Глава 7. Использование полубезмоментной теории В. 3. Власова

Одна из характерных особенностей тонких упругих оболочек заключается в том, что значения критических нагрузок чрезвычайно чувствительны к различного рода случайным, трудноконтролируемым возмущениям. Для тонких оболочек только в уникальных, с особой тщательностью поставленных экспериментах удается достичь близкого совпадения теоретических и экспериментальных значений критических нагрузок. В обычных условиях всегда наблюдается значительный разброс экспериментальных данных и заметное отклонение их средних значений от теоретически установленных значений критических нагрузок.

Поэтому при проектировании реальных конструкций не так важно точно знать теоретическое значение критической нагрузки идеально правильной оболочки, как четко представлять основные факторы, и их влияние на это значение. В этом отношении приближенное аналитическое решение, дающее простую расчетную формулу и правильно отражающее влияние основных факторов, может оказаться полезнее точного численного решения. Для ряда задач устойчивости изотропных и ортотропных оболочек полубезмоментная теория дает возможность построить такое упрощенное аналитическое решение, достаточно точно отражающее существо задачи.

§ 36. Основные зависимости полубезмоментной теории

Известны две трактовки полубезмоментной теории цилиндрических оболочек В. 3. Власова. Согласно трактовке В. 3. Власова уравнения полубезмоментной теории выводят для идеализированной ортотропной оболочки, наделенной определенными жесткостными характеристиками, а затем показывают, что в ряде случаев эти уравнения достаточно полно описывают поведение реальных ортотропных и изотропных оболочек. Общим недостатком такой трактовки вывода основных уравнений «...является значительное количество произвольных допущений» [28].

Согласно другой более современной трактовке уравнения полубезмоментной теории получают из общих уравнений цилиндрической оболочки путем их упрощения, базирующегося на единственном «...более глубоком и общем принципе.

Можно показать, что таким единственным принципом, достаточным для обоснования уравнений полубезмоментной теории, является пренебрежение , где f — любая, характерная для данной задачи функция: перемещение, усилие, момент» [28].

Несмотря на большую общность и стройность, такая трактовка является менее наглядной; кроме того, она менее удобна при формулировке граничных условий. Поэтому при выводе основных зависимостей полубезмоментной теории применительно к задачам устойчивости воспользуемся трактовкой В. 3. Власова.

Рассмотрим замкнутую круговую цилиндрическую оболочку, упругие свойства которой заданы соотношениями

где — жесткость оболочки на растяжение-сжатие в осевом направлении, — изгибная жесткость оболочки в окружном направлении.

Осевое удлинение и изменение кривизны определяются обычными линейными зависимостями

Осевые изгибающие моменты и скручивающие моменты считают пренебрежимо малыми и в решении не учитывают.

Кроме того, предполагают, что деформация оболочки происходит без окружных удлинений и сдвигов срединной поверхности, т. е.

Если такая оболочка нагружена поверхностными усилиями, интенсивность которых , то полная потенциальная энергия

В положении равновесия полная потенциальная энергия оболочки стационарна . Поскольку перемещения не являются независимыми, а связаны условием равенства нулю окружных удлинений и углов сдвига в срединной поверхности (7.3), для определения условий стационарности полной потенциальной энергии воспользуемся методом множителей Лагранжа (см. приложение II). В соответствии с этим методом найдем условия стационарности вспомогательного функционала

где — функциональные множители Лагранжа.

Приравнивая нулю первую вариацию вспомогательного функционала и учитывая зависимости (7.2), получим

Используя формулы интегрирования по частям и учитывая условие замкнутости оболочки в окружном направлении, последнее выражение преобразуем, причем в соответствии с (7.1) в подынтегральном выражении заменим и на .

Тогда

Откуда следует система уравнений

а также возможные комбинации граничных условий на торцах оболочки. При может быть задано:

В рассматриваемой задаче, как нетрудно заметить, множители Лагранжа имеют простой физический смысл: , т. е. равно окружному усилию, а сдвигающему усилию в срединной поверхности оболочки. Поэтому входящий в граничные условия множитель Лагранжа можно заменить на .

