§ 12. Связь метода Рэлея—Ритца с методом Галеркина

Одним из наиболее универсальных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений является метод Галеркина (или Бубнова—Галеркина). Рассмотрим схему решения этим методом задач устойчивости, сводящихся к линейным задачам на собственные значения (см. приложение I).

Приближенное решение задачи на собственные значения

где и - однородные линейные дифференциальные выражения, конструируют в виде ряда

где — произвольные постоянные; — координатные функции, являющиеся функциями сравнения, т. е. удовлетворяющие (каждая в отдельности) всем заданным при однородным граничным условиям задачи. Ряд (2.80) подставляют в исходное уравнение (2.79) и получают некоторую функцию-ошибку , вообще говоря, не равную тождественно нулю. Основная операция метода Галеркина состоит в том, что функцию-ошибку ортогонализируют ко всем координатным функциям. Для этого ее поочередно умножают на все функции и интегралы от произведений приравнивают нулю. Таким образом, для N неизвестных получают систему N линейных алгебраических уравнений

В силу однородности исходного уравнения (2.79) функция-ошибка является однородной относительно произвольных постоянных . Следовательно, система уравнений (2.81) тоже однородная, и для существования отличных от нуля решения полученной системы уравнений ее определитель должен быть равен нулю. Последнее условие приводит к алгебраическому уравнению степени N относительно параметра . Корни этого уравнения дадут приближенно N первых собственных значений . Для каждого из найденных собственных значений можно выразить все произвольные постоянные через одну произвольную постоянную (например, через ) и найти приближенно N первых собственных функций с помощью ряда (2.80).

В задачах на собственные значения метод Галеркина тесно связан с минимальным принципом Рэлея (см. приложение I). В силу линейности исходного уравнения (2.79) подстановка в него ряда (2.80) дает функцию-ошибку

Система алгебраических уравнений (2.81) метода Галеркина имеет такую структуру:

Отношение Рэлея после подстановки в него ряда (2.80) будет функцией варьируемых параметров :

где

Запишем необходимые условия минимума отношения Рэлея

или учитывая зависимость (2.83)

Если исходную задачу на собственные значения считать полностью определенной, то и из (2.84) следует, что

Эта система уравнений повторяет систему уравнений метода Галеркина (2.82), причем .

Если в качестве координатных функций взята полная система функций, то увеличивая число членов ряда (2.80), можно теоретически с любой степенью точности определить требуемое количество собственных значений и построить соответствующие им собственные функции задачи. Но при практическом использовании метода Галеркина, как и метода Рэлея—Ритца, приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом членов ряда (2.80). Точность и трудоемкость решения определяются не полнотой системы координатных функций, а тем, насколько удачно выбраны первые функции этого ряда.

В задачах устойчивости обычно требуется найти первое собственное значение, дающее критическую нагрузку. Поэтому при выборе координатных функций следует стремиться к тому, чтобы первый член ряда точнее отражал характер первой собственной функции решаемой задачи, а все последующие члены ряда играли бы роль уточняющих поправок. Один из наиболее естественных и надежных путей выбора координатных функций состоит в использовании собственных функций родственной самосопряженной и полностью определенной задачи, допускающей точное аналитическое решение. Например, если задача устойчивости сводится к решению уравнения с переменными коэффициентами, то, осреднив значения коэффициентов, можно перейти к вспомогательной задаче с теми же граничными условиями, но с постоянными коэффициентами. Определив систему собственных функций для этой вспомогательной задачи, затем можно их использовать для построения приближенного решения уравнения с переменными коэффициентами. Такой путь решения обычно дает возможность с высокой точностью определять критические нагрузки даже при сравнительно небольшом числе членов ряда (два-три); при этом гарантируется полнота системы координатных функций.

Метод Галеркина может быть использован для решения не только обыкновенных дифференциальных уравнений, но и уравнений в частных производных.

