§ 11. Метод Рэлея—Ритца в задачах устойчивости

Метод Рэлея—Ритца является универсальным методом приближенного решения основной задачи вариационного исчисления — задачи определения экстремумов или стационарных значений функционалов. Сущность этого метода состоит в замене задачи поиска стационарных значений функционалов принципиально более простой задачей поиска стационарных значений функций нескольких переменных.

Определение точек бифуркации и критических нагрузок энергетическим методом сводится к определению стационарных значений некоторых функционалов. Для решения последней задачи может быть применен метод Рэлея—Ритца. Схему использования метода Рэлея—Ритца в задачах устойчивости упругих систем рассмотрим на примере определения критической силы для сжатого прямого стержня. При этом следует иметь в виду, что задача устойчивости стержня выбрана только для наглядности изложения и все этапы ее решения, рассуждения и выводы носят общий характер.

Энергетический критерий устойчивости в форме Брайана для прямого стержня, сжатого продольной силой, имеет вид

где при согласно зависимости (2.64)

Штрихом здесь и далее обозначено дифференцирование по .

Граничные условия для функции поперечного прогиба считаем заданными. Например, в случае шарнирно-опертого стержня примем следующие граничные условия:

(2.67)

При решении задачи методом Рэлея—Ритца функцию поперечного прогиба можно задать в виде ряда

где — свободные независимые параметры, базисные функции — допустимые функции задачи, т. е. в этом случае дважды дифференцируемые функции, удовлетворяющие (каждая в отдельности) геометрическим граничным условиям. Для шарнирно-опертого стержня эти функции должны быть подчинены условиям .

Подставив ряд (2.68) в выражение (2.66) и выполнив необходимые операции дифференцирования и интегрирования, преобразуем функционал изменения полной потенциальной энергии стержня в функцию N независимых переменных и параметра нагрузки :

При этом

Необходимое условие стационарности функции которой заменен исходный функционал, сводится к системе N уравнений

Полученная система уравнений будет линейной однородной системой N алгебраических уравнений относительно независимых параметров . В матричной записи эта система уравнений имеет вид

где

причем .

Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения :

Это уравнение степени N дает N собственных значений , которые приближенно соответствуют N первым точкам бифуркации исходной задачи устойчивости стержня. Наименьшее из найденных собственных значений приближенно равно критической нагрузке, т. е. .

Для каждого собственного значения решения уравнения (2.71) дают возможность с точностью до масштаба приближенно найти форму изогнутой оси стержня в окрестности точки бифуркации. В частности, решение при , приближенно описывает форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости:

где .

Если система базисных функций полная, то при решение задачи методом Рэлея—Ритца сходится к точному решению. Но при практическом использовании метода, когда число членов ряда (2.68) невелико, сходимость к точному решению имеет только теоретическое значение. Значительно важнее удачно выбрать вид первых членов этого ряда.

В случае применения метода Рэлея—Ритца базисные функции должны удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Если система базисных функций полная, то при силовые граничные условия - удовлетворяются автоматически. Однако выбирая базисные функции при небольшом числе членов ряда (2.68), удерживаемых в решении, желательно удовлетворять не только геометрическим, но и силовым граничным условиям (особенно для первого члена ряда).

Представление искомой функции в виде ряда далеко не единственный способ перехода от задачи определения стационарных значений функционала к задаче определения стационарных значений функции нескольких переменных. Для этой цели функцию можно искать среди семейства функций, удовлетворяющих заданным геометрическим условиям задачи и зависящим от N свободных параметров:

где — независимые параметры, причем геометрические граничные условия выполняются при любых значениях [ряд (2.68) — частный случай такого семейства функций]. Подставив (2.73) в выражение (2.66), снова получим зависимости типа (2.69), но структура функции будет иная.

Переход от задачи определения стационарных значений функционала к задаче определения стационарных значений функции нескольких переменных можно выполнить, минуя аналитическое представление искомой функции .

