§ 39. Определение критических нагрузок с помощью критерия устойчивости в форме С. П. Тимошенко

Полубезмоментная теория в сочетании с энергетическим критерием в форме С. П. Тимошенко позволяет построить простое приближенное решение задачи устойчивости цилиндрической оболочки при произвольном поперечном осесимметричном нагружении.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку, на которую действует осесимметричная радиальная «мертвая» нагрузка интенсивности и осесимметричное внешнее гидростатическое давление . Начальное напряженное состояние оболочки считаем осесимметричным и безмоментным, причем

Отклонения оболочки от начального состояния зададим перемещениями:

где — независимый от координат бесконечно малый параметр; и т. д. — конечные функции координат.

Окружные удлинения и сдвиги тождественно равны нулю с точностью до первой степени параметра , если (см. § 36) ввести функцию перемещений с помощью соотношений

Тогда пропорциональное изменение полной потенциальной энергии полубезмоментной оболочки при переходе в новое возмущенное состояние можно выразить следующим образом:

В этом выражении последнее слагаемое получено с помощью выведенной в § 32 зависимости для вычисления изменения объема оболочки с точностью до квадратов перемещений. Заметим, что при рассматриваемых сейчас нагрузках перемещения в выражение (7.45) не вошли, поэтому их можно не определять. Это обстоятельство значительно упрощает решение: перемещение можно найти не из общих условий самоуравновешенности квадратичных усилий (см. § 10), а из условия нерастяжимости полубезмоментной оболочки в окружном направлении, выполняемом с точностью до .

При осесимметричном начальном напряженном состоянии функцию бифуркационных перемещений можно найти в виде

где — функция осевой координаты .

Пропорциональное окружное удлинение равно

Учитывая соотношения (7.44) и (7.46), из условия получим

Перемещения будем искать в виде разложения по тригонометрическим функциям

где - функции осевой координаты .

Тогда из равенства (7.47) придем к уравнению

При осесимметричном нагружении оболочки коэффициенты не влияют на изменение полной потенциальной энергии ДЭ, поэтому их можно не определять (как и коэффициенты ).

Осесимметричная составляющая перемещения , необходимая для подсчета изменения полной потенциальной энергии , равна

Выражение (7.45) можно преобразовать

Таким образом, задача определения критических нагрузок сводится к определению одной единственной функции , через которую выражено изменение полной потенциальной энергии . Задавшись (с учетом граничных условий на торцах оболочки) функцией , из условия можно получить приближенные собственные значения нагрузок. Подобрав число волн в окружном направлении , при котором собственное значение нагрузки достигает минимума, вычислим приближенное критическое значение нагрузки.

Приведем несколько примеров использования выражения (7.49).

1. Оболочка со свободными торцами под действием постоянной по длине радиальной нагрузки и постоянного гидростатического давления . В этом случае можно принять .

Условие дает

где — внешнее гидростатическое давление; — «мертвая» распределенная нагрузка, направленная по нормали к недеформированной срединной поверхности оболочки. При этом .

Из зависимости (7.50) можно получить формулы (см. § 31) Для частных случаев

где знак минус означает, что потеря устойчивости происходит при сжимающей «мертвой» нагрузке .

Те же результаты получим и для полубезмоментной оболочки, один край которой свободно оперт, а другой — свободен. В этом случае оболочка может деформироваться без растяжения срединной поверхности. Приняв , снова придем к зависимости (7.50).

2. Свободно опертая по обоим торцам оболочка под действием равномерного гидростатического давления . Если , то условие приводит к точной в рамках полубезмоментной теории формуле

Откуда, в частности, при следует, что

Оболочка малочувствительна к виду функции , если это достаточно гладкая функция, удовлетворяющая всем геометрическим граничным условиям задачи. Так, например, взяв в рассматриваемой задаче такую заведомо «грубую» функцию

удовлетворяющую геометрическим граничным условиям, из условия получим

что после минимизации по числу волн (при дает)

Это значение на 5% превышает значение давления, вычисленное по предыдущей фопмуле для .

3. Оболочка под действием переменного по длине давления . В этом случае, задавшись функцией в виде одночлена, из условия можно найти собственные значения нагрузки :

где определяем из условия минимума .

Если по длине оболочки внешняя нагрузка остается одного знака, то даже одночленное приближение обеспечивает вполне приемлемую точность. Возьмем, например, свободно опертую оболочку под действием радиальной локальной кольцевой нагрузки q. Будем считать, что оболочка теряет устойчивость по достаточно большому числу волн и поэтому не будем различать гидростатические и «мертвые» нагрузки (см. § 32). Взяв функцию при получим

Минимизируя по числу волн , находим

Таким образом, если оболочка достаточно длинная, чтобы при потере устойчивости ее можно было рассматривать как полубезмоментную, то критическая нагрузка не зависит от длины оболочки. В частности, из (7.52) для изотропной оболочки получим

где .

Если функцию взять в виде ряда

то условие дает

где

Необходимые условия минимума q, т. е. условия приводят к системе уравнений

равенства нулю определителя этой системы можно определить собственные значения :

Простая структура полученного определителя порядка N позволяет выразить в явном виде

Стоящий в знаменателе ряд сходится так быстро, что можно ограничиться двумя-тремя его членами.

Отметим, что для бесконечно длинной изотропной оболочки П. И. Балабухом и В. М. Марченко найдено [19].

4. Оболочка, подкрепленная упругими шпангоутами. Если оболочка подкреплена произвольно расположенными шпангоутами различной жесткости и нагружена переменным по длине внешним давлением , то при выполнении ограничений, перечисленных в предыдущем параграфе, для определения критического давления тоже можно воспользоваться изложенным решением.

Из условия получим

где — координата шпангоута; — полная длина оболочки. Задавая функцию в виде ряда, путем несложных вычислений можно найти общей потери устойчивости подкрепленной оболочки практически с любой степенью точности. Для большинства задач достаточно взять в виде одночлена, удовлетворяющего геометрическим граничным условиям на торцах оболочки. В этом случае подсчет становится элементарным.

Приведенные в этой главе зависимости справедливы для гладких и конструктивно ортотропных цилиндрических оболочек. В каждом конкретном случае расчета нужно найти жесткость оболочки на растяжение в осевом направлении и изгибную жесткость в окружном направлении . Для гладкой однослойной оболочки можно принять

На рис. 7.6 показаны несколько вариантов конструктивно ортотропных цилиндрических оболочек. Для оболочки, подкрепленной большим числом шпангоутов с изгибной жесткостью , при расчете по полубезмоментной теории следует положить (рис. 7.6, а).

Рис. 7.6.

Для оболочки «вафельного» типа (рис. 7.6, б)

где — суммарная изгибная жесткость окружного ребра и прилегающего к нему участка обшивки; — шаг окружных ребер; — площадь поперечного сечения осевых ребер; — шаг осевых ребер.

Когда оболочка подкреплена кольцевым гофром (рис. 7.6, в) можно принять

где — суммарная изгибная жесткость одного гофра и относящейся к нему части обшивки; t — шаг гофра.

Если при расчете трехслойных оболочек (рис. ) не учитывать сдвиговые деформации пакета (см. § 16), при следует принять

В последнем случае при подсчете можно учесть и изгибную жесткость гофра.