§ 15. Стержни на упругом основании и упругих опорах

Задача устойчивости стержней, связанных с упругим основанием, представляет интерес, поскольку расчетные схемы такого рода широко используются на практике. Кроме того, решение этой задачи имеет методическое значение: сравнительно простая задача устойчивости стержня на упругом основании имеет особенности, характерные для многих более сложных задач устойчивости пластин и оболочек.

Ограничимся случаем так называемого винклеровского сплошного упругого основания, т. е. будем считать, что распределенная реакция упругого основания в каждой точке пропорциональна прогибу стержия в этой же точке и не зависит от прогибов на других участках стержня (рис. 3.14):

где — коэффициент жесткости упругого основания (коэффициент постели).

С учетом сформулированных в § 13 основных допущений нетрудно вывести линеаризованное уравнение для рассматриваемой задачи. Выкладки аналогичны выкладкам, приведенным в § 13. Проектируя на ось у действующие на искривленный элемент стержня силы, необходимо только дополнительно учесть реакцию упругого основания . Окончательно вместо уравнения (3.4) получим следующее однородное уравнение:

Граничные условия, очевидно, не зависят от того, связан стержень с упругим основанием или нет. Они определяются условиями закрепления и нагружения концов стержня. Поэтому граничные условия, которые приведены в § 13, полностью могут быть перенесены на случай стержней, связанных с упругим основанием.

Уравнение (3.26) справедливо для произвольно нагруженного в продольном направлении стержня переменной изгибной жесткости и при переменном коэффициенте постели .

Рис. 3.14.

В общем случае анализ этого уравнения затруднителен. Поэтому сначала рассмотрим стержень постоянной изгибной жесткости , лежащий на упругом основании с коэффициентом постели и сжатый силой . В этом случае и уравнение (3.26) принимает вид

Решение последнего уравнения с постоянными коэффициентами не составляет принципиальных трудностей. Наиболее просто решение уравнения (3.27) может быть найдено для шарнирно-опертого стержня. В этом случае граничными условиями являются: . Выше рассмотрена задача устойчивости шарнирно-опертого стержня без упругого основания и для нее найдена полная система собственных функций

Прямой подстановкой нетрудно убедиться в том, что такой набор синусоид дает решение уравнения (3.27), удовлетворяющее граничным условиям. Поскольку система функций (3.28) полная, автоматически получаем полную систему собственных функций для рассматриваемой задачи. Каждая из собственных функций дает соответствующее собственное значение задачи. После сокращения общих множителей из уравнения (3.27) получим

откуда

Способ угадывания решений в задачах на собственные значения следует применять с осторожностью. Для гарантированного правильного решения необходимо использовать полную систему функций (как это сделано выше), иначе можио получить ошибочный результат. Например, если в рассматриваемой задаче взять решение просто в виде то ошибка в значении критической силы может оказаться сколь угодно большой.

В задачах устойчивости из всех собственных значений практический интерес представляет то, которое приводит к наименьшей нагрузке. Это наименьшее значение нагрузки является критическим. В отличие от задач, рассмотренных выше, в данной задаче первое собственное значение, соответствующее прогибу стержня по одной полуволне синусоиды, не всегда приводит к наименьшей нагрузке.

Для дальнейшего анализа выражение (3.29) перепишем в безразмерном виде

где

Принимая последовательно и т. д., получаем зависимости

В координатах при различных эти зависимости дают набор прямых (рис. 3.15, а). Участки прямых, лежащие ииже точек пересечения, дают наименьшие и, следовательно, критические значения безразмерной силы. Как видим, различным значениям жесткости упругого основания соответствуют разные критические числа полуволн, т. е. в зависимости от меняется форма потери устойчивости стержня. Так, при наименьшее собственное значение соответствует и форма изогнутой оси стержня при потере устойчивости описывается одной полуволновой синусоиды .

При наименьшее собственное значение соответствует форма изогнутой оси стержня при потере устойчивости описывается функцией окр и т. д. Непрерывное изменение параметра сопровождается скачкообразным качественным изменением формы потери устойчивости стержня.

На рис. 3.15, б тот же результат представлен в других координатах: по оси ординат отложена безразмерная сила , по оси абсцисс — безразмерная длина .

Рис. 3.15.

