§ 20. Основное линеаризованное уравнение

Для вывода основного линеаризованного уравнения рассмотрим элемент пластины в состоянии, отклоненном от начального (рис. 4.5).

Рис. 4.5.

Поперечные прогибы , переводящие пластину из начального состояния в новое отклоненное состояние равновесия, считаем бесконечно малыми:

где — бесконечно малый параметр, не зависящий от координат.

Во всех уравнениях будем сохранять только слагаемые первого порядка малости относительно параметра (см. гл. 1). Все этапы вывода линеаризованного уравнения для пластины аналогичны соответствующим этапам вывода линеаризованного уравнения для стержня (см. § 13). Некоторые усложнения, связанные с двумерностью задачи, носят не принципиальный, а чисто технический характер.

В соответствии с четвертым допущением, внутренние моменты, возникающие в пластине при ее отклонении от начального состояния равновесия, выражаются зависимостями (4.14)

Очевидно, эти моменты имеют тот же первый порядок малости, что и поперечный прогиб .

Приравняем нулю сумму моментов относительно оси проходящей через точку параллельно оси (на рис. 4.5 остальные усилия не изображены). Отбросив слагаемые высших порядков малости, получим

Как нетрудно убедиться, остальные усилия дают моменты высших порядков малости относительно оси например от усилия результирующий момент равен (рис. 4.5, б)

Сравниваявыражения (4.27) и (4.28), видим, что момент от усилия , действительно, имеет высший порядок малости по сравнению с моментами от и . Аналогично можно оценить порядок моментов и от остальных силовых факторов, причем следует подчеркнуть, что высший порядок малости слагаемых, отброшенных; в выражении (4.27), не связан с линеаризацией и со значениями поперечных прогибов пластины , а является следствием бесконечно малых размеров рассматриваемого элемента.

Те же рассуждения справедливы для суммы моментов относительно оси, параллельной оси у. Таким образом, для отклоненного элемента остаются в силе зависимости (4.16). Следовательно, поперечные силы , как и моменты , имеют первый порядок малости относительно параметра а.

Приравняем нулю сумму проекций всех сил на оси и у (рис. 4.5, б). Учитывая повороты граней элемента CADB и отбрасывая величины заведомо высших порядков малости, получаем уравнения (на рис. 4.5 усилия не приведены)

Слагаемые в квадратных скобках имеют второй порядок малости, так как они содержат произведения величин первого порядка малости и , поэтому их тоже следует отбросить. В результате получим уравнения равновесия элемента в отклоненном состоянии, которые не отличаются от уравнений равновесия элемента в начальном состоянии (4.2). Следовательно, остаются равными начальным усилиям (с точностью до величин второго порядка малости).

Приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось z (рис. 4.5, б). При этом учтем повороты граней рассматриваемого элемента. Грань повернута вокруг оси у на угол , а грань на угол . Поэтому результирующая усилий и на ось будет

Грань повернута вокруг оси : на угол , а грань на угол . На грани действует сдвигающее усилие . Поэтому результирующая сдвигающих усилий с этих граней в проекции на ось равна

По аналогии с двумя предыдущими выражениями можно записать, что результирующая от усилий и с граней равна , а результирующая от усилий с граней составляет .

Собрав эти слагаемые и добавив к ним результирующие от внутренних поперечных сил , получим уравнение

В соответствии со сделанным выше замечанием усилия в срединной плоскости заменены на начальные усилия .

Выразив поперечные силы через внутренние изгибающие моменты с помощью зависимостей (4.16) и воспользовавшись формулами (4.10), можно записать

где

Для пластины постоянной толщины получим

Если пластина нагружена только контурными внешними усилиями (в силовых конструкциях обычно собственным весом пластины можно пренебречь), то выражение (4.32) можно преобразовать к следующему виду:

При выражения в скобках в соответствии с уравнениями равновесия (4.2) обращаются в нуль и тогда

Уравнение (4.33) является основным линеаризованным уравнением теории устойчивости пластин постоянной толщины. Это линейное однородное уравнение, причем в силу первого допущения его граничные условия однородны. Если считать, что все действующие на пластину внешние нагрузки изменяются пропорционально параметру , то уравнение (4.33) можно записать в стандартном виде задачи на собственные значения (см. приложение I):

где

Здесь — распределение начальных усилий при .

Таким образом, задача определения условий существования изгибных состояний равновесия первоначально плоской пластины свелась к типичной задаче на собственные значения: требуется найти те значения параметра нагрузки , при которых однородное уравнение имеет отличные от тождественного нуля решения, удовлетворяющие заданным однородным граничным условиям.

По форме уравнение (4.33) совпадает с уравнением поперечного изгиба пластины (4.18), только вместо поперечной нагрузки , фигурирующей в уравнении (4.18), в уравнение (4.33) входит величина , линейно зависящая от поперечного прогиба и начальных усилий в срединной плоскости пластины. Совпадение это естественно: вывод линеаризованного уравнения (4.33) аналогичен выводу уравнения поперечного изгиба пластины, но роль внешней нормальной нагрузки играют проекции внутренних начальных усилий на ось , появляющиеся в результате учета поворотов граней элемента пластины. Это позволяет трактовать величину как фиктивную поперечную нагрузку.

На этом основан вывод линеаризованных уравнений задач устойчивости стержней, пластин и оболочек с помощью приема фиктивной нагрузки. Прием состоит в следующем.

Предположим, что нам известно уравнение поперечного изгиба стержня, пластины или оболочки, полученное в обычной линейной постановке и имеющее, например, вид:

где — некоторое дифференциальное выражение; — поперечный прогиб (или какая-нибудь другая искомая функция); — внешняя поперечная нагрузка.

