§ 16. Учет деформаций сдвига; общая и местная устойчивость трехслойных и тонкостенных стержней

Выше при выводе основного линеаризованного уравнения использовалась обычная теория изгиба балок, не учитывающая влияния деформаций сдвига, вызываемых поперечными силами. Рассмотрим вариант решения задачи устойчивости прямого стержня с учетом влияния деформаций сдвига. Воспользуемся расчетной схемой балки, предложенной С. П. Тимошенко. Согласно этой схеме плоские сечения, до деформации балки нормальные к ее оси, остаются плоскими и после изгиба балки, но перестают быть нормальными к ее изогнутой оси. Таким образом, в схеме С. П. Тимошенко положение каждого сечения деформированной балки определяется двумя независимыми величинами: поперечным перемещением v и углом поворота сечения (рис. 3.22). Угол сдвига равен где — угол поворота нормали к оси балки.

Внутренний изгибающий момент и поперечная сила в балке С. П. Тимошенко определяются зависимостями

где — обычная изгибная жесткость балки; G — модуль сдвига; площадь поперечного сечения .

Для вывода основных уравнений и граничных условий воспользуемся энергетическим критерием в форме Брайана (см. § 14).

Но теперь при подсчете изменения полной потенциальной энергии следует дополнительно энергию деформаций сдвига, а потенциальную энергию изгиба в соответствии с зависимостью (3.33) выразить через угол . Тогда получим

при дополнительном условии связи

где — начальное осевое усилие в стершие.

Применив метод множителей Лагранжа (см. приложение II), сведем задачу определения стационарных значений функционала (3.34) с дополнительным условием связи (3.35) к задаче определения стационарных значений вспомогательного функционала

где — функциональный множитель Лагранжа.

Из условия получим

Последовательное интегрирование по частям дает

Приравнивая нулю множители при вариациях в подынтегральном выражении, приходим к трем уравнениям:

Рис. 3.22.

Учитывая условие связи (3.35), получаем два уравнения относительно поперечного перемещения и угла поворота сечения . В данном случае функциональный множитель Лагранжа оказался равен поперечной силе

Кроме того, из условия (3.36) находим возможные варианты однородных граничных условий задачи при :

Приведенный громоздкий вывод уравнений (3.37) и граничных условий (3.38) имеет одно решающее преимущество: энергетический подход дает возможность получить строго обоснованные варианты граничных условий задачи. В задачах такого типа с особой тщательностью следует относиться к формулировке граничных условий. Так, например, привычное условие в заделке для балки С. П. Тимошенко является неправильным, однако его часто используют.

Для стержня постоянного поперечного сечения, сжатого по торцам силой , систему уравнений (3.37) можно записать в виде

При заданных граничных условиях отсюда можно найти собственные функции задачи и собственные значения , наименьшее из которых равно . Наиболее просто решение получается для шарнирно-опертого стержня при граничных условиях: . В этом случае решение системы (3.39) можно искать в следующем виде:

Подставив эти функции в систему уравнений (3.39) и сократив общие множители, получим систему двух алгебраических уравнений относительно неизвестных А и В:

Из условия существования отличных от тождественного нуля решений следует, что

Наименьшее собственное значение получается при критическая сила

где — критическая сила для того же стержня, подсчитанная без учета влияния деформаций сдвига.

Деформации стержня при потере устойчивости описываются собственными функциями, соответствующими (с точностью до масштаба):

Рассмотрим, как изменяется критическая сила при учете деформаций сдвига. Как известно, для изотропного материала

— коэффициент Пуассона. Поэтому, если стержень изготовлен из изотропного материала, то в соответствии с формулой (3.40) учет деформаций сдвига дает поправку по сравнению с единицей

где критические напряжение и удлинение (укорочение) стержня, подсчитанные без учета деформаций сдвига.

