Глава 6. Устойчивость цилиндрических оболочек

Среди задач устойчивости тонких упругих оболочек задачи устойчивости цилиндрических оболочек имеют наибольшее практическое значение. С другой стороны, на примере исследования устойчивости цилиндрических оболочек можно проследить все основные особенности задач устойчивости тонких оболочек. Поэтому мы ограничимся изложением основ теории устойчивости упругих оболочек применительно к задачам устойчивости круговых цилиндрических оболочек.

Из методических соображений, прежде чем перейти к исследованию устойчивости цилиндрической оболочки, детально рассмотрена родственная задача устойчивости упругого кругового кольца. Затем дан вывод основного линеаризованного уравнения круговой цилиндрической оболочки, находящейся в неоднородном безмоментном докритическом состоянии, и получено выражение для подсчета изменения полной потенциальной энергии такой оболочки. Приведены решения только двух задач устойчивости оболочки: при равномерном внешнем давлении и равномерном осевом сжатии. Многочисленные решения других задач устойчивости оболочек получены приближенными методами [7,9, 19,22,27].

§ 31. Устойчивость кругового кольца

Рассмотрим круговое кольцо радиуса R, равномерно сжатое распределенной радиальной нагрузкой q (рис. 6.1). При достаточно большой внешней нагрузке q круговая форма кольца может стать неустойчивой. Тогда кольцо изогнется и примет новую некруговую форму, например показанную на рис. 6.1 штриховой линией. (Пространственные формы равновесия кольца не будем рассматривать, а ограничимся изучением потери устойчивости кольца в своей плоскости.)

Прежде чем решить задачу об устойчивости кольца, рассмотрим вспомогательную задачу об изгибе тонкого кругового кольца, нагруженного в своей плоскости переменными радиальными и касательными усилиями , приложенными вдоль оси кольца, и распределенным изгибающим моментом (рис. 6.2, а).

Изгиб кольца сопровождается возникновением внутренних нормальных и поперечных усилий и изгибающего момента . Условия равновесия элемента кольца рассмотрим в обычной линейной постановке, не учитывая деформаций кольца (рис. 6.2.б).

Рис. 6.1.

Рис. 6.2.

Спроектировав все приложенные к элементу АВ усилия на направление касательной и нормали к оси кольца в точке А и приравняв нулю сумму всех действующих на элемент моментов относительно точки А, получим три уравнения:

(6.1)

Исключив из этих уравнений N и Q, можно получить одно уравнение с одним неизвестным:

Рассмотрим деформацию кольца в своей плоскости. На рис. 6.2, в изображен элемент АВ, переходящий в результате изгиба кольца в положение . Радиальные и касательные перемещения точек оси кольца обозначим через , а угол поворота касательной к осн кольца — через . До деформации кривизна кольца равна .

Изменение кривизны оси кольца при деформации равно изменению угла по дуге кольца, т. е.

Введем подвижную ортогональную систему координат и направим ось у по касательной к оси кольца в точке А, а ось — по нормали к оси кольца, как показано на рис. 6.2, в.

В этой системе координат точки будут (с точностью до величин высшего порядка малости) иметь следующие координаты:

Длину элемента A подсчитаем по формуле

где — координаты соответствующих точек. Удлинение элемента АВ

Если ограничимся линейными относительно перемещений слагаемыми, то получим

Удлинение тогда угол поворота касательной и изменение кривизны можно определять без учета влияния удлинений . Проекция элемента на ось с точностью до величин высших порядков малости равна . В то же время эта проекция равна разности соответствующих координат точек .

Следовательно,

Итак, можно записать следующие выражения, описывающие геометрию деформации кольца в его плоскости:

Если пренебречь влиянием растяжения оси кольца, т. е. положить , то изменение кривизны кольца можно подсчитывать по любой из следующих зависимостей [29]:

Изгибающий момент М в тонком упругом кольце связан с изменением кривизны соотношением упругости , где — изгибная жесткость кольца в его плоскости.

Используя вышеприведенные зависимости, уравнение (6.2) можно преобразовать к виду

или

При заданных внешних нагрузках решение этих уравнений дает возможность определить внутренние силовые факторы и перемещения кольца. Отметим, что если ось кольца считать нерастяжимой, т. е. положить , то связь между перемещениями определяется зависимостью

Рис. 6.3.

