Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 33. Определение внешнего критического давленияНачнем с простейшей задачи устойчивости длинной цилиндри» ческой оболочки (трубы), нагруженной равномерным внешним гидростатическим давлением (рис. 6.15). Длину оболочки будем считать настолько большой, что характер закрепления ее торцов не влияет на поведение оболочки при потере устойчивости. (Ниже дана оценка длины оболочки, при которой можно пренебречь влиянием закреплений ее торцов на критическое давление). Такая длинная оболочка может деформироваться без удлинений и сдвигов срединной поверхности; в частности, каждое сечение оболочки может деформироваться одинаково, как нерастяжимое кольцо. Поэтому для определения критического внешнего давления и формы потери устойчивости такой оболочки можно воспользоваться решением задачи устойчивости кругового кольца под, действием равномерной гидростатической нагрузки. Для кольца собственные значения интенсивности равномерной гидростатической нагрузки определяем по формуле
Причем, собственные функции, соответствующие этим собственным значениям нагрузки, равны:
где Мысленно выделив из оболочки кольцо единичной ширины (рис. 6.15, а) и положив для такого кольца
где Из формулы (6.48) при
где h — толщина оболочки. Поскольку окружное сжимающее напряжение в оболочке, нагруженной равномерным внешним давлением, равно
Форма потери устойчивости оболочки описывается функциями (с точностью до общего множителя) В данном случае, когда цилиндрическая оболочка теряет устойчивость без удлинений и сдвигов срединной поверхности, критическая нагрузка зависит только от изгибной жесткости оболочки, и структура формулы (6.50) для критического окружного напряжения не отличается от структуры формулы для критического напряжения равномерно сжатой в одном направлении прямоугольной пластины со свободными краями. Полученный результат можно использовать и для цилиндрической оболочки со свободными торцами: она тоже может потерять устойчивость без удлинений и сдвигов срединной повёрхности. Выясним, как закрепление торцов цилиндрической оболочки влияет на величину критического давления. Для этого воспользуемся сначала упрощенным вариантом теории цилиндрической оболочки, сводящимся к системе уравнений (6.39). Будем считать, что в докритическом состоянии
Рис. 6.15. Тогда фиктивная поперечная нагрузка, определяемая
и система уравнений (6.39) принимает вид
Напомним, что Для оболочки конечной длины система уравнений (6.51) допускает элементарное аналитическое решение только при одной единственной комбинации граничных условий — при
Как нетрудно проверить, для замкнутой оболочки эти граничные условия выполняются, если при
Заметим, что выписанные граничные условия своеобразны: это не условия свободного опирания края оболочки, поскольку Решение системы уравнений (6.51) при этих граничных условиях можно разыскивать в виде
Подставив функции (6.53) в систему уравнений (6.51) и сократив общий для всех слагаемых множитель
Приравнивая нулю определитель полученной системы уравнений, находим собственные значения задачи
где Обратим внимание на структуру полученного выражения: величина Очевидно, что при определении
При определении критического значения
Штриховой линией показана зависимость для Результаты таких расчетов представлены на рис. 6.17, б, на котором по оси абсцисс отложена безразмерная длина оболочки
Рис. 6.16.
Рис. 6.17. Упрощенная система уравнений (6.51) получена при условии
Решение этой системы при граничных условиях (6.52) можно найти в виде
Подстановка этих функций для Приняв
где
В отличие от (6.55) при Из несложного анализа выражения (6.59) следует, что при Полученные зависимости для Для оболочек средней длины при
Минимизируя полученное выражение по
Последнюю формулу обычно называют формулой П. Ф. Папковича. Используя (6.56), для оболочек средней длины можно записать, что безразмерное критическое давление
Нетрудно проверить, что формула (6.62), являющаяся преобразованной формулой П. Ф. Папковича, с большой точностью описывает все кривые, представленные на рис. 6.17, б. Для коротких оболочек (находящихся в безмоментном начальном состоянии) при
Значение
В этом предельном случае критическая нагрузка зависит только от изгибной жесткости оболочки D и не зависит от ее жесткости на растяжение-сжатие Формула (6.63) подобна формуле для критической нагрузки шарнирно-опертой прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении. Следовательно, короткая цилиндрическая оболочка с опертыми торцами, находящаяся в безмоментном начальном состоянии Влияние осевого усилия на критическое внешнее давление. Во всех рассмотренных решениях Рассмотрим случай, когда в цилиндрической оболочке наряду с окружным начальным сжимающим усилием
Рис. 6.18. Тогда при использовании упрощенных уравнений теории цилиндрической оболочки вместо
При граничных условиях (6.52) все дальнейшее решение полностью повторяется, но вместо окончательной зависимости (6.55) получим (при
Откуда следует, что для оболочек средней длины при абсолютной величине v порядка единицы осевое начальное усилие незначительно влияет на критическое внешнее давление. В частности, оболочки средней длины, находящиеся под действием всестороннего внешнего давления, можно рассчитывать на устойчивость но формуле П. Ф. Папковича. Для коротких оболочек влияние осевого усилия на критическое внешнее давление можно учесть с помощью зависимости (6.64), подбирая при фиксированном v число волн в окружном направлении Влияние осевого начального усилия оказывается существенным только для коротких оболочек, рассчитываемых на устойчивость как пластины по формулам типа (6.63) без учета влияния кривизны оболочки (рис. 6.18, б).
Рис. 6.19. В этом случае расчет сводится к расчету удлиненной прямоугольной пластины, равномерно нагруженной в двух направлениях. Расчет на устойчивость цилиндрической оболочки при сжимающих осевых усилиях, существенно превосходящих по абсолютной величине окружные сжимающие усилия, рассмотрен в следующем параграфе. В заключение напомним, что основное решение, изложенное в этом параграфе, получено для одной единственной комбинации граничных условий (6.52), а начальное напряженное состояние оболочки считалось безмоментным. Долгое время это решение, опубликованное Мизесом в 1914 г., было единственным точным решением для цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением. Сравнительно недавно с помощью ЭЦВМ ряду авторов удалось получить практически точные решения, свободные от указанных ограничений. Результаты решения, полученного методом конечных разностей для различных вариантов граничных условий с учетом и без учета моментности докритического состояния оболочки [23], приведены соответственно на рис. 6.19, а и б. Здесь использованы следующие обозначения:
где Приведенные кривые соответствуют следующим вариантам граничных условий на обоих торцах оболочки:
Как видно из приведенных кривых, формулой П. Ф. Папковича можно пользоваться для граничных условий
|
1 |
Оглавление
|