Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 16. Учет деформаций сдвига; общая и местная устойчивость трехслойных и тонкостенных стержнейВыше при выводе основного линеаризованного уравнения использовалась обычная теория изгиба балок, не учитывающая влияния деформаций сдвига, вызываемых поперечными силами. Рассмотрим вариант решения задачи устойчивости прямого стержня с учетом влияния деформаций сдвига. Воспользуемся расчетной схемой балки, предложенной С. П. Тимошенко. Согласно этой схеме плоские сечения, до деформации балки нормальные к ее оси, остаются плоскими и после изгиба балки, но перестают быть нормальными к ее изогнутой оси. Таким образом, в схеме С. П. Тимошенко положение каждого сечения деформированной балки определяется двумя независимыми величинами: поперечным перемещением v и углом поворота сечения Внутренний изгибающий момент и поперечная сила в балке С. П. Тимошенко определяются зависимостями
где Для вывода основных уравнений и граничных условий воспользуемся энергетическим критерием в форме Брайана (см. § 14). Но теперь при подсчете изменения полной потенциальной энергии следует дополнительно
при дополнительном условии связи
где Применив метод множителей Лагранжа (см. приложение II), сведем задачу определения стационарных значений функционала (3.34) с дополнительным условием связи (3.35) к задаче определения стационарных значений вспомогательного функционала
где Из условия
Последовательное интегрирование по частям дает
Приравнивая нулю множители при вариациях
Рис. 3.22. Учитывая условие связи (3.35), получаем два уравнения относительно поперечного перемещения
Кроме того, из условия (3.36) находим возможные варианты однородных граничных условий задачи при
Приведенный громоздкий вывод уравнений (3.37) и граничных условий (3.38) имеет одно решающее преимущество: энергетический подход дает возможность получить строго обоснованные варианты граничных условий задачи. В задачах такого типа с особой тщательностью следует относиться к формулировке граничных условий. Так, например, привычное условие в заделке Для стержня постоянного поперечного сечения, сжатого по торцам силой
При заданных граничных условиях отсюда можно найти собственные функции задачи и собственные значения
Подставив эти функции в систему уравнений (3.39) и сократив общие множители, получим систему двух алгебраических уравнений относительно неизвестных А и В:
Из условия существования отличных от тождественного нуля решений следует, что
Наименьшее собственное значение
где Деформации стержня при потере устойчивости описываются собственными функциями, соответствующими
Рассмотрим, как изменяется критическая сила при учете деформаций сдвига. Как известно, для изотропного материала
где Для упругих конструкционных материалов эта поправка пренебрежимо мала по сравнению с единицей. Поэтому для стержней из изотропного материала учет деформаций сдвига при определении критических нагрузок не имеет практического значения. Более того, для случая изотропного материала формула (3.40) вообще незаконна: поправка, вносимая за счет учета деформаций сдвига, выходит за пределы точности, обеспечиваемой основными допущениями (см. § 7). Но учет деформаций сдвига может оказаться существенным для стержней, изготовленных из анизотропных материалов, у которых Для увеличения изгибной жесткости тонкостенных элементов конструкций широко используют трехслойные пластины, панели и оболочки. В них два несущих тонких слоя из высокопрочного и жесткого материала (металл, стеклопластик, боро- или углепластик и т. д.) разделены толстым слоем значительно более легкого и менее прочного заполнителя (пенопласт, соты, гофры и т. д.). Внешние нагрузки воспринимаются в основном за счет напряжений в несущих высокопрочных слоях. Роль заполнителя сводится к обеспечению совместной работы всего пакета при поперечном изгибе. Основные особенности расчета на устойчивость таких элементов конструкций выявляются при рассмотрении простейшего примера определения критических нагрузок сжатого трехслойного стержня. Расчет трехслойного стержня на устойчивость без учета влияния деформаций сдвига почти не отличается от расчета обычного стержня. В этом случае гипотезу плоских сечений считают справедливой для всего пакета слоев (рис. 3.23). Тогда изгибная жесткость трехслойного стержня равна
где
Рис. 3.23. а.