Вернемся к задаче устойчивости кольца, нагруженного равномерным радиальным усилием интенсивностью . Устойчивость такого кольца исследуем при допущениях, аналогичных допущениям, использованным при исследовании устойчивости прямых стержней (см. § 13).

1. Кольцо имеет идеально правильную круговую форму и интенсивность распределенной внешней нагрузки строго постоянна по всему кольцу.

2. Изменением всех геометрических размеров кольца в докритическом состоянии можно пренебречь.

3. При потере устойчивости связь между изгибающим моментом и изменением кривизны оси кольца описывается соотношением, основанным на гипотезе плоских сечений, т. е. .

4. Внешняя нагрузка гидростатическая, т. е. при деформации кольца нагрузка остается направленной по нормали к деформированной оси кольца, а ее интенсивность q не меняется.

В силу первого допущения возможна круговая форма равновесия кольца, при которой . Выясним, при каких условиях становятся возможными изгибные формы равновесия кольца, смежные с исходной круговой формой. Для этого составим линеаризованные уравнения равновесия элемента кольца в состоянии, отклоненном от исходного. При отклонениях кольца от исходной круговой формы в нем кроме нормального усилия возникнут перерезывающие усилие Q и изгибающий момент М.

Все действующие на элемент силы спроектируем на оси направленные по касательной и по нормали к деформированному кольцу в точке (рис. 6.3). Учитывая, что касательная в точке составляет с осью угол и, отбрасывая величины высших порядков малости, получим (см. § 13, вывод уравнений для прямого стержня):

Третье уравнение равновесия имеет вид

Поскольку при потере устойчивости , момент М и поперечная сила Q — величины того же порядка малости, что и угол поворота касательной О. Поэтому в соответствии с основной идеей линеаризации третье слагаемое в первом уравнении равновесия следует отбросить, как содержащее произведение двух величин первого порядка малости.

Нормальное усилие в искривленном кольце представим в виде суммы . Тогда второе уравнение равновесия можно записать так:

Но поскольку , согласно первому уравнению дополнительное усилие N имеет тот же порядок малости, что и Q. Поэтому слагаемое N в последнем уравнении тоже следует отбросить. Приняв во внимание, что , окончательно выпишем три линеаризованных уравнения равновесия элемента деформированного кольца:

Сравнивая полученную систему линеаризованных уравнений с системой уравнений (6.1) линейной задачи изгиба кольца, видим, что эти системы уравнений будут формально совпадать, если в (6.1) положить , а в (6.8) ввести фиктивную поперечную нагрузку . § 20). Поэтому, минуя промежуточные выкладки, по аналогии с уравнениями (6.5) и (6.6) можно записать линеаризованное уравнение задач устойчивости кольца

или

С учетом того, что окончательно получим однородное уравнение

или

Таким образом, задача определения условий существования изгибных форм равновесия (смежных с исходной круговой) кругового кольца, находящегося под действием равномерной гидростатической нагрузки, свелась к типичной задаче на собственные значения.

В рассматриваемой задаче, когда на кольцо, сжатое равномерно распределенной гидростатической нагрузкой, не наложены дополнительные связи, в решении удобнее использовать уравнение (6.9), имеющие более низкий (четвертый) порядок. Перепишем это уравнение в виде

где

Решение такого уравнения, совпадающего по форме с уравнением устойчивости однопролетного стержня (см. § 13), имеет вид

Для замкнутого кольца начало отсчета можно выбрать так, чтобы . В этом случае необходимо положить . Из условия периодичности решения, которое должно соблюдаться для замкнутого кольца, следует, что , где — любое целое число. Кроме того, для кольца с нерастяжимой осью выполняются зависимости

Поэтому, используя решение (6.11), можно записать еще два уравнения:

Исключив решение , соответствующее вращению кольца как жесткого целого, положим . Исключив решения для ,

соответствующие смещениям кольца как жесткого целого получим следующую систему собственных функций:

и соответствующие им собственные значения

На рис. 6.4 показан вид кольца при двух значениях числа волн в окружном направлении . Значение , очевидно, соответствует перемещению кольца как жесткого целого (рис. 6.4, а); для рассматриваемой задачи не представляет интереса. Наименьшее собственное значение, равное критической нагрузке, соответствует

Соответствующая этому значению форма потери устойчивости кольца показана на рис. 6.4, б.

