Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 11. Метод Рэлея—Ритца в задачах устойчивостиМетод Рэлея—Ритца является универсальным методом приближенного решения основной задачи вариационного исчисления — задачи определения экстремумов или стационарных значений функционалов. Сущность этого метода состоит в замене задачи поиска стационарных значений функционалов принципиально более простой задачей поиска стационарных значений функций нескольких переменных. Определение точек бифуркации и критических нагрузок энергетическим методом сводится к определению стационарных значений некоторых функционалов. Для решения последней задачи может быть применен метод Рэлея—Ритца. Схему использования метода Рэлея—Ритца в задачах устойчивости упругих систем рассмотрим на примере определения критической силы для сжатого прямого стержня. При этом следует иметь в виду, что задача устойчивости стержня выбрана только для наглядности изложения и все этапы ее решения, рассуждения и выводы носят общий характер. Энергетический критерий устойчивости в форме Брайана для прямого стержня, сжатого продольной силой, имеет вид
где при
Штрихом здесь и далее обозначено дифференцирование по Граничные условия для функции поперечного прогиба
При решении задачи методом Рэлея—Ритца функцию поперечного прогиба
где Подставив ряд (2.68) в выражение (2.66) и выполнив необходимые операции дифференцирования и интегрирования, преобразуем функционал изменения полной потенциальной энергии стержня в функцию N независимых переменных
При этом
Необходимое условие стационарности функции
Полученная система уравнений будет линейной однородной системой N алгебраических уравнений относительно независимых параметров
где
причем Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения
Это уравнение степени N дает N собственных значений Для каждого собственного значения
где Если система базисных функций В случае применения метода Рэлея—Ритца базисные функции Представление искомой функции в виде ряда далеко не единственный способ перехода от задачи определения стационарных значений функционала к задаче определения стационарных значений функции нескольких переменных. Для этой цели функцию
где Переход от задачи определения стационарных значений функционала к задаче определения стационарных значений функции нескольких переменных можно выполнить, минуя аналитическое представление искомой функции В исследуемом функционале все производные можно выразить через конечные разности. Если стержень разбить на
где Рассматривая оставшиеся значения
Условие существования отличных от нуля решений снова приводит к уравнению типа (2.72), наименьший корень которого дает приближенное значение Уравнения (2.74) являются уравнением Эйлера для функционала (2.66), записанным через конечные разности. Поэтому намеченный путь решения вариационной задачи с помощью конечных разностей фактически сводится к решению дифференциального уравнения Эйлера методом конечных разностей. В настоящее время имеется ряд модификаций метода Рэлея-Ритца, специально приспособленных для численного счета на ЭЦВМ. Среди них особо следует отметить метод конечных элементов [34]. Использование метода Рэлея — Ритца в сочетании с методом множителей Лагранжа. В описанной выше схеме метода Рэлея—Ритца геометрическим граничным условиям задачи удовлетворяла каждая координатная функция В качестве примера рассмотрим задачу устойчивости стержня, один конец которого защемлен, а другой свободно оперт (рис. 2.9). Граничные условия задачи 1)
Рис. 2.9. Первые три граничных условия являются геометрическими и должны обязательно удовлетворяться при построении приближенного решения задачи методом Рэлея—Ритца. Функцию прогиба зададим в виде тригонометрического ряда
Каждый из членов этого ряда удовлетворяет двум геометрическим граничным условиям: Для удовлетворения этому условию параметры
При этом, очевидно, будет выполняться условие
Для дальнейшего решения целесообразно воспользоваться методом множителей Лагранжа (см. приложение II). Тогда при любом числе членов ряда N получается единообразная схема счета. Введем вспомогательный функционал
где X — множитель Лагранжа. Условие стационарности
Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получаем уравнение степени (N — 1) относительно
где
в частности, при
Наименьший корень уравнения (2.77) приближенно равен
где В первом приближении при
Откуда
Точное значение При аналитическом представлении искомой функции в виде ряда (2.68) или выражения (2.73) метод Рэлея — Ритца всегда приводит к завышенному значению критической нагрузки. Это происходит вследствие того, что ограничивая выражением (2.73) или рядом (2.68) класс функций, среди которых ищем решение задачи, как бы накладываем на исследуемую систему дополнительные связи. В результате таких дополнительных связей жесткость системы может возрасти, что и приведет к завышенному значению критической нагрузки. Значение критической нагрузки, полученное методом Рэлея—Ритца, равно точному только в том случае, когда взята точная функция прогиба. Но при численном представлении искомой функции приведенная выше оценка теряет силу. Например, в случае представления
|
1 |
Оглавление
|