§ 27. Термоупругая задача устойчивости пластин

Критерий устойчивости в форме Брайана справедлив независимо от причин появления начальных усилий . В частности, выражением (5.4) можно пользоваться и в том случае, когда эти усилия возникают в результате нагрева или заданных на контуре пластины перемещений . При этом общая схема исследования устойчивости сохраняется. Предварительно из решения плоской задачи определяют начальные усилия в срединной плоскости пластины и затем исследуют устойчивость начального напряженного состояния пластины. Но задачу устойчивости упругой пластины под действием нагрева или заданных на ее контуре начальных перемещений можно решать, не определяя начальных усилий , а используя критерий устойчивости в форме С. П. Тимошенко.

Сначала преобразуем критерий в форме С. П. Тимошенко для того случая, когда на контуре пластины заданы не нагрузки, а перемещения. Рассмотрим пластину, на части контура которой заданы перемещения других внешних воздействий пластина не испытывает. Вывод выражения для изменения полной потенциальной энергии , не содержащего начальных усилий , аналогичен выводу в случае заданных внешних нагрузок. Перемещения, описывающие переход пластины в новое отклоненное от начального состояния равновесия, зададим в виде

где — бесконечно малый параметр. Причем функции должны обращаться в нуль на тех участках контура пластины, для которых в явном виде заданы начальные перемещения . Тогда, вычислив изменение полной потенциальной энергии пластины, получим

где и определяются так же, как и в § 25.

Произвол выбора перемещений и в этом случае позволяет так распорядиться ими, чтобы избавиться от начальных усилий в выражении (5.45). Повторив все рассуждения и этапы вывода, проведенные в § 25, получим

где — заданные перемещения контура пластины.

Величины на контуре пластины определяются зависимостями

причем должны удовлетворять уравнениям

где

Напомним, что на тех участках контура пластины, для которых в явном виде заданы начальные перемещения перемещения должны обращаться в нуль:

Как и можно ввести функцию и определить ее с учетом условий (5.51) на тех участках контура, для которых начальные перемещения заданы. Решение можно строить и иначе, используя уравнения в перемещениях.

Подставляя в уравнения (5.48) значения , определяемые формулами (5.49) и используя зависимости (5.50), получаем два уравнения, позволяющие выразить перемещения через перемещения :

При решении этих уравнений необходимо учитывать граничные условия (5.51) и (5.25) на соответствующих участках контура.

Потеря устойчивости упругой пластины может быть вызвана температурными напряжениями. Задачу термоупругой устойчивости рассмотрим в следующей постановке. Тонкая пластина нагревается равномерно по всей толщине механические свойства материала пластины считаем не зависящими от температуры. До потери устойчивости удлинения в срединной плоскости связаны с начальными усилиями и температурой соотношениями упругости

где — температурный коэффициент линейного расширения материала пластины; — температура, отсчитываемая от некоторой температуры при которой в пластине отсутствуют температурные напряжения.

Удлинения и углы сдвига определяются по линейным формулам через производные начальных перемещений:

Начальные усилия удовлетворяют уравнениям равновесия:

заданных на контуре пластины граничных условиях относительно перемещений и усилий , используя приведенные соотношения, можно определить начальные усилия в срединной плоскости пластины.

Когда начальные усилия определены, при решении задачи устойчивости можно не учитывать, что они вызваны неравномерным нагревом и, подсчитывая изменение полной потенциальной энергии при отклонениях пластины от исходного состояния, использовать выражение (5.4):

Однако можно не решать термоупругую задачу и перейти к записи энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко.

Путем преобразований аналогичных тем, которые приведены в § 25, последнее выражение приводим к виду

Следует помнить, что в этом внешне простом выражении (5.54) необходимо найти значения и . При этом можно использовать схему решения, изложенную в § 25, либо в настоящем параграфе.