Выражение для перепишем еще раз, опустив множитель :

Начальные напряжения должны быть предварительно определены из решения линейной задачи для начального невозмущенного состояния равновесия тела. Удлинения подсчитываем по формулам (2.26) и (2.27).

Если по зависимостям закона Гука (2.4) ввести величины

то выражение (2.45) можно записать в следующем виде:

Вариационное условие (2.43) или (2.44), выраженное через начальные напряжения . с помощью зависимостей типа (2.45) или (2.46), назовем энергетическим критерием устойчивости (вариационным принципом) в форме Брайана.

Из выражения (2.45) следует, что при состояние равновесия тела всегда устойчиво, поскольку первый интеграл этого выражения больше нуля при любых комбинациях отклонений «и . Величина может обратиться в нуль и начальное состояние равновесия может стать неустойчивым только при значениях , превышающих некоторое критическое значение .

Оценим порядок значений начальных напряжений и деформаций, при которых это может произойти. Сравнивая формулы (2.26) и (2.27), видим, что порядок равен порядку . Тогда из зависимости (2.45) следует, что для того чтобы могло обратиться в нуль, порядок значений начальных напряжений должен быть такой же, как у модуля упругости. Другими словами, для того чтобы начальное состояние равновесия изотропного упругого тела перестало быть устойчивым, начальные деформации в нем должны быть порядка единицы.

В этом случае все изложенное выше становится неверным, поскольку при выводе основных соотношений начальные деформации считали пренебрежимо малыми по сравнению с единицей.

Известны два исключения, при которых нарушается приведенная общая оценка значений критических деформаций. Это тела с резко выраженной анизотропией упругих свойств и тонкостенные тела (стержни, пластины, оболочки). На рис. 2.4 изображен параллелепипед из анизотропного материала, равномерно сжатый вдоль оси . Начальное напряженное состояние считаем одноосным, причем , где F — площадь поперечного сечения параллелепипеда. Материал обладает настолько резко выраженной анизотропией, что , где — соответственно модуль сдвига в плоскости и модуль упругости в направлении оси . У такого параллелепипеда возможна сдвиговая форма потери устойчивости в плоскости при малых начальных деформациях . Перемещения при этой форме потери устойчивости зададим в виде . Согласно зависимости (2.46) имеем

По формулам (2.26) и (2.27) определяем

Учитывая зависимость закона Гука , можно записать

где V — объем параллелепипеда.

Из условия следует, что критические напряжения

Рис. 2.4.

Как видим, абсолютное значение критических сжимающих напряжений не зависит от размеров тела и равно модулю сдвига в плоскости .

В силу принятого допущения о резко выраженной анизотропии упругих свойств потеря устойчивости происходит при малых абсолютных значениях начальных деформаций

В качестве второго примера рассмотрим шарнирно-опертый прямой стержень, сжатый силой (рис. 2.5). Как и в предыдущем примере, начальное напряженное состояние считаем одноосным: , где F — площадь поперечного сечения стержня.

Изгибное состояние равновесия стержня, смежное с начальным, опншем с помощью обычной гипотезы плоских сечений (см. § 8). Тогда, положив для простоты коэффициент Пуассона , можно записать .

В данном случае согласно зависимости (2.46) имеем

По формулам (2.26) и (2.27) находим

По закону Гука , следовательно,

Рис. 2.5.

После интегрирования по площади поперечного сечения стержня получим

где — момент инерции поперечного сечения.

Потеря устойчивости шарнирно-опертого стержня происходит по одной полуволне синусоиды (см. § 5), поэтому положим

.

Тогда из выражения (2.47) следует, что

где инерции поперечного сечения.

Для тонких стержней можно считать поэтому первым слагаемым в квадратных скобках можно пренебречь по сравнению с единицей и из условия получить значение

Эйлеровой критическои силы .

Опуская знак, подсчитаем относительное удлинение (укорочение) стержня, соответствующее :

Для тонких стержней и критическая деформация действительно оказывается малой. Следует еще раз подчеркнуть, что критическая деформация является геометрической характеристикой стержня, не зависящей от модуля упругости материала.

В заключение необходимо сделать следующее замечание.

Из приведенного вывода формулы Эйлера следует, что эта формула органически содержит погрешность порядка с единицей. Эти выводы сделаны в § 7 без помощи энергетического критерия устойчивости. Погрешности того же типа содержатся во всех формулах для критических нагрузок тонкостенных упругих систем, если при выводе формул начальные деформации считают пренебрежимо малыми по сравнению с единицей.