§ 4. Линеаризованные уравнения

В рассмотренных выше простейших примерах легко составить и точно решить полные нелинейные уравнения при произвольных значениях перемещений системы. Проведенный анализ дает исчерпывающую информацию о всех возможных устойчивых и неустойчивых положениях равновесия. Но подавляющее большинство практически важных задач значительно сложнее приведенных и получение таких полных точных решений для них не представляется возможным. Это заставляет искать приближенные, упрощенные пути исследования поведения сложных упругих систем под действием приложенных к ним нагрузок.

При решении задач упругой устойчивости центральное место занимает определение критических точек бифуркации и критических нагрузок. Точки бифуркации определяются как точки пересечения различных решений нелинейных уравнений (именно так они определялись в рассмотренных выше примерах). Но их можно найти и иначе, минуя решение нелинейных уравнений. Это можно сделать с помощью однородных линеаризованных уравнений.

Основная идея определения точек бифуркации с помощью однородных линеаризованных уравнений состоит в следующем. Предположим, что одна какая-то форма равновесия системы известна и нужно найти точки бифуркации этой формы равновесия. Для этою достаточно, не интересуясь поведением системы вдали от известной формы равновесия, найти условия существования других форм равновесия, отличных от исходной, но бесконечно к ней близких. Те точки, в окрестностях которых существуют такие формы равновесия, и будут точками бифуркации.

Рассмотрим, как можно получить и использовать линеаризованные уравнения на знакомых простейших примерах. В первом примере тривиальное исходное состояние равновесия можно считать известным и без решения полного нелинейного уравнения. Найдем условия существования других состояний равновесия, бесконечно близких к этому исходному. В данном случае найдем условие равновесия стержня, отклоненного от вертикали на бесконечно малый угол (рис. 1.14, а). Угол считаем бесконечно малым и в уравнении равновесия учитываем только те слагаемые, которые содержат этот угол в первой степени (отсюда и название «линеаризованное уравнение»). Тогда можно записать , или

Полученное однородное и линейное относительно уравнение всегда имеет тривиальное решение , соответствующее исходному вертикальному положению равновесия стержня. Интересующее нас сейчас отклоненное положение равновесия при возможно, если выражение, стоящее в скобках, обращается в нуль, т. е. если . Таким образом из условия существования нетривиального решения линеаризованного уравнения найдена та же точка бифуркации, которая выше определена как точка ветвления решения полного нелинейного уравнения.

Аналогично можно получить линеаризованное уравнение и для второго из рассмотренных выше примеров (см. рис. 1.2, а). Рассмотрев равновесие стержня, отклоненного от вертикали на бесконечно малый угол получим

Условие существования нетривиального решения этого уравнения, т. е. условие , приводит к той же точке бифуркации, которая раньше найдена как точка пересечения двух различных решений нелинейного уравнения.

Рис. 1.14.

Рис. 1.15.

Линеаризованные уравнения дают возможность найти точки бифуркации, но при этом остаются совершенно не выясненными ни тип точки бифуркации, ни характер поведения системы при конечных отклонениях от исходного положения равновесия. Действительно, однородные линеаризованные уравнения (1.13) и (1.14) принципиально ничем не отличаются одно от другого, хотя точки бифуркации соответствующих систем относятся к разным типам и при отклонениях от исходного положения равновесия эти системы ведут себя качественно различно. Схематично это показано на рис. 1.14, б. Однородное линеаризованное уравнение получено для бесконечно малых величин , поэтому оно не может дать никакой информации о поведении системы при конечных отклонениях.

Этот способ определения точек бифуркации с помощью линеаризованных уравнений можно использовать при решении других более сложных задач.

Рассмотрим, например, систему, состоящую из двух жестких стержней с двумя упругими шарнирами (рис. 1.15, а). До нагружения оси стержней расположены на одной вертикали и сила Р действует вдоль этой вертикали. Состояние равновесия такой системы, при котором стержни остаются на одной вертикальной прямой, будем считать исходным. С помощью линеаризованных уравнений найдем точки бифуркации этого исходного состояния.

Отклоненное положение системы будем задавать углами , так как система имеет две степени свободы. Внутренние моменты в упругих шарнирах соответственно равны , где — жесткости упругих шарниров. Рассмотрим условия равновесия каждого из стержней. Считая углы бесконечно малыми и учитывая только линейные относительно слагаемые, получим систему линеаризованных уравнений

Эта однородная система линейных уравнений имеет тривиальное решение , соответствующее исходному вертикальному положению равновесия. Для существования решений, отличных от нуля, необходимо, чтобы определитель полученной системы был равен нулю. Таким образом, для того чтобы найти точки бифуркации, необходимо решить уравнение

Раскрыв определитель, получим квадратное относительно Р уравнение

Рис. 1.16.