Итак, найдена критическая нагрузка с точностью до общего множителя функции, описывающие деформацию кольца в момент потери устойчивости:

В соответствии с четвертым допущением действующая на кольцо распределенная нагрузка считается гидростатической. Но возможен иной характер поведения внешней нагрузки при деформации кольца.

Рис. 6.4.

Рассмотрим случай, когда распределенная нагрузка при деформациях кольца остается направленной к центру кольца, причем ее интенсивность q не изменяется. (Такое нагружение может быть достигнуто, например, с помощью большого числа независимо натянутых нитей, сходящихся в центре кольца.)

Если нагрузка остается направленной к центру кольца (рис. 6.5, а), то в линеаризованные уравнения кроме фиктивной нормальной нагрузки войдет касательная нагрузка . Тогда, используя условие нерастяжимости кольца , из уравнения (6.6) можно получить однородное уравнение

Откуда получим решение в виде . Тогда

При критическое значение нагрузки Если же считать, что при деформациях кольца внешняя нагрузка в каждой точке сохраняет свое первоначальное направление , то следует положить .

Тогда вместо уравнения (6.9) получим

Найдем решение в виде и получим

При критическое значение нагрузки Возможны и другие случаи поведения нагрузки при деформациях кольца [39].

Рис. 6.5.

Теперь задачу устойчивости кругового кольца, находящегося под действием гидростатической внешней нагрузки, решим энергетическим методом (см. гл. 2). Для этого необходимо вычислить изменение полной потенциальной энергии при переходе системы из начального состояния равновесия в смежное отклоненное состояние. Причем значение должно быть вычислено с точностью до квадратов бифуркационных перемещений первого порядка малости.

Определим деформации кольца с точностью до квадратичных слагаемых. Рассматривая перемещения элемента кольца (рис. 6.2,а) и используя таблицу координат точек нетрудно получить выражения

Подчеркнем, что квадратичные слагаемые вошли только в выражение для удлинения . Выражения для угла поворота касательной к оси кольца и изменения кривизны кольца и квадратичных слагаемых не содержат. Поэтому, в частности, если , то и при определении деформаций кольца в квадратичном приближении остаются справедливыми формулы (6.4).

При гидростатической внешней нагрузке q потенциал внешних сил с точностью до постоянного слагаемого определяется зависимостью , где — увеличение площади, ограниченной кольцом. При увеличении площади кольца потенциал внешней гидростатической нагрузки возрастает, поэтому произведение положительно. Поскольку изменение полной потенциальной энергии необходимо знать с точностью до квадратичных слагаемых, с той же точностью следует определять при деформации кольца.

Площадь, ометаемую элементом кольца при деформации, представим в виде суммы площадей треугольников и (рис. 6.6). Зная координаты вершин этих треугольников, подсчитаем их площади по формулам аналитической геометрии:

Рис. 6.6.

Таким образом, площадь, ометаемая элементом кольца,

Интегрируя это выражение по всему кольцу, находим изменение площади .

Для определения критического значения q воспользуемся изменением полной потенциальной энергии кольца, записанным в форме Брайана. Перемещения, переводящие кольцо в новое отклоненное состояние, представим в виде , где — бесконечно малый параметр, не зависящий от угла — конечные функции угла .

Используя выражения (6.14), запишем

где

и

Выражение для можно переписать так:

Если ось кольца считать нерастяжимой с точностью до первой степени а, т. е. принять изменение полной потенциальной энергии кольца (множитель опускаем)

где — изгибная жесткость кольца в своей плоскости; — начальное усилие в кольце, причем в данной задаче .

Заметим, что интеграл , как первая вариация площади, ограниченной нерастяжимым кольцом, равен нулю. Как известно, из всех замкнутых кривых заданной длины максимальную площадь ограничивает окружность, поэтому первая вариация площади окружности равна нулю.

Окончательно можно выразить через окружное перемещение . Опустив индекс «1» и учтя, что в рассматриваемой задаче , получим

Дальнейшее решение можно вести из условия либо при дополнительном требовании минимума q. Подчеркнем, что выражение (6.15) получено для случая, когда на кольцо действует гидростатическая нагрузка .

Нетрудно проверить, что условие стационарности приводит к уравнению (6.10), полученному выше непосредственно из линеаризованных уравнений равновесия элемента кольца в отклоненном состоянии.

