§ 29. Устойчивость пластин при локальных нагрузках

Задачи устойчивости тонких упругих пластин, нагруженных в своей плоскости локальными внешними усилиями, имеют большое практическое значение, а решение таких задач представляет несомненный методический интерес.

Рис. 5.5.

Результаты исследования устойчивости пластин при локальных нагрузках позволяют наиболее наглядно выявить некоторые общие особенности задач устойчивости пластин. Например, задача устойчивости прямоугольной пластины нагруженной сосредоточенными силами, использована для доказательства того, что в критерии устойчивости в форме Брайана нельзя заменять действительные начальные усилия произвольной системой статически возможных начальных усилий (см. § 26).

Прежде чем перейти к конкретным задачам, отметим, что при нагружении пластин сосредоточенными силами не очевидно существование конечных значений критических нагрузок. Действительно в окрестностях точек приложения сосредоточенных сил возникают неограниченно большие напряжения, поэтому бессмысленно говорить о критических напряжениях в срединной плоскости пластины. Строго говоря, необходимо доказать, что несмотря на это потеря устойчивости пластины может произойти только при превышении внешней нагрузкой некоторого конечного критического значения. Таким доказательством является возможность записи энергетического критерия устойчивости в форме С. П. Тимошенко. При использовании энергетического критерия в такой форме задача устойчивости пластин, нагруженных сосредоточенными силами, не требует предварительного определения действительных начальных усилий. В этом случае бесконечно большие напряжения в решении не фигурируют.

В качестве примера рассмотрим решение задачи устойчивости шарнирно-опертой прямоугольной пластины, сжатой сосредоточенными силами (рис. 5,5, а). Приближенное решение задачи получим с помощью энергетического критерия устойчивости, выраженного через статически возможные начальные усилия {см. § 26). Изменение полной потенциальной энергии пластины равно

Систему статически возможных начальных усилий выберем следующим образом (при ):

При такой системе статически возможных начальных усилий из выражения (5.76) следует, что

Для дальнейшего решения возьмем функции нормального прогиба и усилий в таком же виде, как в примере, рассмотренном в предыдущем параграфе:

где для квадратной пластины при .

Тогда

Как и в предыдущем параграфе, при

После элементарных преобразований условие приводит к выражению для критической силы

Если введем безразмерную критическую силу

то окончательно получим

В частности, когда одна сжимающая сила приложена по середине стороны пластины , имеем . Если силы приложены в углах пластины и , то .

Нетрудно убедиться в том, что тот же результат можно получить, не вводя статически возможных начальных усилий, а определяя перемещения и используя критерий устойчивости в форме С. П. Тимошенко, как это сделано в предыдущем параграфе. Если вместо одночленных аппроксимаций выражения для взять в виде рядов, то окончательный результат можно получить практически с любой степенью точности как с использованием статически возможных начальных усилий, так и энергетического критерия устойчивости в форме С. П. Тимошенко.

Задача устойчивости прямоугольной пластины, сжатой сосредоточенными силами, имеет интересную многолетнюю историю. В 1906 г. А. Зоммерфельд впервые рассмотрел задачу устойчивости бесконечно длинной полосы, сжатой в своей плоскости двумя сосредоточенными силами (рис. 5.5, б). Решение этой задачи им получено путем интегрирования основного линеаризованного уравнения устойчивости пластины (4.33), причем поле действительных начальных усилий, входящих в это уравнение, не определялось, а заменялось системой статически возможных начальных усилий, выраженных формулами (5.77).

В результате для шарнирно-опертой вдоль длинных сторон полосы найдено критическое значение сжимающей силы

Для пластины с конечными размерами эту задачу решал С. П. Тимошенко с помощью энергетического метода [371. Срединную плоскость пластины при потере устойчивости он считал нерастяжимой и для подсчета изменения полной потенциальной энергии пластины использовал выражение

Задав функцию поперечного прогиба в виде тригонометрического ряда, для шарнирно-опертой пластины С. П. Тимошенко получил формулу

При эта формула для критической силы сводится к выражению (5.81). Для квадратной пластины при из формулы (5.83) следует, что

Откуда для безразмерной критической силы получим значение

Как отмечал С. П. Тимошенко, используемый им прием приближенного решения этой задачи можно трактовать, как замену действительного начального напряженного состояния пластины статически возможным начальным напряженным состоянием. Действительно, выражение (5.82) получается из энергетического критерия, записанного в форме Брайана, если начальные усилия заменить статически возможными усилиями типа (5.77).

Вслед за С. П. Тимошенко многие авторы решали аналогичные задачи устойчивости пластин, нагруженных сосредоточенными силами, не определяя действительного начального напряженного состояния, а фактически заменяя его статически возможным начальным напряженным состоянием.

Рис. 5.6.

В § 26 отмечалось, что ошибка, к которой приводит такая замена действительных начальных усилий статически возможными, может быть сколь угодно большой, причем знак этой ошибки может быть любым. Например, используя такой подход для рассмотренной выше задачи при (рис. 5.5, а) и ограничиваясь для одночленной аппроксимацией (5.78), вместо формулы (5.80) получаем

При по этой формуле имеем т. е. заниженное значение критической нагрузки. При эта формула приводит к , т. е. к бесконечно завышенному значению . Уточняя решение посредством выбора функции в виде ряда при , получим формулу (5.84), дающую более низкое значение по сравнению с формулой (3.85).

При независимо от числа членов ряда имеем .

В последние годы для квадратной шарнирно-опертой пластины, сжатой двумя сосредоточенными силами, рядом авторов получены численные решения, дающие примерно .

Выясним физический смысл выражения (5.82). Представим, что вдоль линии действия сосредоточенной силы пластина армирована нерастяжимой и несжимаемой нитью (рис. 5.6, а). В этом случае по выражению (5.82) действительно получим значение изменения полной потенциальной энергии при отклонениях пластины от начального плоского состояния равновесия. Причем, как это следует из приведенных выше значений , критическая нагрузка пластины, армированной нерастяжимыми нитями, оказывается меньше, чем неармированной.

В реальных конструкциях тонкие пластины обычно подкрепляют ребрами жесткости (рис. 5.6, б). В этом случае часть сжимающей нагрузки воспринимает пластина, а часть — ребро жесткости. Рассмотрим два предельных случая: 1) вся сжимающая нагрузка передается через ребро жесткости: 2) вся нагрузка воспринимается пластиной. В первом случае критическая сила определяется по формуле

во втором — по формуле

где — изгибная жесткость подкрепляющего ребра в плоскости, перпендикулярной срединной плоскости пластины.

Если ограничиться одночленным приближением (5.78), то для шарнирно-опертой пластины получим, что во втором случае критическая сила в 1,5 раза больше, чем в первом. При уточнении решения несколько изменяется количественная оценка, но качественная сохраняется: при прочих равных условиях ребро, обладающее меньшей жесткостью на сжатие, будет эффективнее, чем ребро, имеющее большую жесткость на продольное сжатие.