§ 3. Точки бифуркации, предельные точки и критические нагрузки

На диаграмме нагрузка — перемещение, относящейся к первому примеру, ось ординат соответствует исходному вертикальному положению равновесия стержня, а кривая отклоненному положению равновесия (рис. 1.10, а). Как установлено, исходное вертикальное положение равновесия стержня остается устойчивым до тех пор, пока сила . Поэтому при нагружении до значения стержень остается в исходном вертикальном положении. При малейшем превышении указанного значения исходное вертикальное положение равновесия стержня становится неустойчивым и любые сколь угодно малые возмущения непременно должны вывести стержень из этого состояния. Поскольку в окрестности точки соответствующей , имеется другое устойчивое отклоненное положение равновесия, то стержень и перейдет в это новое состояние. На рис. 1.10, а поведение первой системы при нагружении схематично изображено стрелками. При стержень не сможет остаться в исходном вертикальном положении и отклонится вправо или влево.

На диаграмме нагрузка — перемещение для первой системы (рис. 1.10, а) характерной является точка в которой ось ординат, соответствующая исходному положению равновесия, пересекается с кривой , соответствующей отклоненному положению.

Такие точки, в которых решение расщепляется на две ветви, называются точками бифуркации или точками ветвления решения.

В данном случае точка характерна еще тем, что при переходе через нее исходное положение равновесия стержня перестает быть устойчивым: точки оси ординат, лежащие ниже точки соответствуют устойчивым состояниям, а точки оси ординат, лежащие выше точки — неустойчивым состояниям. В дальнейшем точки на диаграмме нагрузка — перемещение, при переходе через которые исходное состояние равновесия перестает быть устойчивым, будем называть критическими точками, а соответствующие им значения нагрузок — критическими значениями нагрузок или критическими нагрузками. Критические нагрузки будем обозначать индексом , например, в рассмотренном примере .

Вторая система качественно иначе ведет себя под нагрузкой. Исходное вертикальное положение стержня остается устойчивым до тех пор, пока . В точке бифуркации ось ординат, соответствующая на рис. 1.10. положению равновесия, пересекается с кривой , которая описывает новое неустойчивое положение равновесия. Точка критическая, поскольку при переходе через нее устойчивое исходное положение равновесия становится неустойчивым. Для второй системы критическая нагрузка . При достижении критической нагрузки рассматриваемая система не сможет оставаться в исходном вертикальном положении, поскольку оно становится неустойчивым и любые сколь угодно малые возмущения выведут ее из него. Но в отличие от первой системы у второй нет никаких новых устойчивых положений статического равновесия в окрестности критической точки бифуркации . Поэтому потеря устойчивости исходного вертикального положения равновесия неизбежно сопровождается скачкообразным переходом в удаленное на конечное расстояние новое устойчивое положение статического равновесия (в рассматриваемом примере стержень просто опрокидывается).

Рис. 1.10.

На рис. 1.10, а стрелками показано поведение второй системы.

Важно подчеркнуть, что если в первой системе переход от исходного вертикального положения равновесия к новому отклоненному положению статического равновесия при плавном увеличении нагрузки происходит плавно без перескоков, то во второй системе даже плавное увеличение нагрузки неизбежно сопровождается скачкообразным переходом в новое устойчивое статическое положение равновесия. (В реальных условиях при таком перескоке возникают колебания относительно нового устойчивого положения статического равновесия. И только после того как силы сопротивления погасят колебания, система займет новое устойчивое положение статического равновесия. Этот переходный процесс описывается с использованием динамического подхода и здесь не рассматривается .)

При разгрузке две рассматриваемые системы ведут себя также по-разному. При уменьшении нагрузки первая система в обратном порядке проходит все этапы нагружения: в точке бифуркации устойчивое отклоненное положение равновесия сменяется устойчивым неотклоненным положением (рис. 1.10, а). Вторая система проходит через новую точку бифуркации , где становится неустойчивым отклоненное положение равновесия. При достижении точки бифуркации система возвращается в исходное положение путем перескока (рис. 1.10, б). В таких случаях точку иногда называют верхней критической точкой, соответствующее ей значение нагрузки — верхним критическим значением. Точку называют нижней критической точкой, соответствующее ее значение нагрузки — нижним критическим значением нагрузки. Эти значения нагрузок будем соответственно обозначать . Так, в рассмотренном примере .

В дальнейшем нам будут встречаться критические точки бифуркации двух рассмотренных выше основных типов. В критической точке бифуркации первого типа исходная устойчивая форма равновесия сменяется другой устойчивой формой равновесия, причем точка бифуркации первого типа соответствует устойчивому равновесию (например, точка на рис. 1.10, а). В критической точке бифуркации второго типа исходная устойчивая форма равновесия сменяется другой неустойчивой формой равновесия, причем и точка бифуркации второго типа соответствует неустойчивому равновесию (например, точка на рис. 1.10, б).

Вообще говоря, могут быть точки бифуркации других типов, например, точки, в которых пресекаются два решения, соответствующие неустойчивым положениям равновесия (согласно приведенному выше определению они не являются критическими).

Рис. 1.11.

Однако точки бифуркации указанных выше двух типов играют первостепенную роль в теории упругой устойчивости.

Кроме точек бифуркации в теории устойчивости важное значение имеют так называемые предельные точки.

