Глава 2. Энергетический метод решения задач устойчивости

В данной главе показано, как с помощью энергетического метода можно исследовать устойчивость упругих систем с распределенными параметрами.

Дано обоснование двух вариантов записи энергетического критерия устойчивости упругих тел: через начальные напряжения и непосредственно через внешние нагрузки. Кроме того, в главе изложены основы метода Рэлея—Ритца и метода Галеркина применительно к задачам устойчивости упругих систем.

§ 8. Полная потенциальная энергия и условия равновесия упругого тела

Рассмотрим механическую систему, состоящую из упругого тела и приложенных к нему внешних «мертвых» сил, т. е. сил, сохраняющих величину и направление при деформациях системы; тело считаем закрепленным таким образом, что его перемещения как жесткого целого исключены (рис. 2.1). Полная потенциальная энергия такой консервативной системы в нагруженном состоянии определяется суммой

где U — потенциальная энергия деформации тела; П — потенциал внешних сил.

Рис. 2.1.

Потенциальная энергия, накапливаемая линейно упругим телом при деформации, подсчитывается по выражению, известному из курса сопротивления материалов:

где V — объем тела. В изотропном линейно-упругом теле компоненты напряжений и деформаций связаны законом Гука:

где Е — модуль ; — коэффициент Пуассона. Выразив напряжения через деформации, получим:

где и G — упругие постоянные Ляме, связанные с Е и соотношениями

В частности, для двухосного напряженного состояния при

Соотношения (2.4) позволяют представить выражение (2.2) в виде

В частном случае двухосного напряженного состояния при

Компоненты деформаций можно выразить через перемещения точек тела (рис. 2.1). В линейной теории упругости компоненты деформаций связаны с производными от перемещений линейными зависимостями

Подставив эти зависимости в формулу (2.7), можно получить выражение внутренней энергии деформации тела в виде квадратичного положительно определенного функционала, зависящего от производных перемещений .

Потенциал мертвых объемных и поверхностных сил с точностью до постоянного слагаемого, которое всюду опущено, равен

где первый интеграл берется по объему тела V, а второй — по той части поверхности тела к которой приложены внешние поверхностные нагрузки. Знаки минус перед интегралами соответствуют тому случаю, когда объемные и поверхностные силы направлены так же, как и перемещения . Следовательно, с ростом перемещений потенциал внешних сил уменьшается.

Согласно теореме Лагранжа состояние равновесия консервативной механической системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна [40]. Необходимое условие минимума полной энергии записывается в виде вариационного уравнения Лагранжа

Этим уравнением выражается условие стационарности полной потенциальной энергии механической системы в состоянии равновесия (не обязательно устойчивого!).

Рис. 2.2.

Для того чтобы состояние равновесия было устойчиво, кроме уравнения (2.11) должно выполняться условие

при любых возможных отклонениях системы от положения равновесия; откуда следует условие положительной определенности второй вариации полной потенциальной энергии системы (см. приложение II)

Вариационное уравнение Лагранжа несет большую информацию: из него можно получить дифференциальные уравнения равновесия тела и те граничные условия, которые могут быть заданы на поверхности тела.

Рассмотрим задачу поперечного изгиба балки под действием распределенной нагрузки. Распределенная погонная нагрузка q направлена в сторону положительных перемещений v (рис. 2.2, а). Поэтому потенциал внешних сил

(2.14)

Согласно гипотезе плоских сечений (рис. 2.2, б) при изгибе балки осевые перемещения равны

где у — координата, отсчитываемая от нейтральной оси балки; — угол поворота поперечного сечения. Относительная продольная деформация равна

где штрихом обозначено дифференцирование по . Согласно той же гипотезе углы сдвига равны нулю и

Пренебрегая нормальными напряжениями по сравнению с напряжениями , из выражения (2.2) и зависимостей закона Гука (2.3) получаем

Заметим, что в это выражение не вошли касательные напряжения , ибо по гипотезе плоских сечений . Подставим значение из формулы (2.15), тогда

Интеграл, стоящий в квадратных скобках, берется по площади поперечного сечения и равен моменту инерции сечения балки . Выразив угол поворота сечения через угол наклона касательной к упругой оси балки с помощью формулы (2.16), запишем

Итак, полная потенциальная энергия нагруженной балки равна

Из вариационного уравнения Лагранжа (2.11) следует, что

Путем двухкратного интегрирования по частям преобразуем определенный интеграл и получим

Откуда следует дифференциальное уравнение поперечного изгиба балки

а также возможные для этого уравнения граничные условия при :

Рис. 2.3.

Поскольку для балки , где М — внутренний изгибающий момент, Q — внутренняя поперечная сила, граничные условия можно записать в следующем виде:

Форма равновесия изогнутой балки устойчива, поскольку вторая вариация полной потенциальной энергии положительна:

(Заметим, что если не ограничиться рассмотрением изгиба балки только в плоскости главного момента инерции и в число варьируемых перемещений включить закручивание балки вокруг ее оси и поперечное перемещение в плоскости, перпендикулярной плоскости действия нагрузки q, то можно обнаружить, что при некоторых условиях плоская форма изгиба балки становится неустойчивой).

В качестве второго примера рассмотрим задачу поперечного изгиба тонкой пластины. Пластину толщиной h отнесем к прямоугольной системе координат так, чтобы координатная плоскость совпала со срединной плоскостью пластины (рис. 2.3, а). При малых прогибах пластины ее срединную плоскость можно считать нерастяжимой.

Согласно основной гипотезе тонких пластин нормаль к недеформированной срединной плоскости при изгибе пластины не искривляется и остается нормалью к деформированной срединной поверхности пластины. При этом нормаль наклоняется в плоскости, параллельной координатной плоскости , на угол , и в плоскости, параллельной координатной плоскости , на угол.

При наклоне нормали ее точка А, находящаяся на расстоянии z от срединной плоскости, получает перемещения

Эти перемещения вызывают деформацию слоя пластины, отстоящего на расстоянии z от срединной плоскости. В соответствии с формулами (2.9) компоненты деформаций равны

Пренебрегая нормальными напряжениями в площадках, параллельных срединной плоскости, напряженное состояние изогнутой пластины можно считать двухосным. Тогда по формуле (2.8) получим

Проинтегрируем по толщине пластины, перегруппируем слагаемые в квадратных скобках и введем обозначение цилиндрической жесткости пластины . Тогда

Потенциал внешних сил, очевидно, равен

где — действующая на пластину распределенная поверхностная нагрузка.

Складывая U и П, находим полную потенциальную энергию

Из условия стационарности этого выражения можно получить дифференциальное уравнение изгиба пластины и те граничные условия, какие могут быть заданы на контуре пластины. Уравнение Эйлера для функционала энергии (2.20) имеет вид (см. приложение II)

где F — подынтегральное выражение в этом функционале.

В частности, для пластины постоянной толщины уравнение Эйлера принимает вид

откуда получаем уравнение поперечного изгиба тонкой пластины

где — оператор Лапласа,

В задаче поперечного изгиба упругих пластин вместо уравнения Эйлера можно пользоваться вариационным уравнением Лагранжа (2.11). Тогда, выполнив действия, аналогичные тем, которые указаны для балки, можно получить уравнение (2.21) и граничные условия, которые могут быть заданы на контуре пластины. Такой путь исследования изгиба пластин подробно изложен, например, в работе [12].