Исключая из системы уравнений (7.5) и приходим к одному уравнению

Условия равенства нулю окружных удлинений , и углов сдвига будут удовлетворены тождественно, если введем функцию перемещений с помощью соотношений

Тогда

Из уравнения (7.7) получим разрешающее уравнение полубезмоментной теории

Если функцию перемещений искать в виде произведения , где — функция координаты — функция координаты , удовлетворяющая условию замкнутости оболочки в окружном направлении, то граничные условия (7.6) трансформируются в следующие. При могут быть заданы

Для получения однородного уравнения, описывающего потерю устойчивости оболочки, воспользуемся приемом фиктивной нагрузки.

При нагружении оболочки только внешним гидростатическим давлением и контурными усилиями поперечная фиктивная нагрузка

где — начальные осевое и сдвигающее усилия в срединной поверхности оболочки, которые считаем известными из решения вспомогательной задачи. Величины , определяемые из формул (6.23), выразим через функцию перемещений . В результате этого получим

Положив в разрешающем уравнении и заменив на полученное значение фиктивной нагрузки , придем к однородному уравнению

и однородным граничным условиям на торцах: при могут быть заданы

Полубезмоментной теорией можно пользоваться при расчете на устойчивость произвольно нагруженной цилиндрической оболочки. Однако эта теория наиболее эффективна при расчете на устойчивость цилиндрической оболочки при осесимметричном гидростатическом давлении. Рассмотрим эту задачу детальнее.

Начальное напряженное состояние полубезмоментной цилиндрической оболочки, нагруженной осесимметричным внешним давлением , является безмоментным независимо от закрепления торцов, поскольку схема полубезмоментной оболочки исключает осесимметричный краевой эффект. Но как отмечено в § 34, влияние осесимметричного краевого эффекта на критическое давление обычно невелико.

Разрешающее однородное уравнение (7.11) при принимает вид

Решение этого уравнения для замкнутой цилиндрической оболочки можно искать в виде

(7.13)

где .

Подставив значение Ф в разрешающее уравнение и сократив общий множитель , получим дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

где штрихом обозначено дифференцирование по .

Однородные граничные условия этого уравнения определяются зависимостями (7.12). При постоянных жесткостях и постоянном по длине оболочке давлении решение уравнения (7.14) легко получить в аналитическом виде. Если коэффициенты уравнения переменны, то решение можно получить любым численным методом.

Заметим, что когда функция перемещений взята в виде (7.13), то в соответствии с зависимостями (7.8) и уравнениями (7.5) имеем

При решении задачи устойчивости методом начальных параметров, воспользовавшись матричной формой записи уравнения (7.14), получим

где

Здесь

Дальнейшее решение не отличается от решения методом начальных параметров задачи устойчивости прямого стержня (см. гл. 3).

Это основной вариант полубезмоментной теории, когда упругие свойства ортотропной цилиндрической оболочки описываются двумя характеристиками: жесткостью оболочки на растяжение-сжатие в осевом направлении и изгибной жесткостью в окружном направлении . Для расчета на устойчивость точность этого варианта обычно достаточна. В тех случаях, когда оболочка обладает малой жесткостью на сдвиг в срединной поверхности, для решения задач устойчивости можно воспользоваться уточненным вариантом полубезмоментной теории, в котором учитываются деформации сдвига в срединной поверхности оболочки. В этом варианте полубезмоментной теории упругие свойства ортотропной цилиндрической оболочки вместо соотношений (7.1) задаются соотношениями

где — дополнительно учитываемая жесткость оболочки на , причем

Не останавливаясь на промежуточных выкладках, которые аналогичны приведенным выше, отметим, что вместо одного уравнения (7.7) можно получить систему двух уравнений (при

Однородные граничные условия, как и в основном варианте полубезмоментной теории, могут быть заданы в следующем виде: при

Заменив на , получим систему однородных уравнений, описывающих потерю устойчивости оболочки. В частности, при решение этой системы однородных уравнений можно найти в виде

где — функции координаты .

При постоянных коэффициентах системы уравнений (7.19) и дальнейшее решение удобнее вести с помощью одного разрешающего уравнения

где

При переменных коэффициентах решение можно получить по схеме, которая намечена выше для расчета на устойчивость ортотропной оболочки без учета угла сдвига в ее срединной поверхности.

Схему полубезмоментной цилиндрической оболочки можно использовать и в случае конической ортотропной оболочки [32].