Для упругих конструкционных материалов эта поправка пренебрежимо мала по сравнению с единицей. Поэтому для стержней из изотропного материала учет деформаций сдвига при определении критических нагрузок не имеет практического значения.

Более того, для случая изотропного материала формула (3.40) вообще незаконна: поправка, вносимая за счет учета деформаций сдвига, выходит за пределы точности, обеспечиваемой основными допущениями (см. § 7).

Но учет деформаций сдвига может оказаться существенным для стержней, изготовленных из анизотропных материалов, у которых (такими свойствами обладают, например, некоторые композиционные волокнистые материалы). Зависимости типа (3.40) широко используют также в расчетах на устойчивость различных решетчатых стержней [37]. Особенно важное значение учет деформаций сдвига имеет в задачах устойчивости трехслойных стержней. Этот вопрос рассмотрим подробнее.

Для увеличения изгибной жесткости тонкостенных элементов конструкций широко используют трехслойные пластины, панели и оболочки. В них два несущих тонких слоя из высокопрочного и жесткого материала (металл, стеклопластик, боро- или углепластик и т. д.) разделены толстым слоем значительно более легкого и менее прочного заполнителя (пенопласт, соты, гофры и т. д.). Внешние нагрузки воспринимаются в основном за счет напряжений в несущих высокопрочных слоях. Роль заполнителя сводится к обеспечению совместной работы всего пакета при поперечном изгибе. Основные особенности расчета на устойчивость таких элементов конструкций выявляются при рассмотрении простейшего примера определения критических нагрузок сжатого трехслойного стержня.

Расчет трехслойного стержня на устойчивость без учета влияния деформаций сдвига почти не отличается от расчета обычного стержня. В этом случае гипотезу плоских сечений считают справедливой для всего пакета слоев (рис. 3.23). Тогда изгибная жесткость трехслойного стержня равна

где — модули упругости материалов наружных несущих слоев и слоя заполнителя.

Рис. 3.23. а.

Рис. 3.23. б.

В остальном все и окончательные расчетные зависимости задач устойчивости обычных стержней полностью используются в задачах устойчивости трехслойных стержней.

В тех случаях, когда жесткостные характеристики слоя заполнителя существенно нижежесткостных характеристик несущих слоев, упрощенный расчет может привести к существенно завышенным значениям критических нагрузок.

Рассмотрим простейшую расчетную схему трехслойной балки, позволяющую учесть влияние деформаций сдвига слоя заполнителя. Положим, что средний слой (слой заполнителя) работает на поперечный изгиб как балка С. П. Тимошенко (см. рис. 3.22), а тонкие несущие слои — только на растяжение — сжатие. Собственной изгибной жесткостью слоев при изгибе всего трехслойного стержня пренебрегаем. Если принять и считать, что при изгибе стержня нет проскальзывания между его слоями, вместо зависимостей (3.33) получим

где индексы «з» и «н» относятся соответственно к упругим характеристикам материала заполнителя и несущих слоев. Все уравнения и формулы, описывающие потерю устойчивости балки С. П. Тимошенко, остаются в силе, однако следует положить , а изгибную жесткость заменить на

В частности для шарнирно-опертого стержня вместо формулы (3.40) получим

где

В выражении для изгибной жесткости трехслойного стержня (3.44) жесткостью слоя заполнителя часто можно пренебречь и считать .

Рассмотренную модель трехслойного стержня можно несколько усложнить и тем самым расширить область ее применимости, если кроме жесткости несущих слоев на растяжение-сжатие дополнительно учесть их собственную изгибную жесткость.

Рис. 3.24.

Дальнейшее уточнение расчетной модели трехслойного стержня может быть получено, если наряду с продольными деформациями и сдвигами ввести в рассмотрение поперечные деформации слоя заполнителя [8, 20].