Эти безразмерные величины связаны соотношением

В отличие от случая стержня без упругого основания в рассматриваемой задаче не наблюдается монотонного уменьшения критической силы с увеличением длины стержня. При фиксированных значениях и на некоторых участках возрастает с увеличением . При критическая сила практически перестает изменяться с увеличением длины стержня и последнему результату можно было прийти также с учетом следующих соображений. Когда при потере устойчивости по длине стержня образуется достаточно большое число полуволн , величину , входящую в зависимость (3.29), можно условно считать непрерывно изменяющейся и искать минимум , дифференцируя эту зависимость по

откуда находим

Таким образом, при достаточно большом значении безразмерного параметра критическая сила перестает зависеть от длины стержня, а потеря устойчивости происходит по такому числу полуволн, при котором длина одной полуволны примерно равна .

Решение уравнения (3.27) при граничных условиях, отличных от условий шарнирного опирания, приводит к аналогичным результатам, но технически более громоздко. В общем случае решение этого однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами следует искать в виде , что приводит к характеристическому уравнению . Четыре корня этого биквадратного уравнения дают возможность представить общее решение исходного уравнения в виде суммы четырех функций с произвольными постоянными :

Подчинив общее решение четырем заданным граничным условиям задачи, для постоянных ; получим систему четырех линейных однородных алгебраических уравнений. Равенство нулю определителя этой системы уравнений приводит к уравнению, доставляющему собственные значения задачи , наименьшее из которых равно .

Не анализируя различные возможные варианты решения уравнения (3.26), отметим, что когда , общее решение этого уравнения может быть представлено в виде

где

На решенной выше задачи можно утверждать, что условие выполняется, если запрещены поперечные перемещения обоих торцов стержня. В этом случае независимо от двух других граничных условий с увеличением безразмерной длины стержня критическая сила стремится (сверху) к величине . Однако если хотя бы на одном из концов стержня поперечные перемещения не стеснены, то с увеличением безразмерной длины критическая сила стремится к величине .

До сих пор рассматривались упругие стержни на абсолютно жестких опорах, хотя в действительности всякая реальная опора той или иной податливостью. В задачах устойчивости однопролетных стержней жесткости упругих опор должны учитываться при составлении граничных условий. Например, на рис. 3.16, а показан стержень, один конец которого оперт на упругую опору жесткости конец упруго заделан, причем жесткость заделки при повороте конца равна .

Рис. 3.16.

При формулировке граничных условий следует рассматривать равновесие концевого элемента стержня в отклоненном состоянии. Так, проектируя на ось у все силы, действующие на элемент стержня у левого торца (рис. 3.16, б), и учитывая, что перемещение вызывает в упругой опоре реакцию при получаем граничное условие

Равенство нулю суммы моментов, действующих на элемент стержня у правого торца (рис. 3.16, в), при дает граничное условие , поскольку угол поворота вызывает в упругой заделке момент, равный . Два других граничных условия очевидны. Учитывая, что в рассматриваемом примере , окончательно можно записать следующие четыре граничных условия . Дальнейшая общая схема решения такая же, как и для стержней на абсолютно жестких опорах.

Рис. 3.16.

Определим, например, критическую силу и форму потери устойчивости стержня, изображенного на рис. 3.17, считая изгибную жесткость постоянной. В данном - случае (упругое основание не вводим) общее уравнение (3.4) принимает вид

Граничные условия задачи . Общее решение уравнения

Подчиняя это общее решение четырем граничным условиям задачи, получаем систему четырех однородных линейных уравнений относительно четырех произвольных постоянных . Как отмечалось, для получения характеристического уравнения обычно удобнее не приравнивать нулю определитель однородной системы уравнений, а последовательно исключать из этой системы произвольные постоянные. В соответствии с этим выпишем три первых уравнения, следующие из трех первых граничных условий:

Откуда . Следовательно, решение можно записать в виде

После определения собственных значений из этого выражения находим соответствующие собственные функции задачи, причем собственная функция, соответствующая критическому значению , описывает форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости.

Подчинив функцию (3.30) четвертому граничному условию и полагая получим характеристическое уравнение, доставляющее собственные значения задачи; после несложных преобразований характеристическому уравнению можно придать следующий вид:

При этом введена безразмерная жесткость упругой опоры

На рис. 3.18, а показано графическое определение первого корня характеристического уравнения. В частности, при и получаем, как и следовало ожидать, известные значения соответствующие второму и пятому случаям, показанным на рис. 3.5. Результат решения характеристического уравнения представлен на рис. , где показано, во сколько раз критическая сила в данной задаче отличается от критической силы шарнирно-опертого стержня той же длины: .