Рис. 3.23. б. В остальном все В тех случаях, когда жесткостные характеристики слоя заполнителя существенно нижежесткостных характеристик несущих слоев, упрощенный расчет может привести к существенно завышенным значениям критических нагрузок. Рассмотрим простейшую расчетную схему трехслойной балки, позволяющую учесть влияние деформаций сдвига слоя заполнителя. Положим, что средний слой (слой заполнителя) работает на поперечный изгиб как балка С. П. Тимошенко (см. рис. 3.22), а тонкие несущие слои — только на растяжение — сжатие. Собственной изгибной жесткостью слоев при изгибе всего трехслойного стержня пренебрегаем. Если принять
где индексы «з» и «н» относятся соответственно к упругим характеристикам материала заполнителя и несущих слоев. Все уравнения и формулы, описывающие потерю устойчивости балки С. П. Тимошенко, остаются в силе, однако следует положить
В частности для шарнирно-опертого стержня вместо формулы (3.40) получим
где
В выражении для изгибной жесткости трехслойного стержня (3.44) жесткостью слоя заполнителя часто можно пренебречь и считать Рассмотренную модель трехслойного стержня можно несколько усложнить и тем самым расширить область ее применимости, если кроме жесткости несущих слоев на растяжение-сжатие дополнительно учесть их собственную изгибную жесткость.
Рис. 3.24. Дальнейшее уточнение расчетной модели трехслойного стержня может быть получено, если наряду с продольными деформациями и сдвигами ввести в рассмотрение поперечные деформации слоя заполнителя [8, 20]. Приведенное выше решение описывает потерю устойчивости трехслойиого стержня, связанную с общим искривлением его оси. Потерю устойчивости такого типа обычно называют общей потерей устойчивости. Но для трехслойных элементов конструкции, в том числе и для трехслойного стержня, возможна потеря устойчивости («сморщивание») несущих слоев; потерю устойчивости такого типа обычно называют местной потерей устойчивости (рис. 3.24, а). Критические нагрузки, соответствующие местной потери устойчивости, практически не зависят от длины стержня и граничных условий на его торцах, а определяются изгибной жесткостью несущих слоев и жесткостными характеристиками и конструкцией заполнителя Общая и местная устойчивость тонкостенных стержней. Для облегчения силовых конструкций, работающих на сжатие, широко используют тонкостенные стержни разнообразных поперечных сечений. Типичные формы поперечных сечений таких стержней показаны на рис. 3.24, б.
Рис. 3.25. В том и в другом случае возможны две качественно различные формы потери устойчивости тонкостенного стержня: местная потеря устойчивости тонкой стенки (рис. 3.24, в) и общая потеря устойчивости, связанная с искривлением оси стержня. Для большинства реальных конструкций недопустима ни та, ни другая форма потери устойчивости. Развитие местной формы потери устойчивости обычно вызывает общее искривление оси стержня, а развитие общей формы потери устойчивости приводит к местной изгибной деформации стенки стержня. Проектирование рациональной тонкостенной конструкции обычно сводится к поиску разумного компромисса между противоречивыми требованиями по обеспечению ее местной и общей устойчивости. Рассмотрим, например, стойку с постоянным по длине тонкостенным квадратным поперечным сечением, нагруженную силой Критическая сила, соответствующая общей потере устойчивости, очевидно, определяется по формуле:
где С — коэффициент, зависящий от граничных условий на торцах стержня (для шарнирно-опертого стержня Критическая сила, соответствующая местной потере устойчивости стенки, равна где
При Для нормальной работы стойки необходимо выполнение условий Учитывая выражения (3.46) и (3.47) и ограничение по прочности, можно сформулировать задачу выбора рациональных размеров поперечного сечения стойки: для заданных
При выбранном материале требование минимального веса, очевидно, эквивалентно требованию минимальной площади поперечного сечения стойки На рис. 3.25, б Аналогично зависимость веса тонкостенного стержня от размеров его поперечного сечения можно исследовать при другой форме поперечного сечения. Следует подчеркнуть, что чем меньше внешние нагрузки, тем труднее создать рациональную тонкостенную конструкцию, работающую на сжатие.
|
1 |
Оглавление
|