§ 38. Устойчивость оболочки, подкрепленной упругими шпангоутами

Задачу устойчивости оболочки, подкрепленной шпангоутами, можно решать в двух основных вариантах: с помощью замены подкрепленной оболочки однородной ортотропной оболочкой (путем «размазывания» жесткостей шпангоутов) или с учетом дискретного расположения подкреплений путем интегрирования уравнений устойчивости гладкой оболочки и выполнения условий стыковки ее со шпангоутами. Использование схемы полубезмоментной оболочки позволяет в обоих случаях получить простые и надежные приближенные решения [51.

Устойчивость однородной ортотропной оболочки рассмотрена в предыдущем параграфе. Сейчас решим задачу устойчивости оболочки с учетом дискретного расположения подкреплений.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку, подкрепленную несколькими упругими шпангоутами и нагруженную равномерным внешним гидростатическим давлением р. Исследуем устойчивость такой оболочки при следующих допущениях:

1. Поведение обшивки описывается уравнениями полубезмоментной теории.

2. Центры тяжести поперечных сечений шпангоутов лежат в срединной поверхности обшивки; оси шпангоутов нерастяжимы.

3. В решении учитываем только изгибную жесткость шпангоута в своей плоскости; жесткость шпангоута на кручение и изгибную жесткость при деформациях шпангоута из своей плоскости считаем пренебрежимо малыми.

4. Ширина шпангоутов пренебрежимо мала по сравнению между ними.

При выбранной упрощенной расчетной схеме подкрепленной оболочки обшивка находится в однородном безмоментном состоянии до потери устойчивости; шпангоуты нагрузки не несут.

При малом числе шпангоутов и постоянном по длине оболочки внешнем гидростатическом давлении задачу целесообразно решать аналитически, интегрируя уравнения устойчивости полубезмоментной оболочки. Потеря устойчивости обшивки описывается уравнением

где — жесткость обшивки на растяжение в осевом направлении; — изгибная жесткость обшивки в окружном направлении; Ф — функция перемещений.

Изгиб кругового шпангоута с нерастяжимой осью под действием распределенной касательной нагрузки интенсивности описывается уравнением (см. § 31)

где — изгибная жесткость шпангоута; — окружные перемещения точек осевой линии шпангоута; k — номер шпангоута.

Передаваемая на шпангоут касательная нагрузка равна разности сдвигающих усилий на участках обшивки, прилегающих слева и справа к шпангоуту:

(7.37)

Решение уравнения (7.35) для обшивки между подкреплениями ищем в виде

где — функция осевой координаты .

Тогда получим

Выражая касательную нагрузку, передаваемую на шпангоут с помощью зависимостей (7.37) и (7.39) через функцию перемещений и решая с учетом замкнутости шпангоута уравнение (7.36), находим перемещения точек оси шпангоута

где

(7.40а)

Используя приведенные зависимости, составим систему граничных и стыковочных условий для оболочки с N пролетами, т. е. для оболочки, подкрепленной промежуточными шпангоутами.

Для каждого промежуточного шпангоута можно выписать следующие четыре условия.

1. Равенство окружных перемещений участков обшивки, прилегающих к шпангоуту слева и справа:

2. Равенство осевых перемещений

3. Равенство осевых усилий в обшивке слева и справа от шпангоута (при переходе через шпангоут осевое усилие в обшивке не изменяется, поскольку жесткость шпангоутов при деформациях из плоскости принята пренебрежимо малой)

4. Равенство окружных перемещений точек оси шпангоута соответствующим окружным перемещениям обшивки

Кроме того, на каждом торце оболочки должны быть дополни-, тельно заданы граничные условия , где — соответствующие жесткости упругого закрепления торцов, относительно осевых и окружных перемещений.

Таким образом, для оболочки с N пролетами получается необходимое число условий: .

Общая схема определения критического давления состоит в следующем.

Используя зависимость (7.38) для каждого из N пролетов оболочки, решение уравнения (7.35) записываем в виде

где

Число волн должно быть одинаковым для всех пролетов оболочки из условия стыковки. Поэтому если давление и жесткостные характеристики обшивки постоянны по всей длине оболочки, то значение будет общим для всех пролетов.

