§17. Закритическое деформирование упругих стержней

Линеаризованные уравнения, использованные выше при решении задач устойчивости стержней, дают возможность находить собственные функции задачи и собственные значения параметра нагрузки. Наименьшее собственное значение равно критическому значению нагрузки, а соответствующая ему собственная функция описывает форму изогнутой оси стержня в окрестностях первой точки бифуркации. Но однородное линеаризованное уравнение не может дать никакой информации о характере критической точки бифуркации и о поведении стержня при конечных прогибах после потери устойчивости.

Аналогично, решая задачи устойчивости энергетическим методом и ограничиваясь в выражении для изменения потенциальной энергии квадратичными по отношению к величинам поперечных перемещений слагаемыми, находили только критические нагрузки несоответствующие им собственные функции. Характер критической точки бифуркации и поведение стержня при конечных прогибах после потери устойчивости оставались неизвестными. Для того чтобы определить их, необходимо рассмотреть задачу устойчивости стержня в нелинейной постановке.

Задача нелинейного деформирования гибких стержней изучена достаточно полно; в ряде случаев решение удается получить в табулированных функциях. Например, для стержня постоянного поперечного сечения, сжатого мертвой силой Р, решение получается в эллиптических интегралах [19].

Воспользуемся приближенным энергетическим приемом решения, позволяющим исследовать закритическое поведение любого произвольно нагруженного стержня, если для него известно решение линейной задачи. При этом ограничимся малыми по сравнению с длиной стержня прогибами, поскольку только они представляют интерес в силовых конструкциях.

Сначала рассмотрим характерный для большинства практических задач случай, когда после потери устойчивости один из торцов стержня может беспрепятственно смещаться в продольном направлении (рис. 3.26). Тогда закритическое деформирование состоит в изгибе стержня. При этом ось стержня можно считать нерастяжимой. Из условия нерастяжимости оси стержня легко выразить продольные перемещения и через угол наклона касательной к упругой линии .

Рис. 3.26.

Если, например, на левой опоре , то

где s — координата, отсчитываемая от левой неподвижной опоры вдоль деформированной оси стержня.

Внутренний изгибающий момент в изогнутом стержне определяется зависимостью

где — радиус кривизны деформированной оси стержня.

Выражения (3.49) и (3.50) позволяют подсчитать изменение полной потенциальной энергии стержня при переходе от прямолинейного положения равновесия к искривленному. Так, например, если стержень нагружен только сжимающей силой (рис. 3.26, а), то

Для стержня, находящегося под действием распределенной нагрузки типа собственного веса (рис. 3.26, б),

Аналогично можно составить выражение АЭ для любого случая нагружения стержня, когда закритический изгиб происходит без растяжения оси стержня.

Условие стационарности определяет равновесные состояния изогнутого стержня при конечных прогибах, а исследование знака второй вариации позволяет установить, какие из равновесных состояний устойчивы.

Приведенные выше зависимости, описывающие закритическое деформирование стержней с нерастяжимой осью, являются точными (в рамках теории гибких упругих стержней).

Перейдем к построению приближенного решения методом Рэлея—Ритца. Полагаем, что решение линейной задачи (точное или приближенное) получено и, в частности, известна критическая нагрузка и соответствующая ему первая собственная функция задачи . Заметим, что при решении задач устойчивости в линейной постановке различие между координатами и s исчезает и собственные функции можно заменить на .

При малых, но конечных прогибах стержня естественно предположить, что в окрестности первой критической точки бифуркации форму изогнутой оси стержня можно аппроксимировать первой собственной функцией. Поэтому решение нелинейной задачи в первом приближении будем искать в виде:

— коэффициент, зависящий от внешней нагрузки; — первая собственная функция линейной задачи.

В приближенном решении, когда ограничиваемся исследованием малых отклонений стержня от прямолинейного положения равновесия, в выражении целесообразно разложить в ряд. Тогда получим

Подсчитывая с использованием (3.53) изменение полной потенциальной энергии стержня, приходим к простой алгебраической зависимости . Таким образом, используя метод Рэлея—Ритца, задачу исследования закритического деформирования стержня можно свести к задаче исследования нелинейной системы с одной степенью свободы.

Так, например, для стержня, сжатого одной силой, выражение (3.51) с учетом разложения (3.54) и аппроксимации (3.53) принимает вид

Условие стационарности данном случае приводит к уравнению

Поделив все слагаемые на и учитывая, что — первая собственная функция задачи и, следовательно,

приходим к уравнению

где

Из уравнения (3.55) следует, что при возможна только одна прямолинейная форма равновесия стержня, соответствующая . При становится возможной и изгибная форма равновесия, описываемая (приближенно) зависимостью (3.53), причем связь между коэффициентом и силой выражается уравнением

Ограничившись в разложении (3.54) четвертыми степенями и приняв , получим упрощенную формулу

Исследуя знак второй производной , нетрудно установить, что изгибная форма равновесия стержня устойчива. Критическая точка бифуркации является точкой бифуркации первого типа (см. § 3). Результат проведенного исследования схематично изображен на рис. 3.27, а.

Аналогично приближенное решение может быть получено для стержня, под действием распределенной нагрузки , где — параметр нагрузки; — распределение нагрузки при .

Снова воспользуемся аппроксимацией и получим упрощенную формулу для приближенного определения

где

Анализ устойчивости прямолинейной и изгибной форм равновесия аналогичен предыдущему (рис. 3.27, а).

Рис. 3.27.

Необходимо подчеркнуть, что полученные формулы, а также представленный на рис. 3.27, а график справедливы для стержней переменной жесткости и при произвольных граничных условиях. При различных законах изменения изгибной жесткости и разных граничных условиях изменяются критические нагрузки и вид собственных функций .

