§ 14. Решение задач устойчивости стержней энергетическим методом

Задачу устойчивости прямого стержня рассмотрим при допущениях, сформулированных в предыдущем параграфе, но для ее решения используем энергетический подход.

На рис. 3.9 изображен упругий стержень, находящийся под действием распределенной нагрузки и сосредоточенной силы , причем правый торец стержня упруго закреплен относительно продольных смещений. Задачу определения начального напряженно-деформированного состояния такого стержня при неискривленном состоянии считаем решенной и начальные осевые усилия известными [где — жесткость стержня на растяжение — начальное осевое перемещение].

Рис. 3.9.

Для того чтобы при искривлении оси стержня выразить изменение полной потенциальной энергии в форме Брайана, сообщим точкам оси стержня поперечные перемещения первого порядке малости (рис. 3.10, а). Изменение полной потенциальной энергии стержня при переходе от прямолинейной формы равновесия к новому искривленному состоянию определим с точностью до величин второго порядка малости (см. § 9). Представим в виде суммы двух слагаемых: , где V — потенциальная энергия изгиба стержня; U — изменение потенциальной энергии растяжения стержня, вызванное поперечными перемещениями .

Рис. 3.10.

Поскольку согласно принятому допущению (см. § 13) изгиб стержня при потере устойчивости описывается обычной теорией изгиба балок, можно записать (см. § 8)

где изгибная жесткость стержня в плоскости .

Для подсчета U найдем удлинения оси стержня , вызываемые поперечными перемещениями .

Ограничившись квадратичными членами разложения (поскольку изменение полной энергии необходимо знать с точностью до величин второго порядка малости), получим (рис. 3.10, б)

При поперечных перемещениях стержня начальные усилия совершают работу на этих удлинениях, поэтому

Таким образом,

Поскольку при выводе выражения (3.16) точкам оси стержня сообщались только поперечные перемещения , мертвые продольные внешние нагрузки, не совершающие работу на поперечных перемещениях, не вошли в это выражение.

Из условия стационарности (или из условия при дополнительном требовании минимума критической нагрузки) можно найти (точно или приближенно) точки бифуркаций прямолинейной исходной формы равновесия стержня. В частности, из условия стационарности следует основное линеаризованное уравнение (3.4) и возможные для этого уравнения граничные условия. Действительно, приравняв нулю первую вариацию изменения полной потенциальной энергии , получим (см. приложение II)

Последовательно проинтегрируем по частям:

Откуда следует основное линеаризованное уравнение (3.4) и однородные граничные условия при :

Энергетический критерий в форме Брайана (и вытекающее из него основное линеаризованное уравнение) справедлив при любых условиях закрепления стержня в осевом направлении. Эти условия закрепления должны учитываться при определении начальных осевых усилий .

В приведенном выше выводе выражения (3.16) фигурировали только перемещения первого порядка малости , переводившие стержень из начальной прямолинейной формы равновесия в смежную форму равновесия с изогнутой осью. При этом дополнительные осевые перемещения считали тождественно равными нулю. Нетрудно показать, что окончательное выражение (3.16) не изменится, если кроме поперечных перемещений учесть дополнительные осевые перемещения второго порядка малости (см. § 10).

Это обстоятельство позволяет перейти от энергетического критерия устойчивости в форме Брайана к энергетическому критерию в форме С. П. Тимошенко. Для изображенного на рис. 3.9 прямого стержня вместо общего выражения (2.63) получим

где V — потенциальная энергия изгиба стержня, подсчитываемая по формуле (3.15).

Вместо системы уравнений (2.60) получим одно уравнение

где — дополнительное осевое усилие.

При не равных нулю дополнительных осевых перемещениях удлинение .

Учитывая, что из (3.18) приходим к дифференциальному уравнению, позволяющему выразить дополнительные перемещения второго порядка малости через поперечные перемещения первого порядка малости:

В рассматриваемом случае граничными условиями, очевидно, будут . Дважды интегрируя (3.19) и учитывая первое из этих граничных условий, находим

Постоянная А определяется из второго граничного условия. В частности, при получаем и

В этом случае , т. е. переход от прямолинейного состояния равновесия к искривленному происходит без дополнительного растяжения оси стержня.

Тогда изменение полной потенциальной энергии стержня

При , когда и , из выражения (3.20) получаем

Причем дополнительные осевые удлинение и усилие не равны нулю, а определяются выражениями

Когда изменение полной потенциальной энергии подсчитывается в форме С. П. Тимошенко, выражается непосредственно через внешние нагрузки, а начальные осевые усилия в выражение (3.17) не входят.

Дальнейшее решение можно вести (точно или приближенно) из условия либо при дополнительном требовании минимума нагрузки. Выражение изменения полной потенциальной энергии в форме С. П. Тимошенко удобно для приближенной оценки критических нагрузок в тех случаях, когда потеря устойчивости стержня может происходит без растяжения его оси, т. е. когда справедлива зависимость (3.22).

В частности из этой зависимости можно получить хорошо известную из курса сопротивления материалов формулу для сжимающей критической силы

где — функция, удовлетворяющая геометрическим граничным условиям задачи и доставляющая минимум значению .

