§ 7. О постановке задач устойчивости тонкостенных систем

При исследовании упругой устойчивости стержней, пластин и оболочек принимаем следующие основные ограничения и допущения.

Во-первых, всюду, где это специально не оговорено, материал считаем линейно упругим (изотропным или анизотропным). Конечно, многие практически важные задачи устойчивости деформируемых тел требуют учета более сложных реологических свойств (нелинейная упругость, пластичность, ползучесть и т. д.). Но для тонкостенных элементов силовых конструкций из современных высокопрочных материалов это ограничение вполне обосновано. Как правило, работоспособность таких конструкций определяется их устойчивостью в упругой области. Кроме того, для правильной постановки и решения задач устойчивости деформируемых тел с другими реологическими свойствами необходимо понимать формулировки и решения задач устойчивости для линейно-упругого тела.

Во-вторых, все внешние нагрузки, действующие на деформируемую систему, считаем консервативными, т. е. полагаем, что работа этих нагрузок на любых допустимых перемещениях системы зависит только от начальной и конечной конфигураций системы. Наложенные на систему связи считаем идеальными, полагая, что силы реакций этих связей не совершают работу на любых возможных перемещениях точек системы, к которым приложены эти силы. При таких нагрузках и связях упругая система является консервативной.

В-третьих, при определении критических нагрузок и исследовании закритического поведения системы используем статический подход, не учитывая инерционные силы в системе, возникающие в процессе ее деформирования. Для консервативных систем такой статический подход к определению критических нагрузок всегда приводит к тем же результатам, что и более общий динамический подход [14, 40]. При исследовании закритического поведения статический подход дает возможность только найти устойчивые равновесные состояния, в которых может находиться система при определенном уровне нагружения, но не позволяет проследить во времени подробности закритического поведения системы после потери устойчивости (подробнее см. [18]). Однако для подавляющего числа практических задач расчета силовых конструкций достаточно найти условия, при которых произойдет потеря устойчивости, и оценить закритическое поведение конструкции, а эти цели могут быть достигнуты на основе статического подхода.

Кроме перечисленных общих ограничений, о которых следует помнить при практическом использовании той или иной конкретной формулы или уравнения, обсудим подробнее одно менее известное допущение, на основе которого решается большинство задач теории упругой устойчивости тонкостенных конструкций.

Обратимся снова к классической задаче устойчивости шарнирно-опертого сжатого стержня (рис. 1.16). Как показано в § 4, линеаризованное уравнение изгиба такого стержня приводит к классической формуле Эйлера

где — изгибная жесткость стержня; — длина.

При выводе этой формулы изменение размеров стержня в докритическом состоянии не учитывали; в частности, в момент потери устойчивости длину стержня считали равной начальной длине 10.

Оценим порядок погрешности, содержащейся в формуле Эйлера и связанной с пренебрежением докритической деформацией стержня. В соответствии с законом Гука при упругом сжатии стержня , где ; здесь — модуль упругости и площадь поперечного сечения стержня.

Критическую силу, подсчитанную по формуле (1.37) при начальных размерах стержня, обозначим . Тогда соответствующее критическое удлинение («укорочение») стержня равно

где - радиус инерции сечения стержня. С учетом изменения длины стержня можно записать следующее:

Так, для стержня квадратного поперечного сечения

где а — сторона квадрата.

Следовательно, формула Эйлера органически содержит погрешность порядка или по сравнению с единицей.

Заметим, что критическое укорочение не зависит от модуля упругости материала стержня, а является геометрической характеристикой стержня. Однако формула (1.38) в действительности не уточняет формулу Эйлера, а только дает оценку порядка погрешности, содержащейся в классическом решении. В процессе докритического сжатия изменяются не только длина стержня, но и размеры его поперечного сечения (за счет коэффициента Пуассона).

Поэтому, учитывая, что формулу записать в следующем виде:

В классическом решении внутренний изгибающий момент в стержне определяется зависимостью , основанной на гипотезе плоских сечений. Если построить решение, свободное от гипотезы плоских сечений, то полученная в результате такого решения дополнительная поправка для будет тоже иметь порядок , но знак этой поправки будет другой. Освобождение стержня от гипотезы плоских сечений делает его менее жестким и тем самым уменьшает критическую нагрузку (см. § 16).