В исследуемом функционале все производные можно выразить через конечные разности. Если стержень разбить на равных участков и операцию интегрирования в выражении (2.66) заменить суммированием, то получим

где — значения изгибкой жесткости и искомой функции в узловых точках, причем в силу геометрических граничных условий шарнирного опирания .

Рассматривая оставшиеся значения в качестве независимых переменных, запишем условие стационарности в виде системы уравнений

Условие существования отличных от нуля решений снова приводит к уравнению типа (2.72), наименьший корень которого дает приближенное значение . Соответствующее этому корню решение системы уравнений (2.74) приближенно описывает форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости.

Уравнения (2.74) являются уравнением Эйлера для функционала (2.66), записанным через конечные разности. Поэтому намеченный путь решения вариационной задачи с помощью конечных разностей фактически сводится к решению дифференциального уравнения Эйлера методом конечных разностей.

В настоящее время имеется ряд модификаций метода Рэлея-Ритца, специально приспособленных для численного счета на ЭЦВМ. Среди них особо следует отметить метод конечных элементов [34].

Использование метода Рэлея — Ритца в сочетании с методом множителей Лагранжа. В описанной выше схеме метода Рэлея—Ритца геометрическим граничным условиям задачи удовлетворяла каждая координатная функция . Но при выборе аппроксимирующих функций можно потребовать, чтобы часть граничных условий была удовлетворена не каждой функцией ряда (2.68), а их суммой. В некоторых случаях такой путь решения удобнее.

В качестве примера рассмотрим задачу устойчивости стержня, один конец которого защемлен, а другой свободно оперт (рис. 2.9). Граничные условия задачи 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Рис. 2.9.

Первые три граничных условия являются геометрическими и должны обязательно удовлетворяться при построении приближенного решения задачи методом Рэлея—Ритца.

Функцию прогиба зададим в виде тригонометрического ряда

Каждый из членов этого ряда удовлетворяет двум геометрическим граничным условиям: , но не удовлетворяет третьему условию .

Для удовлетворения этому условию параметры необходимо связать дополнительным соотношением

При этом, очевидно, будет выполняться условие . Подставляя ряд (2.75) в выражение (2.66) и дифференцируя, подсчитываем изменение полной потенциальной энергии стержня

Для дальнейшего решения целесообразно воспользоваться методом множителей Лагранжа (см. приложение II). Тогда при любом числе членов ряда N получается единообразная схема счета. Введем вспомогательный функционал

где X — множитель Лагранжа.

Условие стационарности и соотношение (2.76) образуют систему однородных линейных алгебраических уравнений с неизвестными и :

Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получаем уравнение степени (N — 1) относительно :

где

в частности, при

Наименьший корень уравнения (2.77) приближенно равен . Например, при получим

где определяются по формулам (2.78).

В первом приближении при приходим к уравнению (при не может быть удовлетворено условие )

Откуда

Точное значение . Таким образом, погрешность полученного приближенного решения . Такая высокая точность объясняется тем, что использованные в решениях функции удовлетворяют не только геометрическим, но и силовым граничным условиям.

При аналитическом представлении искомой функции в виде ряда (2.68) или выражения (2.73) метод Рэлея — Ритца всегда приводит к завышенному значению критической нагрузки. Это происходит вследствие того, что ограничивая выражением (2.73) или рядом (2.68) класс функций, среди которых ищем решение задачи, как бы накладываем на исследуемую систему дополнительные связи. В результате таких дополнительных связей жесткость системы может возрасти, что и приведет к завышенному значению критической нагрузки.

Значение критической нагрузки, полученное методом Рэлея—Ритца, равно точному только в том случае, когда взята точная функция прогиба. Но при численном представлении искомой функции приведенная выше оценка теряет силу. Например, в случае представления через конечные разности значение критической нагрузки может оказаться заниженным по сравнению с точным.