Глава 3. Устойчивость прямых стержней при продольном сжатии

Задачи устойчивости упругих стержней хорошо изучены и достаточно широко известны.

Цель этой главы показать не специфику задач устойчивости стержней, а то общее, что присуще всем задачам устойчивости тонкостенных упругих систем. Именно с этих позиций следует рассматривать подробный вывод основного линеаризованного уравнения четвертого порядка, детальное описание смены форм потери устойчивости стержня на упругом основании и на упругих опорах, анализ влияния сдвиговых деформаций на критическую нагрузку и приближенное исследование закритического поведения стержней.

§ 13. Основное линеаризованное уравнение и его решение

В предыдущих главах решено несколько частных задач устойчивости прямых стержней. В этом параграфе дан вывод общего линеаризованного уравнения для произвольно нагруженного упругого прямого стержня переменного поперечного сечения, сформулированы граничные условия и приведены примеры точного и приближенного решения этого уравнения.

Представим стержень в системе прямоугольных координат, как показано на рис. 3.1, а, причем примем, что одна из главных центральных осей поперечного сечения стержня лежит в плоскости .

Линеаризованное уравнение изгиба стержня в плоскости получим при следующих допущениях.

1. Ось ненагруженного стержня идеально прямая и все внешние нагрузки и реакции опор до потери устойчивости действуют строго вдоль этой оси.

2. Внешние нагрузки «мертвые», т. е. при деформациях стержня они не изменяются ни по величине, ни по направлению.

3. Изменение геометрических размеров стержня при докритических деформациях считается пренебрежимо малым; в частности, в процессе нагружения длина стержня, площадь и момент инерции его поперечного сечения считаются неизменными.

Рис 3.1.

4. Связь между внутренним изгибающим моментом и поперечным изгибом стержня при потере устойчивости описывается обычной зависимостью линейной теории изгиба балок, основанной на гипотезе плоских сечений.

В силу первого допущения возможна прямолинейная исходная форма равновесия нагруженного стержня. При достаточно малых нагрузках прямолинейная форма равновесия является единственной и устойчивой. Определим условия, при которых возможны формы равновесия стержня с изогнутой осью, смежные с исходной прямолинейной формой.

Условие равновесия элемента неискривленного стержня (рис. 3.1, б) приводит к уравнению

Здесь и далее штрихом обозначено дифференцирование по .

В дальнейшем задачу определения начальных осевых усилий будем считать решенной и закон изменения их по длине стержня известным.

Рассмотрим равновесие элемента стержня в искривленном, отклоненном от исходного состоянии (рис. 3.1, в), причем поперечные прогибы будем считать бесконечно малыми. Порядок малости достаточно гладкой функции сохраняется при дифференцировании, поэтому и т. д. можно считать величинами первого порядка малости . Во всех окончательных зависимостях в соответствии с основной идеей линеаризации (см. § 4) следует удерживать только величины первого порядка малости.

В частности, при составлении уравнений равновесия искривленного элемента следует положить .

Тогда, проектируя на ось все силы, действующие на искривленный элемент, получим

Произведение как величину высшего порядка малости не учитываем и приходим к уравнению

Приравняв нулю сумму проекций всех сил на ось у и сумму всех моментов и исключив величины высших порядков малости, получим еще два уравнения:

В силу четвертого допущения и последнего уравнения внутренний изгибающий момент М и внутренняя поперечная сила Q связаны с прогибом такими же зависимостями, как и при обычном поперечном изгибе , где — изгибная жесткость стержня в плоскости .

Слагаемое следует исключить из уравнения (3.2) как содержащее произведение двух величин первого порядка малости. Тогда это уравнение не будет отличаться от уравнения равновесия неискривленного элемента стержня (3.1). Следовательно, при бесконечно малых поперечных прогибах начальное осевое усилие остается неизменным с точностью до величин второго порядка малости.

Учитывая сказанное, в первом уравнении (3.3) можно положить . Поскольку , окончательно получим

Это линейное однородное уравнение четвертого порядка является основным уравнением теории устойчивости прямых упругих стержней. Оно применимо при любых законах изменения жесткости , при любых нагрузках и условиях закрепления, охватываемых сформулированными выше допущениями.