Большинство авторов, излагая энергетический метод расчета на устойчивость сжатых стержней, считают условие нерастяжимости оси стержня (3.21) совершенно очевидным и пользуются им без всяких оговорок и ограничений. Однако нетрудно привести примеры, когда это условие нерастяжимости не может быть выполнено либо приводит к неверному результату. Так, например, стержень с закрепленными относительно осевых смещений торцами (рис. 3.11, а) не может потерять устойчивость без изменения длины оси. Если при исследовании устойчивости среднего стержня системы, показанной на рис. , считать его ось нерастяжимой, то это может привести к заниженному значению критической силы.

Рис. 3.11

Рис. 3.12

Рассмотрим решения нескольких задач устойчивости стержней энергетическим методом. Исследуем устойчивость шарнирно опертого стержня при двух вариантах закрепления верхнего конца в осевом направлении (рис. 3.12, а и б): 1) верхний конец может свободно смещаться в осевом направлении; 2) верхний конец закреплен неподвижно. Очевидно, и в том и в другом случае решение можно получить с помощью ряда

удовлетворяющего всем граничным условиям задачи.

В первом случае приближенное решение удобно получать, представив изменение полной потенциальной энергии в форме С. П. Тимошенко, т. е. в форме (3.22), как это обычно делается в курсе «Сопротивление материалов». Приравнивая нулю, находим

При и , ограничившись одним первым членом ряда (3.25), получим (при точном решении . Учитывая в выражении для большее число членов ряда и минимизируя значение по параметрам , при произвольном законе изменения изгибной жесткости стержня критическую нагрузку можно найти практически с любой степенью точности. Поскольку требуется определить функцию только с точностью до масштаба, все параметры удобно отнести к заведомо не равному нулю параметру и вести поиск минимума по безразмерным параметрам , где .

Во втором случае при неподвижно закрепленном верхнем конце стержня, как отмечено, потеря устойчивости без растяжения оси стержня невозможна. Поэтому при решении в форме С. П. Тимошенко нельзя определять осевые перемещения второго порядка малости по зависимости (3.21). Для определения этих перемещений необходимо использовать более громоздкое выражение (3.23). Методически в таких случаях, видимо, более оправданно вести решение в форме Брайана, построив предварительно зависимость . Тогда согласно зависимости записать

где — коэффициент, зависящий от отношения и закона изменения жесткости стержня на растяжение . Приравнивая нулю, находим

Дальнейшее решение ведем по описанной схеме: вводим безразмерные параметры и, минимизируя выражение для при некотором конкретном числе варьируемых параметров, находим . Следует отметить особенность рассматриваемой задачи: эта задача не является положительно определенной (см. приложение I). При решении подобных задач приближенные методы следует применять с осторожностью. Если в данной задаче ограничиться одним членом ряда (3.25), то ошибка приближенного решения может оказаться сколь угодно большой. Так, например, для приняв , получим бессмысленный результат . Поэтому решение следует начинать, по крайней мере, с двух членов ряда. В частности, тогда при получим

Условие экстремума приводит к значению . Следовательно, приближенное значение критической силы

а форма изогнутой оси описывается функцией

В полученных формулах знаки означают, что к потере устойчивости приводят силы, направленные вниз и вверх. В силу симметрии задачи абсолютные значения положительной и отрицательной критических нагрузок совпадают. В общем случае при отсутствии симметрии задачи получают два критических значения нагрузок, различных по абсолютной величине. Точное значение критической силы в рассматриваемой задаче равно .

Приближенное решение задачи энергетическим методомпрактически не усложняется в случае, когда на стержень действуют распределенные продольные нагрузки типа собственного веса (рис. 3.13). Причем если потеря устойчивости возможна без растяжения оси стержня, то удобнее использовать критерий устойчивости в форме С. П. Тимошенко, в противном случае — в форме Брайана.

Так, например, для изображенной на рис. 3.13, а задачи критическое значение распределенной нагрузки может быть найдено из соотношения, следующего из условия и выражения (3.22)

где знак взят в соответствии с направлением действующей нагрузки. При постоянных q и , взяв в виде первого члена ряда (3.25), из этого соотношения сразу получаем точного значения .

Для задачи, представленной на рис. 3.13, б, критическое значение нагрузки, видимо, удобнее определять, используя выражение (3.16)

При постоянной величине жесткости стержня на растяжение и при постоянной распределенной нагрузке , в частности, имеем

И тогда, ограничившись двумя первыми членами ряда (3.25) [взяв один член ряда, опять приходим к абсурдному результату , получим

Взяв пять членов ряда, приходим к значению

Это значение критической нагрузки можно считать точным (при дальнейшем увеличении числа членов ряда оно не изменяется).

Все такого типа задачи, конечно, можно решать при нагрузках, изменяющихся по произвольному закону , при переменных и любых других граничных условиях.

В заключение заметим, что в тех случаях, когда мертвые внешние нагрузки передаются на стержень с помощью некоторых механизмов, в выражения изменения полной потенциальной энергии (3.16) и (3.17) войдут, естественно, дополнительные слагаемые.

Рис. 3.13.

Например, если мертвая сила Р передается на стержень с помощью жесткого рычага длины а (см. рис. 3.3, я), то при изгибе стержня потенциал этой силы дополнительно изменится на величину — , где . Аналогично можно подсчитать дополнительные слагаемые и при других схемах передачи внешних сил на стержень (см., например, рис. 3.3).