Тогда для получения линеаризованного уравнения задачи устойчивости, рассмотрев деформированное состояние элемента, достаточно найти фиктивную нагрузку и заменить поперечную нагрузку в уравнении (4.35) на . Следует подчеркнуть, что вопрос о граничных условиях для линеаризованного уравнения требует дополнительного изучения.

Поскольку основное уравнение имеет четвертый порядок, в контура пластины должны быть заданы два граничных условия. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда участок контура пластины совпадает с одной из координатных линий. Пусть, например, это будет линия .

Геометрические граничные условия линеаризованного уравнения теории устойчивости пластин полностью повторяют геометрические условия линейной теории изгиба пластин: на краю пластины (в данном случае при может быть запрещен поперечный прогиб и (или) угол поворота

Силовые граничные условия выражают условия равновесия краевых элементов пластины. Если контур пластины свободен от нагрузок, то силовые граничные условия уравнения (4.33), очевидно, полностью повторяют силовые граничные условия линейной теории поперечного изгиба пластин. Так, например, для свободно опертого края силовое граничное условие будет

Если учесть геометрическое граничное условие , то для свободно опертого края при окончательно можно записать граничные условия

Если при край полностью свободен, то , т. е. на свободном ненагруженном краю выполняются граничные условия

Когда на краю пластины прогибы полностью запрещены, внешние контурные нагрузки никак не отражаются на граничных условиях. Например, если по свободно опертому краю к пластине в ее плоскости приложены внешние распределенные нагрузки , то эти нагрузки не внесут никаких изменений в граничные условия свободного опирания (4.36).

Когда край пластины свободен (или упруго оперт), внешние контурные нагрузки входят в граничные условия линеаризованного уравнения. Так, например, рассмотрим незакрепленный край пластины нагруженный мертвыми распределенными усилиями (рис. 4.6, а). Первое граничное условие, очевидно, остается таким же, как и для ненагруженного свободного края: Для получения второго граничного условия рассмотрим равновесие краевого элемента пластины с размерами . Уравнение равновесия такого элемента в проекции на ось , сформулированное для отклоненного состояния, имеет вид

Поскольку при из (4.4) следует , второе граничное условие в рассматриваемом случае будет

Все сказанное справедливо и в случае упругозакрепленного края пластины, причем для ненагруженного края граничные условия линеаризованного уравнения (4.33) полностью повторяют граничные условия линейной теории поперечного изгиба пластин.

Рассмотрим пластину, край которой при подкреплен упругим стержнем (рис. 4.6, б). Стержень считаем ненагруженным в продольном направлении и имеющим постоянную изгибную жесткость в плоскости, перпендикулярной срединной плоскости пластины; жесткостью стержня на кручение пренебрегаем. Тогда первое граничное условие, как и для свободного края, будет . Для формулировки второго граничного условия мысленно отделим стержень от края пластины. Обозначив прогиб стержня , при можно записать . Со стороны пластины на стержень передается контактная нагрузка . Прогиб стержня под действием этой нагрузки описывается дифференциальным уравнением

Рис. 4.6.

Поскольку прогиб стержня должен быть равен нормальным перемещениям края пластины, т. е. при второе граничное условие будет

Если стержень, подкрепляющий край пластины, нагружен в продольном направлении и внутреннее осевое усилие в стержне равно , то граничное условие при принимает вид

В частности, когда стержень сжат одной силой и при

Аналогично можно сформулировать условия сопряжения двух пластин различной изгибной жесткости.

Граничные условия линеаризованного уравнения на криволинейных участках контура пластины, свободных от контурных нагрузок или закрепленных неподвижно относительно поперечного прогиба, не отличаются от граничных условий линейной теории поперечного изгиба пластин, подробное обоснование которых можно найти, например, в работе . В тех случаях, когда внешние контурные нагрузки приложены к незакрепленному относительно поперечных перемещений криволинейному краю пластины, силовые граничные условия формулируются из условия равновесия краевого элемента пластины подобно тому, как это сделано выше для прямолинейного края.

Основное линеаризованное уравнение для пластины постоянной толщины (4.33), полученное в декартовой системе координат, удобно для решения задач устойчивости пластин, контур которых совпадает с координатными линиями. Для пластин другой формы может оказаться удобной другая, не декартова система координат. Так, для круглых пластин основное уравнение удобнее представить в полярных координатах.

Линеаризованное уравнение в новой системе координат можно получить двумя способами: путем повторения вывода в новой системе координат или путем формального преобразования координат. Воспользуемся вторым способом.

Преобразование линеаризованного уравнения (4.33) при переходе к новой системе координат производится аналогично тому, как это делается для уравнения поперечного изгиба пластин [17]. Например, при переходе к цилиндрической системе координат (рис. 4.7, а) внешний вид уравнения (4.33) сохраняется

Рис. 4.7.

Но оператор Лапласа равен

Для основного случая, когда пластина нагружена только контурными усилиями, фиктивная поперечная нагрузка в полярной системе координат определяется выражением

где — начальные внутренние усилия в срединной плоскости пластины в полярной системе координат (рис. 4.7, б).

Для внутренних моментов в полярной системе координат имеем

Бигармоническое уравнение (4.7) сохраняет свой внешний вид . В полярной системе координат функция начальных усилий определяется соотношением

Нетрудно записать граничные условия для линеаризованного уравнения в новой системе координат для кругового контура пластины. Например, для жестко защемленного кругового контура граничные условия будут:

Для свободно опертого кругового контура:

Аналогично уравнение (4.33) можно записать в другой произвольной ортогональной системе координат [12].

В заключение отметим, что основное линеаризованное уравнение легко обобщить для пластины, связанной с упругим винклеровским основанием, тогда

где k — коэффициент жесткости (коэффициент постели) упругого основания.

Формулировка граничных условий и величина не зависят от упругого основания.