Действительно, для полученного функционала уравнение Эйлера имеет вид (см. приложение II)

где через F обозначено подынтегральное выражение в функционале (6.15). После несложных преобразований получим уравнение, совпадающее с уравнением (6.10):

Как неоднократно подчеркивалось, энергетическим методом можно определять критические нагрузки, не решая дифференциальное уравнение Эйлера. Например, в рассматриваемой задаче можно задаться функцией перемещения

и из условия найти собственные значения . Подставив эту функцию в выражение (6.15), затем продифференцировав и проинтегрировав, получим

Откуда найдем собственные значения параметра нагрузки

совпадающие с найденными выше. Критическое значение нагрузки, соответствующее , совпадает с найденным выше точным значением , поскольку выбранная функция является точным решением задачи.

Для сравнения определим критическую нагрузку, воспользовавшись выражением изменения полной потенциальной энергии кольца в форме С. П. Тимошенко, что для кольца с нерастяжимой осью более логично (см. § 10).

Перемещения, переводящие кольцо в новое состояние, примем в виде

где — бесконечно малый параметр, не зависящий от угла ; — конечные функции угла .

Учитывая выражения (6.14), получаем , где

и

Считая ось кольца нерастяжимой, с точностью до а записываем выражение изменения полной потенциальной энергии в форме С. П. Тимошенко (опуская множитель ):

Начальное усилие не входит в это выражение, но для определения дополнительно нужно найти функцию . Как показано в § 10, квадратичные перемещения должны быть определены из условия самоуравновешенности квадратичных усилий. В данном случае введем квадратичный изгибающий момент , связанный с соотношением упругости .

С учетом решенной выше вспомогательной задачи изгиба кругового кольца под действием переменных нагрузок вместо уравнения (6.2) можно записать

Правая часть этого уравнения равна нулю, поскольку внутренние квадратичные усилия должны быть самоуравновешены. Добавив к этому уравнению условия нерастяжимости оси кольца с точностью до и выразив через , получим два уравнения для определения :

Задавшись функциями для с учетом условия периодичности по из полученной системы уравнений всегда можно найти . Например, при имеем систему уравнений

Решения, удовлетворяющие условию периодичности,

Продифференцировав и проинтегрировав, из выражения (6.16) получим

Приравняв нулю, получим прежний результат.

Как видим, решение с использованием выражения в форме С. П. Тимошенко является более громоздким, поскольку пришлось находить . Оно имеет и положительные стороны. Во-первых, в этом решении последовательно проводится условие нерастяжимости оси кольца. (Напомним, что при решении с использованием представления в форме Брайана ось кольца считали нерастяжимой с точностью до , но ее растяжение учитывали с точностью до ). Во-вторых, представление в форме С. П. Тимошенко позволяет сравнительно просто получать приближенные решения при других случаях нагружения кольца.

Рассмотрим следующую задачу. Круговое кольцо сжато четырьмя равными радиальными силами (рис. 6.7, а). При достаточно малых силах четырехлепестковая форма является единственной и устойчивой формой равновесия кольца. Но при превышении некоторого значения эта исходная форма становится неустойчивой и кольцо переходит в новую форму, лишенную исходной симметрии.

Решим эту задачу, пренебрегая изменением формы кольца в докритическом состоянии (см. § 7), причем в первом приближении зададим бифуркационные перемещения в виде . Если решение вести с использованием выражения (6.15), то предварительно необходимо определить . Если для решения задачи воспользоваться выражением (6.16), то необходимость определения отпадает. Считая, что при потере устойчивости кольцо будет деформироваться по волнам (рис. 6.7, б) из (6.16) находим

С учетом условия имеем

При получим Перемещения имеют симметрию такого же типа, как и перемещения (в данном случае четырехлепестковую).

Аналогично можно построить решение при большем числе сжимающих сил или распределенной нагрузке переменной интенсивности . Во всех этих случаях приближенное решение можно получить, не определяя .

Рис. 6.7.

В приведенном решении не учитывали изменение формы кольца в докритическом состоянии. Но, как нетрудно установить, форма кольца, нагруженного четырьмя силами, к моменту потери устойчивости заметно отличается от круговой. Если начальные прогибы кольца найти из обычного линейного решения и учесть их при определении критической нагрузки, то получим . Как видим, в данном случае, когда начальные перемещения связаны с изгибом системы, пренебрежение изменением формы кольца в докритическом состоянии приводит при определении критической нагрузки к погрешности порядка 10%, значительно превышающей погрешность порядка по сравнению с единицей (см. § 7).

