Приложение II. Стационарные значения и экстремумы функций и функционалов

Приращение функции нескольких переменных может быть подсчитано по формуле Тейлора

где — приращения независимых переменных частные производные берутся в рассматриваемой точке.

Функция имеет минимум (максимум), если ее значения в рассматриваемой точке меньше (больше) значений во всех достаточно близких точках. Таким образом, функция имеет минимум (максимум), если при любых достаточно малых приращениях независимых переменных.

Необходимым условием минимума или максимума, т. е. экстремума функции, является равенство иулю ее первого дифференциала, что эквивалентно равенству нулю всех ее первых частных производных в рассматриваемой точке

Это условие не является достаточным условием экстремума. Так, например, для того чтобы функция имела минимум, кроме условия (II.2) в рассматриваемой точке должно еще выполняться условие

при любых комбинациях приращений независимых переменных, т. е. условие положительной определенности второго дифференциала. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда

Если хотя бы одно из неравенств (II.4) обращается в равенство, то для выяснения характера поведения функции в рассматриваемой точке в разложении (II.1) необходимо учесть и исследовать следующие слагаемые, зависящие от производных бсшее высокого порядка.

Аналогично, для того чтобы функция имела максимум, кроме условия (II.2) в рассматриваемой точке должно отрицательной определенности второго дифференциала.

Независимо от знаков второго и высших дифференциалов все точки, в которых выполняется условие (II.2), называют стационарными точками, а значения функции в них — стационарными. В стационарной точке второй дифференциал может оказаться положительно, ни отрицательно определенным, тогда функция не имеет минимума, ни максимума. Это, так называемая точка мниимакса. Такие стационарные точки характерны для задач упругой устойчивости.

Условии (II.2) определяют стационарные точки в том случае, когда независимые переменные не связаны между собой никакими соотношениими. Рассмотрим следующую задачу. Найти необходимое условие экстремума функции , если независимые переменные связаны между собой соотношениями

где .

Такого типа задачи называют задачами на условный экстремум. Условия (II.5) уменьшают число независимых переменных до . Поэтому исключив лишние переменные с помощью соотношений (II.5), исследуемую функцию можно выразить через оставшиеся независимых переменных и свести задачу определении необходимых условий экстремума к рассмотренной выше задаче. Но такой путь решении не всегда удобен и возможен.

Задачи на условный экстремум можно решать методом множителей Лагранжа. Согласно этому методу необходимые условия экстремума функции при дополнительных соотношениях связи (II.5) записываются так:

где

Здесь — неизвестные параметры, называемые множителями Лагранжа.

Таким образом получается, что для определения неизвестных имеем от) уравнений: уравнений дает система (II.6) и от уравнений — система (II.5).

Стационарные точки в задачах на условный экстремум, найденные тем или иным способом, могут соответствовать максимуму, минимуму или миинмаксу. Для выяснения этого необходимо провести исследование, подобное описанному выше.

Обобщение задачи нахождении экстремумов функций для случая нахождения экстремумов функционалов дается в вариационном исчислении. Рассмотрим, например, определенный интеграл

где . При фиксированных пределах интегрирования и заданном подинтегральном выражении значение определенного интеграла зависит конкретного выбора функции , т. е. является функцией от функции. Зависимости такого типа, обобщающие понятие функции, называют функционалами.

Понятие вариации в вариационном исчислении имеет такое же фундаментальное значение, как и понятие дифференциала в дифференциальном исчислении. Вариацией функции называют допустимое по условиям данной задачи малое изменение этой функции. Вариация функции обозначается . Аналогично вводит понятия вариаций первой и высших производных функции: - обозначают их соответственно , и т. д. Заметам, что , т. е. символ можно выносить за знак дифференцирования.