Метод Галеркина можно трактовать как способ приближенной замены задачи на собственные значения для дифференциальных уравнений задачей на собственные значения для матриц.

Обозначив варьируемые коэффициенты ряда (2.80)

систему (2.82) можно записать в матричном виде

где А и В — квадратные матрицы, причем их элементы равны

Приближенные собственные значения исходной задачи определятся из решения уравнения . Такая матричная форма записи может быть удобной при численной реализации метода Галеркина с использованием ЭЦВМ.

Примеры использования метода Галеркина приведены в гл. 3 и 4, где отмечены некоторые недостатки этого метода.

Используя энергетический критерий устойчивости (2.65), запишем уравнение Эйлера функционала (2.66):

где .

Продифференцировав, получим

Это линейное однородное уравнение вместе с однородными граничными условиями описывает изгибную форму равновесия стержня, смежную с исходной.

Построим приближенное решение уравнения (2.85), взяв искомую функцию в виде ряда

где — независимые параметры; — функции сравнения рассматриваемой задачи на собственные значения. В данном случае это четырежды дифференцируемые функции, удовлетворяющие всем заданным граничным условиям задачи, например условиям шарнирного опирания (2.67).

Согласно методу Галеркина подставляем ряд (2.86) в решаемое уравнение и находим функцию-ошибку

Ортогонализируя функцию-ошибку ко всем функциям , приходим к матричному уравнению

где

здесь

Условие существования отличных от нуля решений полученного уравнения приводит к уравнению

из которого можно приближенно найти N первых собственных значений задачи . Наименьшее из этих собственных значений дает приближенное значение критической силы .

Рассмотрим решение задачи методом Рэлея—Ритца, но вместо ряда (2.68), в котором каждая функция была допустимой функцией задачи на собственные значения, воспользуемся рядом (2.86), построенным из функций сравнения. Подставив этот ряд в выражение (2.66) и выполнив все необходимые операции дифференцирования и интегрирования, получим

Необходимое условие стационарности Ф приводит к матричному уравнению

где

здесь .

Покажем, что уравнение (2.88) тождественно уравнению (2.87), полученному по методу Галеркина. Действительно, интегрирование по частям дает

поскольку функции сравнения , и удовлетворяют граничным условиям (2.67), т. е. .

Следовательно, и результат приближенного решения задачи методом Рэлея—Ритца полностью совпадает с результатом решения методом Галеркина, если в обоих случаях используется один и тот же ряд (2.86), построенный из функций сравнения. Но из сказанного не следует, что эти два приближенных метода полностью идентичны. При решении задачи методом Рэлея—Ритца можно использовать значительно более широкий класс аппроксимирующих функций, чем при решении задачи методом Галеркина: в методе Рэлея—Ритцз это допустимые функции, а в методе Галеркина — функции сравнения.

Для иллюстрации различия между этими методами рассмотрим следующий пример приближенного решения. Определяя критическую силу шарнирно-опертого стержня по методу Рэлея—Ритца, в первом приближении можно взять аппроксимирующую функцию в виде квадратичной параболы, удовлетворяющей геометрическим граничным условиям задачи

Тогда вместо системы уравнений получим одно уравнение

Откуда при найдем приближенное значение критическои силы . Точное значение . Но все же приближенное решение дает верное представление о порядке значений критической силы. Если попытаемся использовать функцию (2.89) для приближенного решения уравнения (2.85) по методу Галеркина, то придем к абсурдному результату, так как в данном случае .

Но если вместо квадратичной параболы, не являющейся функцией сравнения, возьмем четырежды дифференцируемую функцию, удовлетворяющую всем граничным условиям задачи, то результаты приближенных решений метода Рэлея—Ритца и метода Галеркина совпадут. Примем, например,

Тогда методом Рэлея—Ритца и методом Галеркина получим Причем в данном случае даже первое приближение приводит к значению критической силы с погрешностью всего .

Задача устойчивости стержня использована в этом параграфе только для наглядности изложения, и все замечания и выводы носят общий характер.