§ 28. Примеры использования энергетического критерия устойчивости

Сначала рассмотрим классическую задачу устойчивости шарнирно-опертой по всем сторонам прямоугольной пластины (при ), равномерно сжатой в двух направлениях. Точное решение этой задачи известно (см. § 21). При потере устойчивости поперечные перемещения пластины (с точностью до постоянного множителя) описываются функцией

Критическое значение нагрузки q равно (при )

где причем .

Подсчитаем изменение полной потенциальной энергии при отклонениях пластины от начального состояния равновесия с помощью выражения (5.4):

где

При использовании критерия устойчивости в форме Брайана необходимо предварительно найти начальные усилия , действующие в срединной плоскости пластины. В данном случае решение задачи очевидно: . Задавшись функцией поперечного прогиба

находим (при )

Окончательно получаем

С учетом условия находим точное значение критической нагрузки, поскольку в качестве функции взято точное решение задачи .

Для сравнения решим эту задачу с помощью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко. В этом случае определяется из выражения (5.26), которое в рассматриваемой задаче при принимает вид

Учитывая симметрии задачи, начало координат удобнее поместить в центре пластины (рис. 5.4, с). При этом функция поперечного прогиба (5.55) запишется так:

Рис. 5.4.

При использовании критерия в форме С. П. Тимошенко необходимо решить вспомогательную задачу по определению перемещений Для этого сначала найдем функцию усилий связанную с поперечным прогибом уравнением (5.27):

В данном случае, когда функция взята в виде (5.57), это уравнение имеет вид

Из граничных условий (5.29) следуют граничные условия для функции в рассматриваемой задаче:

Уравнение (5.58) с граничными условиями (5.59) описывает поперечный изгиб защемленной по контуру прямоугольной пластины. Точное решение этого уравнения получить не удается и поэтому проинтегрируем его приближенно по методу Галеркина. Учитывая граничные условия функцию зададим так:

(5.60)

Умножив согласно методу Галеркина уравнение (5.58) на выбранную функцию и проинтегрировав по всей площади пластины, найдем (при )

Для определения перемещений имеем зависимости (см. § 25)

В силу симметрии задачи центр пластины, совмещенный с началом координат, можно считать неподвижным; тогда

В выражение (5.56) входят перемещения на контуре пластины. Учитывая симметрию задачи, эти перемещения достаточно определить только при .

При получим

На рис. 5.4, б схематично изображены перемещения контура пластины. Следует отметить, что в углах пластины они не равны нулю.

Теперь выражение (5.56) можно записать так:

Заметим, что интегралы удвоены в силу симметрии рассматриваемой задачи. Условие снова приводит к точному выражению для .

Если в рассматриваемой задаче критерий устойчивости сформулируем через статически возможные начальные усилия и функцию оставим в виде (5.55), то опять придем к точному значению критической нагрузки, поскольку выбранная функция является точным решением задачи.

Когда начальные усилия определяются элементарно, использование энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко связано с более громоздкими выкладками, чем критерия в форме Брайана. Но определив 1 раз перемещения , можно легко получить приближенное решение серии других задач устойчивости пластины, допускающих ту же аппроксимацию функции поперечного прогиба . Найдем, например, критическое значение нагрузки для пластины, изображенной на рис. 5.4, в. Будем считать, что контурная нагрузка изменяется по степенному закону (задача симметрична и рассмотрим только значения ) при :

Тогда из выражения (5.64) получим

Критическое значение нагрузки подсчитаем по формуле (при )

Окончательный результат представим в виде безразмерной суммарной критической силы

Безразмерный параметр показывает, во сколько раз суммарная критическая сила при превосходит суммарную критическую силу при . Несложные выкладки приводят к следующим результатам:

Эти результаты (за исключением при являются приближенными, поскольку функции аппроксимировали одночленами. Если эти функции задавать в виде рядов, то решение можно получить практически с любой степенью точности, как это показано в § 25 для круглой пластины.

Заметим, что решение с использованием записи энергетического критерия устойчивости через статически возможные начальные усилия приводит к тем же значениям критических нагрузок (при тех же аппроксимирующих функциях).

В качестве следующего примера рассмотрим осесимметричную задачу устойчивости круглой пластины (рис. 4.13, а). Описывая переход пластины в смежное с исходным состояние перемещениями , используя формулы

и

получим

где — радиальное перемещение на контуре пластины; V — энергия изгиба пластины, подсчитываемая по формуле

Величины связаны с и зависимостями закона Гука:

Из условия самоуравновешенности

вытекает уравнение, позволяющее выразить перемещение через функцию :

Интегрируя это уравнение, находим

где и — постоянные, определяемые из граничных условий задачи. Так, для сплошной пластины перемещение в центре должно быть ограниченным, поэтому . В рассматриваемой задаче на контуре пластины задана внешняя нагрузка, поэтому вторым граничным условием будет при или

Если контур пластины защемлен (при заданы граничные условия , то функцию поперечного прогиба можно задать в виде ряда

Учитывая одно первое слагаемое и граничное условие (5.71), из выражения (5.70) находим (при

В частности, при имеем . Используя выражение из условия в первом приближении находим критическое значение нагрузки

где точное значение (см. § 24).

Учитывая большее число слагаемых, в выражении (5.72) можно получить решение практически с любой степенью точности. Причем значения коэффициента К при различном числе членов ряда совпадают с его значениями, найденными ранее другим способом.

Если сплошная круглая пластина теряет устойчивость в результате осесимметричного нагрева, то выражение (5.54) принимает вид

где величина V подсчитывается по формуле (5.68); — температурный коэффициент линейного расширения материала пластины; — температура пластины, отсчитываемая от той начальной температуры, при которой внутренние усилия в пластине равны нулю.

При осесимметричной форме потери устойчивости перемещение выражается через функцию зависимостью (5.70), но функция должна быть подчинена не граничному условию (5.71), а граничному условию при . Учитывая формулы (5.69) и (5.66), находим

Выражение (5.74) перепишем в следующем виде:

Учитывая одно первое слагаемое в выражении (5.72), находим (при )

При из условия получим

где точное значение (см. § 22).

Увеличивая число слагаемых в выражении найти значение К с любой степенью точности. Но важно подчеркнуть, что зависимость (5.75) позволяет приближенно решать задачу устойчивости не только при , но и при любом другом осесимметричном законе распределения температуры . При использовании зависимости (5.75) не требуется предварительно решать термоупругую задачу.