Приведенное выше решение описывает потерю устойчивости трехслойиого стержня, связанную с общим искривлением его оси. Потерю устойчивости такого типа обычно называют общей потерей устойчивости. Но для трехслойных элементов конструкции, в том числе и для трехслойного стержня, возможна потеря устойчивости («сморщивание») несущих слоев; потерю устойчивости такого типа обычно называют местной потерей устойчивости (рис. 3.24, а). Критические нагрузки, соответствующие местной потери устойчивости, практически не зависят от длины стержня и граничных условий на его торцах, а определяются изгибной жесткостью несущих слоев и жесткостными характеристиками и конструкцией заполнителя .

Общая и местная устойчивость тонкостенных стержней. Для облегчения силовых конструкций, работающих на сжатие, широко используют тонкостенные стержни разнообразных поперечных сечений. Типичные формы поперечных сечений таких стержней показаны на рис. 3.24, б. применять в качестве самостоятельно работающих элементов и элементов жесткости, подкрепляющих тонкие пластины и оболочки.

Рис. 3.25.

В том и в другом случае возможны две качественно различные формы потери устойчивости тонкостенного стержня: местная потеря устойчивости тонкой стенки (рис. 3.24, в) и общая потеря устойчивости, связанная с искривлением оси стержня.

Для большинства реальных конструкций недопустима ни та, ни другая форма потери устойчивости. Развитие местной формы потери устойчивости обычно вызывает общее искривление оси стержня, а развитие общей формы потери устойчивости приводит к местной изгибной деформации стенки стержня.

Проектирование рациональной тонкостенной конструкции обычно сводится к поиску разумного компромисса между противоречивыми требованиями по обеспечению ее местной и общей устойчивости. Рассмотрим, например, стойку с постоянным по длине тонкостенным квадратным поперечным сечением, нагруженную силой (рис. 3.25, а). Если считать b то площадь поперечного сечения и момент инерции соответственно будут равны и .

Критическая сила, соответствующая общей потере устойчивости, очевидно, определяется по формуле:

где С — коэффициент, зависящий от граничных условий на торцах стержня (для шарнирно-опертого стержня ).

Критическая сила, соответствующая местной потере устойчивости стенки, равна где — критическое сжимающее напряжение стенки, рассматриваемой как удлиненная сжатая в одном направлении пластина (см. § 21).

При коэффициент не зависит от способа закрепления торцов стойки. При квадратном поперечном сечении в силу симметрии каждая стенка теряет устойчивость как шарнирно-опертая по длинным сторонам тонкая пластина, поэтому следует принять .

Для нормальной работы стойки необходимо выполнение условий , а также условия прочности. Например, если материал обладает резко выраженным пределом текучести, то можно потребовать выполнение условия , где а, — предел текучести материала. (В случае хрупкого материала вместо предела текучести можно взять предел прочности при сжатии).

Учитывая выражения (3.46) и (3.47) и ограничение по прочности, можно сформулировать задачу выбора рациональных размеров поперечного сечения стойки: для заданных и найти значения , обеспечивающие минимальный вес стойки при выполнении условий:

При выбранном материале требование минимального веса, очевидно, эквивалентно требованию минимальной площади поперечного сечения стойки .

На рис. 3.25, б показаны кривые (3.48), ограничивающие область допустимых значений размеров поперечного сечения . Возможны два случая взаимного расположения этих кривых. Для относительно длинных и слабо нагруженных стоек кривая 3 проходит ниже точки пересечения двух других кривых. Эта точка соответствует значениям обеспечивающим минимальный вес стойки. Для относительно коротких и сильно нагруженных стоек точка пересечения двух первых кривых лежит ниже кривой 3. Тогда, как нетрудно видеть, существуют различные комбинации значений , приводящие к одному и тому же минимальному весу стойки.

Аналогично зависимость веса тонкостенного стержня от размеров его поперечного сечения можно исследовать при другой форме поперечного сечения. Следует подчеркнуть, что чем меньше внешние нагрузки, тем труднее создать рациональную тонкостенную конструкцию, работающую на сжатие.