§ 33. Определение внешнего критического давления

Начнем с простейшей задачи устойчивости длинной цилиндри» ческой оболочки (трубы), нагруженной равномерным внешним гидростатическим давлением (рис. 6.15). Длину оболочки будем считать настолько большой, что характер закрепления ее торцов не влияет на поведение оболочки при потере устойчивости. (Ниже дана оценка длины оболочки, при которой можно пренебречь влиянием закреплений ее торцов на критическое давление). Такая длинная оболочка может деформироваться без удлинений и сдвигов срединной поверхности; в частности, каждое сечение оболочки может деформироваться одинаково, как нерастяжимое кольцо. Поэтому для определения критического внешнего давления и формы потери устойчивости такой оболочки можно воспользоваться решением задачи устойчивости кругового кольца под, действием равномерной гидростатической нагрузки.

Для кольца собственные значения интенсивности равномерной гидростатической нагрузки определяем по формуле

Причем, собственные функции, соответствующие этим собственным значениям нагрузки, равны:

где — число волн, по которым кольцо изгибается в своей плоскости.

Мысленно выделив из оболочки кольцо единичной ширины (рис. 6.15, а) и положив для такого кольца , где D — изгибная жесткость оболочки, вместо (6.46) можно записать

где — собственные значения внешнего давления, при которых у оболочки существуют изгибные формы равновесия, смежные с исходной круговой формой равновесия. Функции (6.47) будут собственными функциями, соответствующими этим собственным значениям .

Из формулы (6.48) при получим значение критического внешнего давления для рассматриваемой оболочки

где h — толщина оболочки.

Поскольку окружное сжимающее напряжение в оболочке, нагруженной равномерным внешним давлением, равно , критическое окружное сжимающее напряжение

Форма потери устойчивости оболочки описывается функциями (с точностью до общего множителя) . При потере устойчивости поперечное сечение оболочки принимает эллиптическую форму (рис. 6.15, б).

В данном случае, когда цилиндрическая оболочка теряет устойчивость без удлинений и сдвигов срединной поверхности, критическая нагрузка зависит только от изгибной жесткости оболочки, и структура формулы (6.50) для критического окружного напряжения не отличается от структуры формулы для критического напряжения равномерно сжатой в одном направлении прямоугольной пластины со свободными краями. Полученный результат можно использовать и для цилиндрической оболочки со свободными торцами: она тоже может потерять устойчивость без удлинений и сдвигов срединной повёрхности.

Выясним, как закрепление торцов цилиндрической оболочки влияет на величину критического давления. Для этого воспользуемся сначала упрощенным вариантом теории цилиндрической оболочки, сводящимся к системе уравнений (6.39). Будем считать, что в докритическом состоянии .

Рис. 6.15.

Тогда фиктивная поперечная нагрузка, определяемая стью (6.37), равна

и система уравнений (6.39) принимает вид

Напомним, что — функция усилий, определяемая соотношениями (6.33).

Для оболочки конечной длины система уравнений (6.51) допускает элементарное аналитическое решение только при одной единственной комбинации граничных условий — при :

Как нетрудно проверить, для замкнутой оболочки эти граничные условия выполняются, если при

(6.52а)

Заметим, что выписанные граничные условия своеобразны: это не условия свободного опирания края оболочки, поскольку , следовательно, , и не условия шарнирного закрепления, так как и .

Решение системы уравнений (6.51) при этих граничных условиях можно разыскивать в виде

Подставив функции (6.53) в систему уравнений (6.51) и сократив общий для всех слагаемых множитель , получим однородную систему линейных уравнений

Приравнивая нулю определитель полученной системы уравнений, находим собственные значения задачи

где и — число полуволн в окружном и продольном направлениях, по которым изгибается срединная поверхность оболочки (рис. 6.16).

Обратим внимание на структуру полученного выражения: величина зависит от изгибной жесткости оболочки D и жесткости оболочки на растяжение-сжатие , ибо закрепленная по обоим торцам цилиндрическая оболочка не может деформироваться без удлинений и сдвигов срединной поверхности.

Очевидно, что при определении как наименьшего собственного значения следует принять . Тогда из (6.54) получим

При определении критического значения для конкретной оболочки необходимо в зависимости выражаемой формулой (6.55), подобрать число волн в окружном направлении , дающее минимальное значение . На рис. 6.17, a дана типичная зависимость безразмерного давления от числа волн , где

Штриховой линией показана зависимость для , построенная в предположении непрерывного изменения числа волн .

Результаты таких расчетов представлены на рис. 6.17, б, на котором по оси абсцисс отложена безразмерная длина оболочки , по оси ординат — безразмерное критическое давление , показывающее, во сколько раз критическое давление для оболочки с закрепленными торцами превышает критическое давление для бесконечно длинной оболочки (оболочки со свободными торцами).

Рис. 6.16.

Рис. 6.17.

Упрощенная система уравнений (6.51) получена при условии . В данном случае, когда поперечный прогиб определяется выражением (6.53), оно сводится к условию Следовательно, зависимость (6.55) справедлива только при . В частности, поэтому при зависимость (6.55) не сходится к формуле (6.48) для бесконечно длинной оболочки. Если не вводить таких упрощающих предположений, то задача устойчивости цилиндрической оболочки сводится к системе трех уравнений (6.38), которая в рассматриваемом, случае при имеет вид

Решение этой системы при граничных условиях (6.52) можно найти в виде

Подстановка этих функций для в систему уравнений (6.57) приводит к системе трех однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов А, В и С. Из условия равенства нулю определителя этой системы можно найти собственные значения давления .