Для однопролетного стержня в соответствии с порядком уравнения (3.4) должны быть сформулированы четыре граничных условия (по два на каждом из торцов). В силу первого допущения эти условия будут однородными. Если все внешние нагрузки считать изменяющимися пропорционально одному параметру , то уравнение (3.4) можно переписать в таком виде:

где — закон изменения начальных внутренних усилий в неискривленном стержне при .

Таким образом, определение условий существования изгибных форм равновесия первоначально прямолинейного стержня свелось к решению задач на собственные значения. Для того чтобы найти условия существования изгибных форм равновесия, смежных с исходной прямолинейной формой, необходимо найти значения параметра нагрузки , при которых однородное уравнение (3.4) при однородных граничных условиях имеет (см. приложение I).

Рассмотрим граничные условия в задачах устойчивости прямых стержней. Геометрические граничные условия в задачах устойчивости формулируются так же, как и в задачах поперечного изгибе балок: на торце стержня могут быть запрещены поперечное перемещение , поворот касательной v или и то и другое одновременно.

Силовые граничные условия для ненагруженного торца аналогичны силовым граничным условиям задач поперечного изгиба. Если поперечные перемещения на торце не стеснены, то поперечная сила равна нулю, т. е. . Когда углы поворота не стеснены, изгибающий момент равен нулю, т. е. . На свободном торце и поперечная сила, и изгибающий момент обращаются в нуль.

Принципиальное отличие силовых граничных условий задач устойчивости от силовых граничных условий линейных задач поперечного изгиба выявляется тогда, когда на торец стержня передаются сосредоточенные внешние усилия. Оно обусловлено тем, что в задачах устойчивости рассматриваются условия равновесия в отклоненном, искривленном положении системы. Поэтому, если, например, к незакрепленному торцу стержня приложена мертвая осевая сила Р, то условие равновесия примыкающего к торцу элемента (рис. 3.2), составленное для его отклоненного положения (в проекции на ось у), приводит к . В данном случае, когда , получим граничное условие при .

Рис. 3.2.

При формулировке силовых граничных условий особого внимания заслуживают те случаи, когда мертвые внешние нагрузки передаются на стержень с помощью промежуточных деталей, изменяющих при изгибе стержня воспринимаемое им силовое воздействие.

Несколько примеров такого нагружения стержней приведены на рис. 3.3, где для каждого случая указаны граничные условия. Так, например, на правый торец стержня изображенного на рис. 3.3, а, передается изгибающий момент, пропорциональный длине жесткого рычага и углу поворота касательной к оси стержня над правой опорой. Отсюда следует граничное условие при . При изгибе консольного стержня, нагружаемого через жесткий шатун (рис. 3.3, б), на правый его торец кроме продольной силы Р передается поперечная сила, пропорциональная углу наклона жесткого рычага . Граничное условие при

. Аналогично поперечная сила (противоположного знака) возникает при изгибе показанного на рис. 3.3, в стержня, нагружаемого с помощью гибкой нити.

Рис. 3.3.

Уравнение (3.4) удается точно проинтегрировать только в некоторых случаях. Например, если стержень постоянной жесткости ) сжат одной продольной силой , то и уравнение (3.4) принимает вид

Это уравнение с постоянными коэффициентами допускает точное решение при любых граничных условиях. Перепишем уравнение (3.5) в виде

Решением уравнения (3.6) будет

где — произвольные постоянные.

Как отмечалось, для однопролетного стержня должны быть заданы четыре граничных условия. Подставив в них общее решение (3.7), получим систему четырех однородных линейных уравнений относительно четырех неизвестных . Из условия равенства нулю определителя этой системы можно найти собственные значения задачи и соответствующие им собственные функции. Наименьшее из собственных значений дает критическое значение нагрузки, а соответствующая ему собственная функция описывает форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости.

Изложенную схему решения используем, например, для определения критической силы и формы изогнутой оси при потере устойчивости стержня, изображенного на рис. 3.4.

Рис. 3.4.

