§ 18. Влияние начальных неправильностей на поведение сжатых стержней

Рассмотренные задачи устойчивости стержней базировались на допущениях, что ось стержня до нагружения — идеально прямая и все внешние силы и реакции опор действуют строго вдоль оси. Именно в силу этих допущений при любом уровне нагрузок была возможна прямолинейная форма равновесия стержня с тождественно равным нулю поперечным прогибом. И именно эти допущения приводят к существованию критической нагрузки, т. е. такой нагрузки, при превышении которой исходная прямолинейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой. Но ось реального стержня не является идеально прямой и до нагружения имеются не равные нулю начальные поперечные прогибы. Рассмотрим стержень с не равными нулю начальными прогибами и выясним, как эти начальные прогибы влияют на поведение стержня при продольном нагружении.

Критическая точка бифуркации исходной формы равновесия идеально прямого стержня является точкой бифуркации первого типа (см. § 3) и изгибная форма равновесия в окрестности критической точки бифуркации устойчива. В тех случаях, когда идеально правильная система имеет критическую точку бифуркации первого типа, влияние начальных неправильностей можно оценить с помощью линеаризованных неоднородных уравнений.

Общую схему решения покажем на простом примере. Рассмотрим шарнирно-опертый стержень, сжатый силой (рис. 3.29). До нагружения начальный прогиб стержня равен дополнительный прогиб, появляющийся в результате продольного нагружения, обозначим . Тогда полный прогиб равен .

Примем, что полные прогибы являются величинами малыми по сравнению с длиной стержня, а осевое усилие не зависит от поперечных прогибов стержня. Приравнивая момент от внешней силы внутреннему изгибающему моменту (см. § 4) и удерживая только первые степени поперечных прогибов, запишем

В первое слагаемое входит дополнительный прогиб v, поскольку возникновение внутреннего изгибающего момента связано с дополнительным изгибом стержня. Во второе слагаемое входит полный прогиб: плечо внешней силы определяется полным прогибом .

Считая начальный прогиб известным, уравнение (3.66) запишем в таком виде:

Граничные условия задачи: .

Решение уравнения (3.67) можно получить различными способами, но в рассматриваемой задаче удобнее воспользоваться методом разложения по собственным функциям. Собственные функции однородной задачи известны:

Решение неоднородного уравнения (3.67) будем искать в виде разложения по этим собственным функциям:

Правую часть уравнения представим в виде ряда по той же системе собственных функций:

Подставив выражения (3.68) и (3.69) в уравнение (3.67) и приравняв коэффициенты при каждой из синусоид в левой и правой частях равенства, получим цепочку независимых алгебраических уравнений

Рис. 3.29.

где

откуда находим

Следовательно,

Полный прогиб равен

Как видим из формул (3.70), при амплитуда соответствующей гармоники . Но при сжатии стержня может быть реализована нагрузка . Следовательно, в этом диапазоне значений нагрузки может резко расти только амплитуда первой гармоники. Независимо от соотношения между начальными амплитудами при приближении нагрузки к доминирующей окажется первая гармоника. Поэтому в приближенном решении обычно ограничиваются учетом первой гармоники и принимают

Зависимость ишах нагрузки показана на рис. 3.29, б. Определив поперечные прогибы, нетрудно найти максимальные напряжения изгиба в стержне

где — максимальный изгибающий момент; W — момент сопротивления сечения стержня.

В данном случае

Полное напряжение

где F — площадь поперечного сечения стержня.

Например, для стержня прямоугольного поперечного сечения, ширина и высота которого соответственно равны b и h, получим

Как видно из этой формулы, изгибная составляющая напряжения определяется отношением амплитуды начального прогиба к размерам сечения. Если, например, то при максимальные напряжения изгиба равны напряжениям осевого сжатия.

Приведенное решение можно использовать и в случае произвольно нагруженного стержня при произвольных граничных условиях.

Рассмотрим произвольно нагруженный в осевом направлении стержень (рис. 3.30, а), имеющий начальные неправильности . Пусть при потеря устойчивости стержня описывается линеаризованным однородным уравнением

При заданных граничных условиях собственные функции этого уравнения и собственные значения параметра нагрузки считаем известными, причем (см. приложение I)

Условие равновесия в проекции на ось у элемента стержня с начальными неправильностями (рис. 3.30, б) приводит к уравнению

где — полный угол поворота касательной к оси стержня, который считаем величиной конечной, но малой.

Рис. 3.30.

Как и при выводе уравнения (3.4), . Внутренний изгибающий момент М возникает в результате дополнительных прогибов , поэтому . Тогда уравнение (3.78) принимает вид

где — малые но конечные дополнительные прогибы.

Если задача продольного нагружения стержня статически неопределима, то необходимо учитывать взаимное влияние . Но если задача продольного нагружения стержня статически определима, то можно считать, что не зависят от поперечных перемещений. Тогда поведение стержня с начальными неправильностями будет описываться неоднородным линеаризованным уравнением

где — распределение внутренних усилий в стержне без начальных неправильностей при .

Исследуем подробнее этот наиболее интересный в практическом отношении случай, когда поведение стержня с начальными неправильностями может быть описано уравнением (3.80). Решение этого уравнения будем строить в виде разложения по собственным функциям однородного уравнения (3.76):

Представим начальные неправильности тоже в виде разложения

Подставив эти разложения в уравнение (3.80), получим

Умножим обе части этого уравнения на собственные функции и проинтегрируем произведения от 0 до I. В силу свойства обобщенной ортогональности (см. приложение I)

Следовательно,

Поделим все слагаемые на . С учетом выражения получим цепочку независимых уравнений для определения коэффициентов :

Тогда

Как в приведенном выше примере, приближенно можно принять

где — первая собственная функция однородной задачи, описывающая форму изогнутой оси идеально правильного стержня при потере устойчивости.

В приведенном решении предполагалось, что начальные неправильности оси стержня известны. В этом случае, раскладывая функцию начального прогиба в ряд по собственным функциям , можно найти и непосредственно воспользоваться полученным результатом.

Рис. 3.31.

Это обстоятельство снижает практическую ценность приведенного решения, ибо детальное измерение начальной формы оси стержня — операция трудновыполнимая. Однако структура формул (3.73) и (3.81) позволяет резко упростить и сократить необходимое число измерений при испытании реальных стержней на осевое сжатие. Так, например, формулу (3.73) для шарнирно-опертого стержня можно переписать в виде

где v — дополнительный прогиб в среднем сечеиии стержня (рис. 3.31, а). Таким образом, между и существует линейная зависимость. Измерив при нескольких значениях дополнительный прогиб в среднем сечении стержня можно экспериментальио построить линейную зависимость, как показано на рис. 3.31, б. Такой прием обработки экспериментальных данных предложен Саусвеллом и называется методом Саусвелла. С помощью этого приема на реальных стержнях можно экспериментальноопределить значение , не производя их предварительного обмера. Для этого, проведя по нескольким экспериментально полученным точкам прямую, находят ее пересечение с осью абсцисс. Прием Саусвелла позволяет по нескольким замерам находить амплитуду начальной неправильности . Для этого достаточно иайти точку пересечения построенной прямой с осью ординат. Наконец, прием Саусвелла дает возможность проводить неразрушающие испытания стержней на осевое сжатие, ибо, определив по начальному этапу нагружения , можно аналитически прогнозировать дальнейшее поведение стержня под нагрузкой (включая возможное развитие пластических деформаций).