На рис. 1.11, а изображена система, состоящая из двух жестких стержней, соединенных шарниром. Зависимость между силой и вертикальным перемещением и точки ее приложения имеет вид кривой, показанной на рис. . (Считая нетрудно получить аналитическое выражение этой зависимости). Точки — типичные примеры предельных точек.

В предельной точке не пересекаются различные решения. Однако при переходе через нее устойчивое равновесие становится неустойчивым, причем предельная точка обычно соответствует неустойчивому равновесию. В соответствии с приведенным выше определением предельные точки исходной формы равновесия являются критическими.

Критические точки бифуркации первого типа характерны для задач устойчивости упругих стержней и пластин, критические точки бифуркации второго типа — для задач устойчивости тонких упругих оболочек. Критические предельные точки характерны для задач устойчивости пологих оболочек и тонких упругих оболочек с начальными геометрическими несовершенствами.

В предыдущих примерах при определении точек бифуркации и критических нагрузок рассматривались не только простейшие механические системы, но и их предельно идеализированные схемы. Возникает естественный вопрос, насколько полно и точно такие схемы могут отражать поведение реальных систем. Так, в рассматриваемых выше примерах считалось, что оси стержней, до нагружения расположены строго вертикально. В реальной системе практически всегда начальный угол отклонения оси стержня от вертикали не равен нулю. На тех же простейших примерах выясним, насколько существенно влияние начальных геометрических несовершенств такого типа на поведение систем под нагрузкой, т. е. насколько различно поведение систем, имеющих начальные геометрические несовершенства, и идеализированных.

Снова рассмотрим первый пример, но будем считать, что в ненагруженном состоянии ось стержня отклонена от вертикали на некоторый угол (рис. 1.12, а).

Если полный угол отклонения стержня при нагружении обозначить , то момент в упругом шарнире будет равен и условие равновесия стержня в отклоненном состоянии приведет к уравнению

Откуда при получим

Несложный анализ позволяет установить, какие из ветвей полученного решения соответствуют устойчивым положениям равновесия. Результат такого анализа схематично изображен на рис. 1.12, б.

При плавном увеличении нагрузки реализуется правая ветвь, все точки которой соответствуют устойчивым положениям равновесия отклоненного стержня. На этой ветви кривой при нет ни точек бифуркации, ни предельных точек: с увеличением нагрузки угол отклонения стержня монотонно увеличивается. Левая ветвь, содержащая предельную точку , может быть реализована только тогда, когда к стержню приложена некоторая дополнительная поперечная нагрузка, а затем она снята.

На рис. 1.12, в показан вид правых ветвей в окрестности точки бифуркации для нескольких различных значений начального угла отклонения . Вид кривых позволяет сделать два важных вывода о поведении рассматриваемой системы с начальными геометрическими несовершенствами. Во-первых, точка бифуркации первого типа существует только в случае предельно идеализированной системы, когда . При любых не равных нулю значениях точка бифуркации исчезает и с ростом нагрузки угол монотонно увеличивается без качественных изменений форм равновесия. Во-вторых, если то быстрый рост происходит только с приближением нагрузки к ее критическому значению, соответствующему точке бифуркации идеализированной системы при .

Рис. 1.12.

При малых нагрузках по сравнению с этим критическим значением отклонения стержня остаются малыми.

Рассмотрим влияние начального отклонения на поведение второй из исследованных выше простейших систем (рис. 1.13). При отклонении стержня на угол усилие в пружине равно и условие равновесия отклоненного стержня приводит к уравнению

Рис. 1.13.

Откуда при находим

Проанализировав знак второй производной полной потенциальной энергии по углу отклонения системы, можно установить, какие из ветвей полученного решения соответствуют устойчивым положениям равновесия. Для результат такого анализа изображен на рис. 1.13, б. Как видим, поведение этой системы при качественно отличается от поведения рассмотренной выше системы. При критическая точка бифуркации второго типа трансформируется в критическую предельную точку . При достижении этой предельной точки происходит потеря устойчивости исходной формы равновесия системы, причем поскольку в окрестности предельной точки нет новых устойчивых положений равновесия, система вынуждена скачком перейти в новое устойчивое положение, удаленное от исходного на конечное расстояние.

На рис. 1.13, в построены кривые нагрузка—перемещение для рассматриваемой системы при нескольких значениях начального угла отклонения .

По результатам анализа влияния начальных отклонений на поведение этой системы можно сделать следующие выводы. Во-первых, критическая точка бифуркации второго типа существующая только для предельно идеализированной системы, при любых не равных нулю значениях трансформируется в критическую предельную точку.

Во-вторых, при наличии начальных отклонений верхняя критическая нагрузка становится меньше значения, соответствующего точке бифуркации идеализированной системы.

Поведение значительно более сложных упругих систем аналогично поведению рассмотренных простейших систем с начальными несовершенствами. Так, если предельно идеализированная система без начальных несовершенств имеет критическую точку бифуркации первого типа, то поведение реальной системы с начальными несовершенствами вблизи этой точки бифуркации аналогично поведению первой из рассмотренных простейших систем (см. рис. 1.12). Если предельно идеализированная система без начальных несовершенств имеет критическую точку бифуркации второго типа, то поведение реальной системы вблизи этой точки бифуркации аналогично поведению второй из рассмотренных простейших систем (рис. 1.13).