Выпишем четыре однородных граничных условия задачи . Подчиняя решение (3.7) этим граничным условиям, приходим к системе линейных однородных уравнений

Характеристическое уравнение, дающее собственные значения задачи, можно найти, приравняв нулю определитель полученной системы. При аналитическом решении значительно удобнее не раскрывать определители высокого порядка, а, последовательно исключая неизвестные из исходной системы уравнений, выразить постоянные через какую-нибудь одну из них, заведомо не равную нулю. В рассматриваемом примере согласно первым двум уравнениям системы . Из третьего уравнения следует, что . Подставив это значение в последнее уравнение, получим

Необходимое условие существования решения, отличного от тривиального (равенство нулю выражения стоящего в скобках), приводит к характеристическому уравнению .

Решив это трансцендентное уравнение, найдем собственные значения задачи .

Так как в рассматриваемой задаче , то собственные функции выражаются следующими зависимостями, полученными из общего решения (3.7) при подстановке соответствующих собственных значений :

Наименьшее (первое) собственное значение дает критическое значение сжимающей силы

Собственная функция, соответствующая первому собственному значению, с точностью до масштаба описывает форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости:

Для рассматриваемой конкретной задачи, как и вообще для задач устойчивости, непосредственный практический интерес представляет только первое собственное значение, дающее значение критической силы, и первая собственная функция, описывающая форму потери устойчивости. Остальные собственные функции могут быть полезны для построения приближенных решений более сложных задач с теми же граничными условиями.

Аналогично может быть решена и любая другая задача устойчивости равномерно сжатого стержня с постоянной изгибнои жесткостью. Причем окончательное выражение критической силы обычно записывается в одном из двух вариантов:

или

где — коэффициент приведенной длины, показывающий, во сколько раз следует увеличить длину шарнирно-опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной при рассматриваемых граничных условиях.

Коэффициент С показывает, во сколько раз критическая сила рассматриваемого стержня отличается от критической силы шарнирно-опертого стержня той же длины . Значения этих коэффициентов приведены на рис. 3.5.

Рис. 3.5.

Кроме приведенных простейших примеров имеется большое количество других более сложных задач, допускающих точное аналитическое решение [21]. Однако в общем случае при произвольных законах изменения уравнение (3.4) не удается аналитически проинтегрировать. Тогда для определения критических нагрузок и форм изогнутой оси стержня при потере устойчивости прибегают к приближенным методам. Одним из наиболее эффективных машинных методов определения критических нагрузок в задачах устойчивости прямых стержней является метод начальных параметров.

Прежде чем перейти к изложению примеров использования этого метода, необходимо подчеркнуть, что не всегда целесообразно применять полное уравнение четвертого порядка (3.4). В ряде случаев удается предварительно понизить порядок этого уравнения и существенно упростить решение (и аналитическое и особенно численное). Остановимся сейчас на двух основных случаях понижения порядка уравнения (3.4).

Для шарнирно-опертого стержня (рис. 3.6, а), сжатого осевой силой , начальное внутреннее усилие . В этом случае, дважды проинтегрировав уравнение (3.4), получим

при граничных условиях:

Положив в этом уравнении , с учетом двух первых граничных условий, найдем .

Рис. 3.6.

При из двух оставшихся граничных условий получим и придем к уравнению второго порядка

Это уравнение обычно выводится из условия равновесия части стержня в отклоненном положении (см. § 4). Оно приведено в предыдущих главах. Нетрудно убедиться, что уравнение (3.9) справедливо при решении задач устойчивости стержней, изображенных на рис. . Они эквивалентны задаче устойчивости шарнирно-опертого стержня с изгибной жесткостью , симметрично изменяющейся относительно среднего сечения. Примеры решения задач устойчивости стержней с помощью этого уравнения приведены выше.

Иногда для понижения порядка основного уравнения в качестве искомой неизвестной целесообразно рассматривать не поперечный прогиб, а угол поворота . Тогда заменив в уравнении (3.4) на и проинтегрировав один раз, получим Если на одном из торцов стержня (например, при поперечные смещения не стеснены, то одним из граничных условий будет . Следовательно, в этом случае и можно записать

Для некоторых практически важных случаев это уравнение второго порядка допускает точное решение. Так, например, для стержия постоянного поперечного сечения, находящегося под действием собственного веса, учитывая, что в этом случае (рис. 3.7) и используя подстановку

уравнение (3.10) можно привести к каноническому виду уравнения Бесселя

Решение этого уравнения хорошо изучено; оно сводится к табулированным функциям Бесселя. В частности, подчиняя решение уравнения Бесселя очевидным граничным условиям при при , можно найти, что

Уравнение (3.10) интегрируется и еще для некоторых конкретных законов изменения .