Положив, например, , найдем корни уравнения . Это и будут те значения нагрузки, при которых возможны смежные с исходным отклоненные состояния равновесия системы.

Линеаризованные уравнения позволяют с точностью до масштаба определять равновесные конфигурации системы в смежных с исходным состояниях. Так, из уравнений (1.15) следует, что при углы и связаны соотношением , а при соотношением . Соответствующие равновесные конфигурации изображены на рис. 1.15, б и в.

Если отклонения упругой системы от исходного положения равновесия могут быть полностью описаны N независимыми параметрами (т. е. если упругая система имеет N степеней свободы), то линеаризация условий равновесия вблизи исходного положения системы приводит к системе N линейных однородных уравнений с N неизвестными. Для существования нетривиальных решений этой системы ее определитель должен быть равен нулю. Указанное условие приводит к уравнению, позволяющему найти точки бифуркации исходного положения равновесия. Если это уравнение не имеет кратных корней, то число точек бифуркации равно числу степеней свободы рассматриваемой системы.

Для системы с распределенными параметрами, которую можно трактовать как систему с бесконечным числом степеней свободы, линеаризация условий равновесия вблизи исходного положения равновесия системы приводит к однородным дифференциальным уравнениям. Их решение дает, вообще говоря, бесконечное число точек бифуркации.

Рассмотрим шарнирно опертый стержень изгибной жесткости , сжатый силой (рис. 1.16, а). До нагружения ось стержня считаем строго прямой, а линию действия силы совпадающей с осью стержня. Тогда возможна прямолинейная форма равновесия стержня, которую примем за исходную. Найдем условия существования форм равновесия стержня с искривленной осью, бесконечно близких к исходной прямолинейной форме равновесия. Поперечные прогибы стержня обозначим и; тогда из условия равновесия части стержня в искривленном состоянии (рис. 1.16, б) можно записать

где М — внутренний изгибающий момент, связанный с поперечным прогибом зависимостью

здесь изогнутой оси стержня.

Учитывая в уравнении (1.18) только линейные относительно поперечного прогиба v слагаемые, приходим к линеаризованному уравнению

Если изгибная жесткость стержня постоянна, то обозначив , получим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

где штрихом обозначено дифференцирование по .

Граничные условия рассматриваемой задачи

(1.21)

Общее решение уравнения (1.20) имеет вид

Из граничных условий (1.21) для произвольных постоянных А и В получим однородную систему уравнений

Условие существования отличных от нуля решений этой системы имеет вид

Откуда следует характеристическое уравнение

Корни этого уравнения дают те значения силы , при которых существуют формы равновесия стержня с искривленной осью

Если , то форма изогнутой оси стержня с точностью, до масштаба описывается функцией (рис. 1.16, в)

Наименьшее значение соответствует

В задачах устойчивости обычно нужно найти точку бифуркации, соответствующую наименьшему значению нагрузки. Как показано ниже, эта точка и соответствующее ей значение нагрузки являются критическими. В рассмотренном примере , а потеря устойчивости происходит по форме, соответствующей .

Таким образом, однородные линеаризованные уравнения дают возможность находить точки бифуркации и с точностью до масштаба определять конфигурации равновесных положений системы в окрестностях точек бифуркаций. Но однородные линеаризованные уравнения не могут дать информации о поведении системы при конечных значениях ее отклонений от исследуемого исходного положения равновесия и о характере точек бифуркации.

Однородные линеаризованные уравнения теории упругой устойчивости — основной рабочий инструмент этой теории — относятся к разделу математики, называемому задачи на собственные значения (см. приложение I). Кроме однородных линеаризованных уравнений, служащих для определения точек бифуркации, в теории упругой устойчивости широко применяют неоднородные линеаризованные уравнения для приближенного описания поведения систем с начальными неправильностями при малых, но конечных значениях отклонений. Такие уравнения достаточно полно характеризуют поведение систем вблизи точек бифуркаций первого типа (см., например, § 18).

Кроме изложенного способа получения линеаризованных уравнений возможен и другой более строгий способ, основанный на линеаризации полных нелинейных уравнений [28].