Зная как изменяется угол , легко найти поперечные прогибы стержня на ранней закритической стадии деформирования. При неподвижной левой опоре функция поперечного прогиба определяется выражением

Раскладывая в ряд и используя зависимость (3.53), приближенно находим

В построенном приближенном решении функция поперечного прогиба остается подобной первой собственной функции линеаризованной задачи, а амплитуда прогиба растет пропорционально коэффициенту . Поэтому кривая на рис. 3.27, а, также характеризует темп роста поперечных прогибов стержня .

Полученный результат можно представить в других координатах. Вместо зависимости нагрузка — амплитуда поперечного прогиба можно построить, например, зависимость нагрузка — сближение торцов стержня . Сближение торцов складывается из укорочения стержня под действием сжимающей нагрузки и дополнительного сближения торцов, вызванного изгибом стержня.

Обозначим , где — сближения торцов стержня соответственно за счет укорочения его оси и за счет изгиба. При известном распределении начальных усилий значение определяется элементарно. Значение можно найти с помощью зависимостей (3.53) и (3.54)

Ограничившись вторыми степенями разложения, получим

Значение определяем в зависимости от вида нагрузки по формуле (3.56) или (3.60). Зависимость X от сжимающей нагрузки показана на рис. 3.27, б.

Описанный метод решения может быть использован и в том случае, когда заданными являются не нагрузки, а сближения торцов стержня (например, при нагружении стержня в жесткой испытательной машине). Тогда расчет следует вести в обратном порядке: по определить и затем подсчитать амплитуду поперечного перемещения. При этом все полученные выше расчетные зависимости справедливы. Аналогично можно вести расчет в тех случаях, когда задано не сближение торцов стержня, а повышение его температуры при неподвижно зафиксированных торцах.

Напряжения в стержне после потери устойчивости складываются из напряжений продольного сжатия и напряжений изгиба, причем, определив форму изогнутой оси стержня, нетрудно подсчитать напряжения изгиба. Окончательно получаем

где W — момент сопротивления поперечного сечения стержня.

Схему расчета поясним на двух примерах. Рассмотрим вначале закритическое поведение шарнирно-опертого стержня постоянного поперечного сечения, сжатого одной силой . Первая собственная функция линеаризованной задачи известна

По первой из формул (3.56) находим

Из выражения (3.62) получаем зависимость

При определении сближения торцов учитываем, что .

По формуле (3.63) находим

Согласно выражению (3.64) получаем

Очевидно, напряжения максимальны при .

Считая , можно записать

где .

Для квадратного поперечного сечения , и формулу для определения ашах можно переписать в следующем виде:

Из этого выражения видно, что для тонких стержней малейшее превышение критической нагрузки приводит к появлению значительных напряжений изгиба. Так, при превышение на вызывает напряжения изгиба превышающие более чем в 50 раз критические напряжения равномерного стержня при .

Рассмотрим закритическое поведение изображенного на рис. 3.28 стержня, теряющего устойчивость под действием собственного веса. Критическая нагрузка для такого стержня равна , причем форма изогнутой оси стержня при потере устойчивости описывается функциями Бесселя (см. § 13). Но для построения приближенного решения эти функции не удобны. Закритические перемещения и напряжения можно оценить, используя для описания формы изогнутой оси стержня более простые функции, удовлетворяющие заданным граничным условиям задачи. Например, в данном случае (см. § 13).

где s — координата, отсчитываемая от заделки.

Заметим, что учитывая приближенный характер всего решения, функцию можно представить в еще более простом виде. Например, в рассматриваемой задаче, ограничившись удовлетворением только геометрического граничного условия , примем

Тогда получим

Максимальный прогиб при приближенно определяется по формуле

Для максимального момента М(0) непосредственно из условия равновесия получим приближенную формулу

Рис. 3.28.

Нетрудно проверить, что при упрощении вида аппроксимирующей функции окончательные результаты изменяются незначительно.

Если закрепления концов стержня в продольном направлении исключают возможность потери устойчивости без растяжения его оси (см. § 14), то приведенная выше схема решения не применима, поскольку она основана на предположении о нерастяжимости оси стержня. В этом случае при подсчете полной потенциальной энергии стержня в изогнутом состоянии необходимо учитывать энергию растяжения

где — начальные осевые перемещения и удлинения; — дополнительные осевые перемещения и удлинения, причем

Наиболее простое приближенное решение можно получить, если воспользоваться следующими допущениями: 1) первая собственная функция линейной задачи с точностью до масштаба описывает закритические прогибы стержня; 2) осевые дополнительные перемещения связаны с поперечными прогибами зависимостью (3.20). Тогда изменение полной потенциальной энергии стержня при переходе в новое отклоненное состояние равновесия равно

где — коэффициент, зависящий от уровня нагружения; — первая собственная функция линейной задачи, причем, когда ,

Таким образом, задача о закритических деформациях стержней опять сведена к нелинейной задаче деформации системы с одной степенью свободы. Если считать, что внешние нагрузки возрастают пропорционально одному параметру , то зависимости между параметром и параметром нагрузки Р устанавливаются из условия , в данном случае из условия . Эта зависимость будет иметь такую структуру:

где К — коэффициент, зависящий от , т. е. от жесткости стержня на растяжение.

Характер критической точки бифуркации такой же, как и в случае потери устойчивости оси стержня без растяжения. Но количественно закритическое поведение стержня иное: после потери устойчивости поперечные прогибы растут не так быстро, как при потере устойчивости стержня без растяжения оси.