При варьироваиви функции и ее производных изменяется значение функционала . Главную линейную относительно вариации функции составляющую этого изменения называют первой вариацией функционала и обозначают . Первая вариация функционала (II.8) определяется выражением

Аналогично понятию второго дифференциала функции в вариационном исчислении вводят понятие второй вариации функционала. Для простоты записи в дальнейшем ограничимся случаем, когда функционал зависит только от функции и ее первых двух производных. Тогда вторая вариация функционала определяется выражением

Основная задача вариационного исчисления может быть сформулирован» так: среди всех допустимых по условиям данной задачи функций найти такую функцию , которая доставляет заданному функционалу экстремальное значение. Необходимым условием экстремума функционала, как и необходимым условием экстремума функции, является условие стационарности

Из этого условия может быть получено дифференциальное уравнение Эйлера, которому должна удовлетворять искомая функция, а также те граничные условия, которым она может быть подчинена.

Последовательно интегрируя по частям выражение (II.11), избавимся от вариаций производных искомой функции под знаком интеграла:

Откуда следует, что условие стационарности выполняется при всех допустимых если, во-первых, выражение, стоящее в квадратных скобках под интегралом, равно нулю

и, во-вторых, при выполняются условия

(II.14)

Уравнение (11.13) является уравнением Эйлера. В данном случае, когда функционал зависит от второй производной искомой функции, это уравнение имеет четвертый порядок. Условия (11.14) дают четыре граничных условия при , причем условия означают, что при могут быть заданы . В общем случае, когда функционал зависит от производных до порядка включительно, уравнение Эйлера имеет порядок и соответствующее число граничных условий.

Условие стационар иости является необходимым условием максимума или минимума функционала. Стационарное значение функционала соответствует минимуму (или максимуму), если вторая вариация функционала является положительно (отрицательно) определенной, т. е. при любых допустимых по условиям задачи вариациях выполняется условие

(11.15)

Все сказанное выше может быть обобщено для случая функционалов, зависящих от нескольких функций одной или нескольких независимых переменных. Так, например, если задан функционал

(11.16)

где , то его первая вариация определяется зависимостью

(11.17)

Условие стационарности приводит к системе уравнений Эйлера

Когда функционал зависит от функций нескольких переменных, условие стационарности прииодит к ураииеииям Эйлера в частных производных. Общая схема получения этих уравнений остается прежней.

Кроме рассмотренных задач на безусловный экстремум для функционалов, иозможны задачи на условный экстремум. В таких задачах функции, от которых зависят исследуемые функционалы, связаны некоторыми дополнительными условиями.

Например, задача может быть сформулироиаиа так: найти функцию , доставляющую стационарное значение функционалу

(11.19)

Если искомая функция подчинена дополнительным интегральным связям вида

(11.20)

где — заданные константы. Решение задачи по определению необходимых условий экстремума можно получить методом Лагранжа, отыскивая условия стационарности вспомогательного функционала

(11.21)

Причем здесь

где — неизвестные постоянные (множители Лагранжа).

При заданных граничных условиях для определении k множителей Лагранжа и искомой функции используют k условий связи (11.20) и уравнение Эйлера для вспомогательного функционала

Для функционалов, зависящих от нескольких функций , возможны задачи на условный экстремум не только при интегральных, но и дополнительных конечных или дифференциальных связях, накладываемых на искомые функции. Так, например, можно поставить задачу: найти условие стационарности функционала

(11.24)

если неизвестных функций дополнительно связаны конечными дифференциальными соотношениями

(11.25)

Число дополнительных связей должно быть меньше числа искомых функций, т. е. всегда .

Эту задачу тоже можно решать методом множителей Лагранжа, отыскивая условия стационарности вспомогательного функционала (11.21), где теперь

(11.26)

Здесь — функциональные множители Лагранжа. Для определения искомых функций и k функций достаточно системы уравнений Эйлера (вместе с заданными граничными условиями) для вспомогательного функционала и k условий связи (11.25).

Аналогичные приемы решения, основанные на введении множителей Лагранжа, используют и в тех случаях, когда искомые функции зависят от нескольких переменных [41].