Приняв и отбросив некоторые второстепенные слагаемые, получим

где

В отличие от (6.55) при зависимость (6.59) сводится к формуле (6.48). Приняв из (6.59) можно получить (6.55). Для определения критического давления в (6.59) следует подобрать значение , соответствующее минимуму .

Из несложного анализа выражения (6.59) следует, что при рассмотренное закрепление торцов оболочки практически не влияет на , и оболочку как бесконечно длинную можно рассчитывать на устойчивость по формуле (6.48).

Полученные зависимости для малоудобны для практического использования. Определение критического давления связано с проведением дополнительных расчетов по подбору . Зависимости (6.55) и (6.59) особенно неудобны для проектировочных расчетов, когда при заданном значении внешнего давления и известных габаритных размерах оболочки R и I из условия ее устойчивости нужно подобрать толщину оболочки h или при известных радиусе оболочки R и толщине обшивки h необходимо найти расстояние между шпангоутами.

Для оболочек средней длины при эти расчетные зависимости можно существенно упростить. В указанном диапазоне можно принять и (6.59) получим

Минимизируя полученное выражение по из условия находим (при )

Последнюю формулу обычно называют формулой П. Ф. Папковича.

Используя (6.56), для оболочек средней длины можно записать, что безразмерное критическое давление

Нетрудно проверить, что формула (6.62), являющаяся преобразованной формулой П. Ф. Папковича, с большой точностью описывает все кривые, представленные на рис. 6.17, б.

Для коротких оболочек (находящихся в безмоментном начальном состоянии) при общие зависимости тоже можно значительно упростить. Как показывают расчеты, в этом случае оболочка теряет устойчивость с образованием такого большого числа волн в окружном направлении, что вторым слагаемым в зависимости (6.55) можно пренебречь. Тогда для сжимающего окружного усилия получим формулу

Значение будет минимальным при . Критическое значение окружного сжимающего усилия

В этом предельном случае критическая нагрузка зависит только от изгибной жесткости оболочки D и не зависит от ее жесткости на растяжение-сжатие .

Формула (6.63) подобна формуле для критической нагрузки шарнирно-опертой прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении. Следовательно, короткая цилиндрическая оболочка с опертыми торцами, находящаяся в безмоментном начальном состоянии , теряет устойчивость так же, как и сжатая в продольном направлении удлиненная шарнирно-опертая прямоугольная пластина, ширина которой равна длине оболочки I, причем число полуволн, очевидно, равно .

Влияние осевого усилия на критическое внешнее давление. Во всех рассмотренных решениях , но в большинстве реальных случаев нагружение цилиндрической оболочки внешним давлением сопровождается возникновением в ней осевых усилий. Так, например, при всестороннем внешнем давлении .

Рассмотрим случай, когда в цилиндрической оболочке наряду с окружным начальным сжимающим усилием имеется осевое начальное сжимающее или растягивающее усилие , где v — некоторый фиксированный коэффициент ( всестороннем давлении ).

Рис. 6.18.

Тогда при использовании упрощенных уравнений теории цилиндрической оболочки вместо необходимо принять

При граничных условиях (6.52) все дальнейшее решение полностью повторяется, но вместо окончательной зависимости (6.55) получим (при

Откуда следует, что для оболочек средней длины при абсолютной величине v порядка единицы осевое начальное усилие незначительно влияет на критическое внешнее давление. В частности, оболочки средней длины, находящиеся под действием всестороннего внешнего давления, можно рассчитывать на устойчивость но формуле П. Ф. Папковича. Для коротких оболочек влияние осевого усилия на критическое внешнее давление можно учесть с помощью зависимости (6.64), подбирая при фиксированном v число волн в окружном направлении из условия минимума , причем при абсолютной величине v порядка единицы это влияние не велико.

Влияние осевого начального усилия оказывается существенным только для коротких оболочек, рассчитываемых на устойчивость как пластины по формулам типа (6.63) без учета влияния кривизны оболочки (рис. 6.18, б).

Рис. 6.19.

В этом случае расчет сводится к расчету удлиненной прямоугольной пластины, равномерно нагруженной в двух направлениях.

Расчет на устойчивость цилиндрической оболочки при сжимающих осевых усилиях, существенно превосходящих по абсолютной величине окружные сжимающие усилия, рассмотрен в следующем параграфе.

В заключение напомним, что основное решение, изложенное в этом параграфе, получено для одной единственной комбинации граничных условий (6.52), а начальное напряженное состояние оболочки считалось безмоментным. Долгое время это решение, опубликованное Мизесом в 1914 г., было единственным точным решением для цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением. Сравнительно недавно с помощью ЭЦВМ ряду авторов удалось получить практически точные решения, свободные от указанных ограничений.

Результаты решения, полученного методом конечных разностей для различных вариантов граничных условий с учетом и без учета моментности докритического состояния оболочки [23], приведены соответственно на рис. 6.19, а и б. Здесь использованы следующие обозначения:

где определяется по формуле П. Ф. Папковича.

Приведенные кривые соответствуют следующим вариантам граничных условий на обоих торцах оболочки:

Как видно из приведенных кривых, формулой П. Ф. Папковича можно пользоваться для граничных условий в достаточно широком диапазоне изменения геометрического параметра Z. Упрощенное аналитическое решение, позволяющее учесть влияние граничных условий на , приведено в § 37 [41.