Для получения окончательной достоверной поправки к формуле Эйлера необходимо пересмотреть закон Гука, учитывая при его формулировке различие между значениями условных и истинных напряжений и деформаций. И пока не внесена корректировка в закон Гука, учитывать все перечисленные выше поправки не имеет смысла.

На этом примере показана интересная и важная особенность задач устойчивости. Задачи устойчивости в принципе нелинейны. Классическую постановку задачи о точках бифуркации упругого равновесия можно рассматривать как первое приближение полной нелинейной задачи. Для дальнейшего уточнения классической постановки необходимо тщательно и всесторонне изучать все нелинейные факторы, которые могут оказать влияние на окончательный результат решения. Поэтому достоверные уточнения классической постановки задач устойчивости удается сделать только для некоторых частных задач [11, 26].

Классическая постановка задач теории упругой устойчивости базируется на следующем допущении.

Докритическое напряженное состояние системы определяем по уравнениям линейной теории упругости и пренебрегаем изменением начальных размеров системы до потери устойчивости.

Это допущение (если не сделано специальной оговорки) используем при выводе линеаризованных уравнений стержней, пластин и оболочек, помня при этом, что все окончательные формулы для критических нагрузок неизбежно будут содержать погрешность порядка по сравнению с единицей.

Это основное допущение можно трактовать следующим образом. До потери устойчивости упругое тело напряжено, но не деформировано. Такая упрощенная модель упругого тела позволяет исследовать устойчивость большинства тонкостенных силовых конструкций, но не может рассматриваться как универсальная.

Для некоторых задач пренебрежение изменением начальных размеров системы или определение изменения размеров по уравнениям линейной теории упругости может привести к погрешностям, существенно большим указанных выше, или даже качественно исказить результат решения.

Например, сжатая витая пружина может потерять устойчивость подобно сжатому гибкому стержню. В этом случае критическую силу можно определить по формуле для эквивалентного стержня

где С — коэффициент, отражающий способ закрепления торцов (см. § 13); — жесткость эквивалентного стержня при изгибе; — длина пружины. Но для получения правильного результата в этой формуле необходимо учесть докритическое обжатие пружины и принять, что , где — начальная длина пружины; k — жесткость пружины при сжатии.

Учитывая докритическое обжатие, из формулы (1.39) получаем кубическое уравнение для определения критической силы

Если в формуле (1.39) принять , то для витой пружины получим качественно неверный результат [30].

В отличие от задачи устойчивости сплошного стержня, где учет докритического изменения его длины без учета влияния остальных факторов не имел смысла, учет докритического обжатия пружины вполне логичен. Правда, для полной строгости решения необходимо показать, как докритическое обжатие влияет на значение .

Пренебрежение изменением начальной геометрии системы приводит к погрешностям, значительно превышающим погрешность порядка по сравнению с единицей, в тех случаях, когда начальные деформации связаны с изгибом тонкостенной системы.

Более того, возможны случаи, когда пренебрежение начальными перемещениями, связанными с изгибом системы в докритическом состоянии, приводит к недопустимо большим погрешностям определения критической нагрузки. Например, если в задаче устойчивости сжатой в осевом направлении тонкой цилиндрической оболочки с малыми начальными неправильностями формы (см. гл. 6) не учитывать начальное напряженно-деформированное состояние, вызванное докритическим изгибом оболочки, то можно получить качественно неверный результат. Но тонкостенные элементы правильно спроектированных силовых конструкций в докритическом состоянии обычно работают без заметных изгибов. Изгиб таких элементов — это чаще всего результат потери устойчивости, вызывающий резкий рост напряжений и перемещений в конструкции и приводящий к частичной или полной потере ее работоспособности. Для расчета на устойчивость таких тонкостенных элементов допущение о пренебрежении изменением начальной геометрии вполне оправдано.