Наметим путь решения уравнения (3.10) методом начальных параметров. Введем двумерный вектор состояния, характеризующий вызванные изгибом перемещения и внутренние усилия в произвольном сечении стержня:

где — угол поворота и внутренний изгибающий момент в текущем сечении стержня.

Как следует из приведенного выше вывода уравнения (3.4),

Уравнение (3.10) запишем в виде [напомним, что закон изменения внутреннего осевого усилия считается известным] . Два последних уравнения объединим в одно матричное уравнение

где

При заданных граничных условиях нетрудно найти критическую нагрузку и форму изогнутой оси стержня при любых законах изменения , решив численно уравнение (3.11).

Общую схему решения покажем на примере определения запаса устойчивости вертикально стоящей колонны переменного сечения, находящейся под действием собственного веса и несущей сосредоточенный груз Q. Законы изменения изгибной жесткости колонны и погонной нагрузки заданы (рис. 3.8).

Рис. 3.7.

Рис. 3.8.

Сначала найдем распределение внутренних осевых усилий по высоте колонны. Рассмотрим равновесие части колонны, находящейся выше сечения тогда получим

При численно заданных значениях интегрирование также производится численно. Умножим все действующие на колонну нагрузки на параметр Р и рассмотрим внутреннее осевое усилие . Цель дальнейшего расчета — найти , ибо значение равно запасу устойчивости колонны.

Прежде чем приступать к численному интегрированию уравнения (3.11), ожидаемый результат можно оценить каким-нибудь приближенным методом. Такая оценка, во-первых, облегчает численный поиск , во-вторых, до известной степени предотвращает грубую ошибку.

Для этой цели воспользуемся методом Галеркина (см. § 12).

Уравнение (3.10) запишем в следующем виде:

Граничные условия задачи . Для оценки в первом приближении, удовлетворив оба граничных условия, возьмем

Согласно методу Галеркина находим

При численно заданных интегрирование здесь тоже производится численно. Стоящий в числителе интеграл следует преобразовать так, чтобы избавиться от необходимости дифференцировать численно заданную функцию . Для этого проинтегрируем стоящее в числителе выражение по частям. Учитывая граничные условия, которым подчинена функция (), получим

Тогда в первом приближении приходим к выражению

Для оценки точности приближенного решения задачи, полученного методом Галеркина, сравним его результаты с известными точными решениями. Так, при и точное решение задачи известно: .

Для этого частного случая из выражения (3.13) имеем

Подставим в эту формулу выбранную функцию . Тогда .

Точное решение задачи известно и при . В этом случае и из выражения (3.13) имеем

Подставив выбранную функцию и выполнив необходимые операции дифференцирования и интегрирования, находим

В рассмотренных частных случаях точность приближенного решения задачи, полученного методом Галеркина, вполне удовлетворительна. Использовав для решения выражение (3.12), получим те же результаты.

В качестве примера для численного счета возьмем колонну со следующими параметрами:

При этих параметрах приближенное решение методом Галеркина дает .

Численное интегрирование уравнения (3.11) приводит к значению Причем с учетом и того, что решение однородного уравнения (3.11) должно быть получено только с точностью до масштаба, численное интегрирование начинаем со значения и подбором параметра добиваемся выполнения граничного условия на другом конце колонны .

Одновременно можно получить форму изогнутой оси колонны при потере устойчивости .

Для произвольно закрепленного и произвольно нагруженного стержня вектор состояния, характеризующий перемещения и внутренние усилия в произвольном сечении, можно принять в следующем виде:

Дифференциальные зависимости между компонентами этого четырехмерного вектора следуют из вывода уравнения (3.4):

Приведенные зависимости объединяются в одно матричное уравнение

где

Принципиальная схема определения критических нагрузок с помощью метода начальных параметров остается такой же, как и в изложенном выше примере.

Для определения критических нагрузок однопролетного стержня могут быть использованы и другие приближенные методы [19, 31, 36, 37].