Подчинение решений (7.41) всем граничным и стыковочным условиям приводит к системе линейных однородных уравнений относительно неизвестных . Из условия равенства нулю определителя этой системы получаем характеристическое уравнение, позволяющее найти . Зная , подсчитываем собственные значения давления

В отличие от задач, рассмотренных в предыдущем параграфе число волн входит в граничные (стыковочные) условия. Поэтому величина оказывается зависящей от числа волн . Следовательно, при определении критического значения в рассматриваемой задаче нельзя минимизировать выражение (7.42) по числу волн . Из характеристического уравнения для каждого значения следует находить минимальное значение — , затем подсчитывать по формуле (7.42), повторяя эту процедуру при различных до получения наименьшего При вычислениях следует учитывать, что зависимость может иметь несколько локальных минимумов; за окончательное значение следует принять наименьшее из них.

Общую схему определения критического давления проиллюстрируем несколькими примерами.

1. Устойчивость свободно опертой по обоим торцам цилиндрической оболочки длиной , подкрепленной одним симметрично расположенным шпангоутом жесткости (рис. 7.3). Граничные условия на торцах

Рис. 7.8.

На шпангоуте должны выполняться четыре условия стыковки. Характеристическое уравнение распадается на два независимых уравнения

где .

Первое из этих уравнений соответствует так называемой местной потере устойчивости подкрепленной оболочки, когда обшивка теряет устойчивость, а шпангоут сохраняет круговую форму. Наименьший корень этого уравнения дает . Из выражения (7.42) находим

В данном частном случае корни первого уравнения не зависят от числа волн и критическое давление можно определять минимизацией по . В частности, при (см. § 37) получим

Критическое давление , соответствующее местной потере устойчивости обшивки, не зависит от жесткости шпангоута.

Второе из этих уравнений соответствует так называемой общей потере устойчивости подкрепленной оболочки, когда обшивка теряет устойчивость вместе с подкреплением.

Зависимость значения наименьшего корня этого уравнения от приведенной жесткости шпангоута с показана на рис. 7.3, а. Критическое давление общей потери устойчивости определяется выражением (7.42), но при минимизации этого выражения по числу волн необходимо учитывать, что при изменении изменяется приведенная жесткость шпангоута и, следовательно, значение корня характеристического уравнения. Типичный график зависимости безразмерного критического давления безразмерной жесткости шпангоута приведен на рис. 7.3, б, здесь — критическое давление оболочки при . Приведенный график построен для подкрепленной оболочки с параметрами . Для оболочек средней длины, теряющих устойчивость с образованием достаточно большого числа волн , этот график практически не зависит от абсолютных значений параметров подкрепленной оболочки (изменяются только числа волн ). Заметим, что зависимость критического давления от величины жесткости шпангоута полностью повторяет зависимость критической силы от жесткости упругой опоры шарнирно-опертого стержня. Как и в задаче об устойчивости стержня с упругой опорой, смена форм потери устойчивости происходит при достижении некоторого значения эффективной жесткости шпангоута . При жесткости шпангоута, меньшей эффективной, происходит общая потеря устойчивости подкрепленной оболочки, и увеличение жесткости шпангоута приводит к повышению критического сдавления [2].

При жесткости шпангоута, большей , происходит местная потеря устойчивости обшивки, и дальнейшее увеличение жесткости шпангоута не влияет на критическое давление. Для оболочек средней длины, подкрепленных одним симметрично расположенным шпангоутом, такая смена форм потери устойчивости происходит примерно при , где — длина всей оболочки; — изгибная жесткость обшивки в окружном направлении.

Аналогично значение эффективной жесткости можно определить и при большем числе подкреплений свободно опертой по торцам цилиндрической оболочки. Так, для оболочки длины , подкрепленной двумя равноотстоящими шпангоутами одинаковой жесткости, смена форм устойчивости происходит примерно при .