Рис. 3.18.

При разной безразмерной жесткости с формы потери устойчивости оказываются качественно различными, причем при непрерывно изменяющихся значениях с качественная смена форм потери устойчивости происходит скачкообразно. Проследим за сменой форм потери устойчивости. При имеем заведомо качественно разные формы потери устойчивости. Переход от одной формы потери устойчивости к другой в данной задаче можно установить по смене знака первой производной . Из выражения (3.30) следует

Первое собственное значение изменяется в диапазоне поэтому и единственная смена знака произойдет при , когда меняется знак . Этому значению соответствует . Таким образом, при стержень теряет устойчивость по форме , при — по форме 2 (рис. 3.18, б).

Задавшись допустимой погрешностью определения критической силы, из полученного решения можно найти то значение безразмерной жесткости упругой опоры см, при превышении которого опору можно считать абсолютно жесткой. Например, при допустимой погрешности порядка 5% получим .

Остановимся на расчете многопролетных стержней с несколькими упругими промежуточными опорами (рис. 3.19, а). Решение этой задачи при переменных можно вести методом начальных параметров. Граничные условия при формулируются так же, как и для однопролетных стержней. Жесткость промежуточных опор учитывается следующим образом. Из условия равновесия элемента стержня над опорой (рис. ) следует, что где — соответственно поперечные силы слева и справа над опорой; — перемещение над опорой; — жесткость этой опоры.

Рис. 3.19.

Вектор состояния, характеризующий перемещения и внутренние усилия в сечениях стержня, примем в виде

Тогда получим матричное уравнение

где

Схема интегрирования уравнения прежней, но при переходе через каждую опору следует дополнительно учитывать зависимость (3.31), которую можно записать в видематрицы перехода

В тех случаях когда (стержень без упругого основания), применим метод начальных параметров, однако при он может не обеспечить необходимой точности расчета, поэтому целесообразнее пользоваться одним из вариантов метода прогонки [12, 18].

Задачу устойчивости стержней на упругих основании и опорах можно решать и энергетическим методом. Для этого в выражении изменения полной потенциальной энергии должны быть учтены энергия упругого основания и энергия деформации упругих опор. Записывая выражение изменения полной энергии, например в форме Брайана, получим

где К — число упругих опор.

Однако энергетический метод может дать хорошее приближенное решение при небольшом числе членов ряда только тогда, когда имеется полная физическая ясность в задаче, т. е. когда полностью ясна качественная картина потери устойчивости. Например, для шарнирно-опертого стержня с одной симметрично расположенной промежуточной упругой опорой (рис. 3.20, а) нетрудно представить себе, что при малой жесткости опоры с стержень теряет устойчивость по форме 1, близкой к одной полуволне синусоиды. Кроме того, в силу симметрии задачи всегда возможна потеря устойчивости по форме 2, при которой упругая опора не деформируется. Для формы 1 критическую силу можно получить, задавая прогиб в виде ряда

Причем, ограничившись даже одним членом ряда, можно быть уверенным в том, что существенной качественной ошибки в значении не будет. Действительно, учитывая, что в рассматриваемой задаче , из условия находим

где

Для формы 2 можно записать, что

Полученные результаты иллюстрируются графиком (рис. 3.20, б). При реализуется форма 1. Причем с ростом с увеличивается . При реализуется форма 2 и независимо от жесткости упругой опоры. Жесткость упругой опоры , при которой происходит смена форм потери устойчивости, находим из условия .

Рис. 3.20.

Так, ограничиваясь только одним членом ряда, получаем Точное значение .

При решении задачи энергетическим методом не всегда удается получить надежный результат. Например, даже для внешне несложной задачи, изображенной на рис. 3.21, невозможно предугадать форму потери устойчивости и, следовательно, трудно подобрать подходящую систему аппроксимирующих функций. Причем решение задачи не облегчается, если известно точное ее решение для какого-нибудь конкретного значения ее параметров, поскольку незначительное изменение этих параметров может привести к резкой качественной смене формы потери устойчивости.

Рис. 3.21.