§ 35. Об исследовании устойчивости цилиндрических оболочек с позиций нелинейной теории

В предыдущих главах показано, что критические точки бифуркации начальной формы равновесия идеально правильных стержней, пластин и круговых колец относятся к точкам бифуркации первого типа (см. § 3).

При нагрузках, меньших критических, стержень, пластина или круговое кольцо не имеют других состояний равновесия кроме невозмущенного устойчивого начального состояния (рис. 6.23, а). При достижении критической нагрузки наряду с начальным невозмущенным состоянием равновесия становятся возможными новые возмущенные состояния равновесия. С дальнейшим увеличением нагрузки начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым, взамен его появляется новое возмущенное состояние равновесия, в которое переходят стержень, пластинка или круговое кольцо (кривая на рис. 6.23, а). При плавном нарастании нагрузки , пластина или круговое кольцо идеально правильной формы тоже плавно без перескоков и хлопков переходят в новое возмущенное устойчивое состояние равновесия.

Рис. 6.23.

Если закрепления краев упругой оболочки таковы, что допускают чисто изгибную деформацию оболочки без удлинений и сдвигов ее срединной поверхности, то оболочка тоже имеет критическую точку бифуркации первого типа и при потере устойчивости ведет себя аналогично сжатому стержню или круговому кольцу. В этом случае существует тоже только одно критическое значение нагрузки, при превышении которого оболочка плавно, без хлопков переходит в новое возмущенное состояние равновесия.

Если закрепления краев оболочки исключают возможность чисто изгибной деформации, то при потере устойчивости поведение тонких оболочек становится качественно иным. В этом случае критическая точка бифуркации идеально правильной оболочки оказывается точкой бифуркации второго типа [3, 19]. Точка бифуркации соответствует неустойчивому начальному состоянию равновесия и в окрестности критической точки бифуркации нет новых устойчивых состояний равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия удалены от начального невозмущенного состояния на конечные расстояния (рис. 6.23, б). Поэтому переход в новое возмущенное состояние равновесия происходит хлопком: переходя в новое устойчивое состояние оболочка «перескакивает» через статически неустойчивые состояния равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия, отделенные от начального невозмущенного состояния сравнительно небольшим энергетическим барьером, становятся возможными до достижения критической нагрузки.

В результате геометрических несовершенств и не строго осесимметричного нагружения реальная оболочка начинает отклоняться от своей исходной формы. Затем при некотором значении нагрузки хлопком переходит в новое состояние равновесия с поведением упругой системы, рассмотренной в гл. 1).

Поэтому для тонких упругих оболочек характерны три значения внешней нагрузки:

— верхняя критическая нагрузка, при превышении которой начальная форма равновесия идеально правильной оболочки перестает быть устойчивой;

— нижняя критическая нагрузка, при превышении которой становятся возможными новые отличные от начального состояния равновесия оболочки идеально правильной формы;

— нагрузка, при которой происходит хлопок реальной оболочки, т. е. то критическое значение нагрузки, при достижении которого начальное состояние равновесия реальной оболочки перестает быть устойчивым.

Значение верхней критической нагрузки определяют с помощью линеаризованных дифференциальных уравнений; при осесимметричном нагружении решение таких уравнений для цилиндрических оболочек не представляет принципиальных трудностей.

При определении нижних критических нагрузок необходимо решать чрезвычайно сложные задачи нелинейной теории оболочек. Эти уравнения не удается решить точно, поэтому все имеющиеся результаты получены приближенными методами.

Для реальной оболочки обычно лежит между верхним и нижним критическими значениями идеально правильной оболочки, и чем точнее изготовлена оболочка, тем оно ближе к верхнему критическому значению. Значение чрезвычайно чувствительно к величинам и формам начальных неправильностей. С одной стороны, это приводит к большому разбросу экспериментальных значений , полученных в различных условиях, с другой стороны, возникают принципиальные трудности и при теоретическом определении , так как для определения данной реальной оболочки необходимо с большой точностью знать ее начальные неправильности, что практически неосуществимо.

Недавно считали, что выходом из такого положения является расчет конструкций по нижним критическим нагрузкам. Многие исследователи выполнили трудоемкие вычисления для уточнения значений нижних критических нагрузок. Но следует согласиться с авторами работы [24], отметившими следующее: «Усилия, предпринятые для отыскания ннжних критических нагрузок оболочек не окупились, и эта идея должна быть оставлена».

На практике следует стремиться к созданию таких силовых конструкций, устойчивость которых не будет зависеть от случайных и трудно контролируемых факторов. Основные пути создания таких оболочечных конструкций — это использование подкрепленных силовым набором оболочек, трехслойных оболочек, гофрированных оболочек и т. д. В некоторых наиболее ответственных случаях применяют точеные однослойные оболочки.