При этом следует помнить, что разделение потери устойчивости подкрепленной оболочки на местную и общую условны, поскольку реальная подкрепленная оболочка является единой упругой системой и всякая потеря устойчивости общая.

Термины местная и общая потеря устойчивости подкрепленной оболочки удобны, так как они отражают качественную сторону задачи. При местной потере устойчивости оболочки шпангоут практически сохраняет круговую форму, а деформируется в основном обшивка. При общей потере устойчивости деформируется вся подкрепленная оболочка.

2. Устойчивость консольной цилиндрической оболочки с краем, подкрепленным шпангоутом. Когда край полубезмоментной оболочки подкреплен упругим шпангоутом, обладающим только изгибной жесткостью в своей плоскости, то при граничные условия будут:

где — определяется по формуле (7.40а).

Рассмотрим два способа закрепления второго края оболочки при . Примем, что в первом случае закрепление края полностью исключает окружные и осевые перемещения, т. е. при .

Подчинение общего решения (7.41) граничным условиям приводит к системе уравнений, равенство нулю определителя которой приводит к характеристическому уравнению —

где .

На рис. 7.4 приведена типичная зависимость безразмерного критического давления от относительной жесткости торцового шпангоута , причем — критическое давление свободно опертой по обоим торцам оболочки длины I. График построен для оболочки с параметрами Проследим за изменением числа волн и формы изгиба образующей при потере устойчивости оболочки. При оболочка теряет устойчивость с образованием , причем максимальные перемещения возникают на свободном краю оболочки. С увеличением жесткости шпангоута до критическое давление существенно возрастает, число волн уменьшается до , а форма изгиба образующей остается качественно такой же, как у неподкрепленной оболочки.

При происходит резкая смена форм потери устойчивости оболочки: число окружных волн возрастает до (потом увеличивается до , а точки, перемещения которых достигают максимума, смещаются с края оболочки к ее середине. Дальнейшее увеличение жесткости торцового шпангоута не изменяет существенно ни формы потери устойчивости, ни значения критического давления.

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Качественная картина зависимости критической нагрузки оболочки от жесткости торцового шпангоута повторяет зависимость критической силы сжатого стержня с упруго закрепленным торцом (стр. 105).

В рассмотренной задаче тоже можно ввести понятие эффективной жесткости торцового шпангоута при достижении которой происходит качественная смена картины потери устойчивости. Хотя график, приведенный на рис. 7.4, построен для оболочки с конкретными параметрами, расчеты показывают, что зависимость безразмерного критического давления от относительной жесткости торцового шпангоута практически остается такой же для других оболочек средней длины (изменяется только значение ). Поэтому, в частности для оболочек средней длины с одним жестко закрепленным краем эффективную жесткость торцового шпангоута можно считать равной

Рассмотрим второй вариант закрепления края оболочки при . Примем, что на этом краю запрещены окружные (следовательно, и радиальные) перемещения, но не стеснены осевые перемещения, т. е. при .

При сохраняются граничные условия первого варианта. В этом случае характеристическое уравнение принимает вид

Типичная зависимость безразмерного критического давления от относительной жесткости торцовогб шпангоута приведена на рис. 7.5. Она построена для оболочки с параметрами . В этом случае при значении жесткости торцового шпангоута происходит резкая качественная смена форм потери устойчивости. При значение наименьшего корня характеристического уравнения оказывается малым. Разложив правую часть этого уравнения в ряд по степеням k, получим .

Тогда, учитывая что , из выражения (7.42) найдем

Причем в этой формуле .

Физический смысл полученной формулы состоит в том, что при потеря устойчивости оболочки происходит без растяжения ее срединной поверхности. Критическое давление определяется только изгибной жесткостью обшивки и торцового шпангоута.

Если , то при потере устойчивости оболочка ведет себя так же, как оболочка, свободно опертая по обоим торцам, причем торцовой шпангоут практически сохраняет круговую форму. Для оценки эффективной жесткости торцового шпангоута нетрудно получить следующую зависимость:

Причем значение существенно выше, чем в предыдущем примере.