Рассмотрим закритическое поведение кругового кольца. Выше определены критические точки бифуркации исходной формы равновесия кругового кольца при нескольких случаях его нагружения. Более детальное изучение закритического поведения кольца в окрестности критической точки бифуркации показывает, что при потере устойчивости кольцо ведет себя подобно сжатому стержню, продольные перемещения которого не стеснены (см. § 17). Следовательно, критическая точка бифуркации кольца оказывается точкой бифуркации первого типа, а малейшее превышение критической нагрузки приводит к резкому нарастанию прогибов кольца (рис. 6.8). Если имеется несколько дополнительных жестких опор, препятствующих перемещениям кольца, то его поведение после потери устойчивости будет иным. В том случае, когда число опор четное и они равномерно распределены по окружности кольца, критическое значение гидростатической внешней нагрузки определяется по следующей формуле (в случае нечетного числа опор нельзя пользоваться полученным выше решением для незакрепленного кольца):

где — число опор. На рис. 6.9, а показано кольцо, имеющее восемь опор; штриховой линией изображена форма потеои устойчивости такого кольца.

Рис. 6.8.

Рис. 6.9.

В случае жестких опор критическая точка бифуркации является критической точкой первого типа, но при дальнейшем увеличении внешней нагрузки кольцо ведет себя подобно стержню с закрепленными относительно продольных смещений концами (см. § 17). Поведение кольца усложняется тем, что в процессе нагружения происходит перестройка формы равновесия кольца от бифуркационной формы, изображенной штриховой линией на рис. 6.9, а, к форме равновесия, при которой кольцо «зависает» на жестких опорах (рис. 6.9, б), продолжая воспринимать возрастающую внешнюю нагрузку.

В заключение необходимо сказать несколько слов о практическом применении формулы для критической гидростатической нагрузки

Формула эта широко известна. Она вошла в руководства, справочники и учебники по сопротивлению материалов. Но для большинства практических задач, при решении которых сжатое радиальной нагрузкой круговое кольцо приходится рассчитывать на устойчивость, эта формула не верна.

На рис. 6.10 приведены типичные схемы нагружения круговых колец равномерно распределенными радиальными сжимающими усилиями. Во всех этих случаях исходное докритическое напряженное состояние колец одинаково и совпадает с напряженным состоянием, возникающим в кольце под действием гидростатического нагружения.

Круговое кольцо, показанное на рис. 6.10, а, представляет собой шпангоут, устанавливаемый в месте стыка сферического днища, радиус кривизны которого , и цилиндрической части бака радиуса R. Пользуясь безмоментной теорией оболочек, нетрудно определить интенсивность радиального усилия, сжимающего шпангоут при нагружении бака внутренним давлением :

Рис. 6.10.

Передаваемая на шпангоут нагрузка не является гидростатической: при изгибе шпангоута она существенно изменяется по величине и направлению. Поэтому формула (6.20) не верна. Кроме того, в ней не учитывается поддерживающее влияние оболочки. В результате критическая нагрузка, подсчитываемая по формуле (6.20), оказывается во много раз меньше действительной критической [29].

На рис. 6.10, б показано тонкое упругое кольцо, сжатое жесткой обоймой (такого типа нагружение может быть вызвано, например, нагревом кольца). На рис. 6.10, в изображено тонкое упругое кольцо, стянутое гибкой нитью. В обоих случаях нагрузка, воспринимаемая кольцом, не гидростатическая, причем поведение колец при потере устойчивости даже качественно отлично от поведения кольца, теряющего устойчивость под действием гидростатической нагрузки [39]. Можно привести и другие примеры, когда по формуле для критической гидростатической нагрузки получается неверный результат. Значительно труднее указать практическую задачу, в которой использование формулы (6.20) строго обосновано. Единственный! такой пример — это расчет на устойчивость длинной цилиндрической трубы под действием внешнего давления.

Однако задача устойчивости кругового кольца под действием равномерной гидростатической нагрузки представляет большой интерес. В методическом отношении эта сравнительно простая задача помогает лучше понять более сложные задачи устойчивости тонкостенных оболочек вращения при различных схемах их нагружения.

В практическом отношении подкупающе лаконичная окончательная расчетная формула тоже полезна, несмотря на сделанные выше замечания. Она дает возможность оценить снизу критическую нагрузку в тех случаях, когда трудно получить точное решение.