§ 22. Решение основного уравнения для круглых пластин

В случае осесимметричного начального напряженного состояния круглой пластины, когда , а начальные усилия являются функциями только радиуса , интегрирование общего уравнения (4.33) сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В полярной системе координат основное линеаризованное уравнение для пластины, нагруженной контурными внешними усилиями, принимает вид (см. § 20)

В это уравнение входят только четные производные по окружной координате 0, поэтому решение уравнения (4.48) можно найти в виде ряда

где — некоторые функции координаты . При этом граничные условия могут быть произвольными, но неизменными по всему контуру пластины.

Подстановка выражения (4.49) в уравнение (4.48) приводит к системе обыкновенных независимых дифференциальных уравнений

Решения этих уравнений, удовлетворяющие заданным граничным условиям, дают собственные функции и собственные значения задачи; наименьшее из собственных значений параметра нагрузки будет критическим.

Уравнение (4.50) наиболее просто интегрируются при постоянных сжимающих начальных усилиях (рис. 4.13):

Рис. 4.13.

Рис. 4.14.а, б.

Рис. 4.14.в.

В этом случае уравнения (4.50) будут иметь вид

где .

При осесимметричной форме потери устойчивости (при решение уравнения (4.51) имеет вид

при неосесимметричной форме потери устойчивости, когда ,

где — функции Бесселя первого и второго рода; эти функции табулированы. Дальнейшее решение задачи не вызывает никаких трудностей. Рассмотрим несколько примеров.

Сплошная пластина равномерно сжата по контуру (рис. 4.14). Независимо от способа закрепления контура прогибы и углы поворота в центре сплошной пластины не должны обращаться в бесконечность. Поэтому для осесимметричной и неосесимметричной форм потери устойчивости необходимо принять , так как при Необращающиеся в бесконечность при решения для сплошной пластины как при осесимметричной, так и при неосесимметричной форме потери устойчивости имеют вид

Если контур пластины защемлен (рис. 14,4, а), то граничные условия на этом контуре при . Соответственно граничные условия для . Здесь штрихом обозначено дифференцирование по .

Подчиняя решение (4.52) этим граничным условиям, получаем однородную систему уравнений относительно произвольных постоянных :

Равенство нулю определителя этой системы дает уравнение

Функции Бесселя первого рода связаны между собой дифференциальным соотношением

Поэтому

При из уравнения (4.53) получим

Корни полученного характеристического уравнения приводят к собственным значениям параметра k, связанного с внешним усилием q. Для определения критической нагрузки необходимо вычислить наименьшее собственное значение параметра к, поэтому для каждого достаточно найти первый корень уравнения (4.54). Так, для находим для — первый корень и т. д. Следовательно, для сплошной пластины с защемленным наружным контуром наименьшее собственное значение дает первый корень уравнения (4.54) при , т. е.

Потеря устойчивости защемленной по контуру пластины происходит по осесимметричной форме и вид изогнутой срединной поверхности (рис. 4.14, а) описывается (с точностью до постоянного множителя) функцией, получаемой из (4.52) при :

поскольку из первого граничного условия при следует

Если край пластины свободно оперт (рис. 4.14, б), то при граничные условия: приводят к граничным условиям для функций

Подчинение решения (4.52) этим граничным условиям снова приводит к однородной системе уравнений относительно неизвестных и . Несложный анализ, подобный проведенному выше, показывает, что потеря устойчивости свободно опертой пластины тоже происходит по осесимметричной форме, поскольку именно этой форме прогиба пластины соответствует наименьшее собственное значение . Критическая нагрузка

В отличие от случая защемленной пластины для свободно опертой пластины коэффициент К. зависит от коэффициента Пуассона , который входит во второе граничное условие. При коэффициент .

Аналогичное решение нетрудно получить и в случае упругого закрепления контура пластины. Причем окончательную расчетную формулу можно привести к виду (4.56), где К изменяется в зависимости от жесткости упругой заделки в пределах от 14,68 (абсолютно жесткая заделка) до 4,2 (свободное опирание при ).

Устойчивость равномерно сжатых кольцевых пластин (рис. ) тоже может быть исследована с помощью уравнения (4.51). Но в этом случае решение получается значительно более громоздким: в выражениях для остаются все четыре произвольные постоянные и подчинение этих выражений граничным условиям на внутреннем и наружном контурах пластины приводит к системе четырех однородных уравнений. Окончательный результат представляется тоже в виде формулы (4.56). В этой формуле для кольцевых пластин коэффициент зависит не только от граничных условий, но и от отношения внутреннего и наружного радиусов. Значения коэффициента К для всех практических интересных случаев табулированы [33, 351.

Температурные задачи устойчивости круглых пластин. Линеаризованные уравнения дают возможность найти критический уровень внутренних начальных усилий, независимо от того, какими причинами эти усилия вызваны (наоборот, в закритической области поведение пластины определяется характером внешних причин, приведших к потере устойчивости). Поэтому при осесимметричном нагреве круглой пластины исследование устойчивости плоского состояния равновесия можно проводить с помощью уравнения (4.50).

Начальные внутренние усилия и должны быть определены с учетом нагрева пластины.

Рассмотрим наиболее простой случай температурной потери устойчивости пластины. Круглая тонкая пластина равномерно нагревается вместе с массивной обоймой (рис. 4.14, в). Температурные коэффициенты линейного расширения материалов пластины и обоймы соответственно равны . Температура отсчитывается от температуры того начального состояния, при котором радиальный зазор между пластиной и обоймой отсутствует, а контактное усилие равно нулю. Когда , при нагреве между пластиной и обоймой возникает контактное усилие , равномерно сжимающее пластину (если , то сжимающее контактное усилие возникает при охлаждении).

В силу симметрии задачи нагреваемой пластине

Если обойму считать жесткой и пренебречь ее деформацией от контактного усилия , то, приравнивая температурные окружные удлинения обоймы окружным удлинениям пластины, получаем

где и — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины, причем в данном случае без усложнения задачи можно считать их изменяющимися с температурой.

Для определения критического значения можно воспользоваться формулой (4.56):

Откуда следует, что

Значение коэффициента К зависит от способа закрепления пластины в обойме (свободное опирание, защемление, упругая заделка).

Примечательно, что в окончательную формулу для не входит модуль упругости материала пластины.

Этот способ используют и для решения более сложных температурных задач устойчивости круглых осесимметрично нагретых пластины.

Сначала из решения задачи термоупругости определяют усилия и , а затем находят наименьшее собственное значение уравнения (4.50). Однако точные решения подобных задач удается найти в исключительных случаях 1101. В общем случае решение получают приближенным методом.

В заключение заметим, что решение задач устойчивости осесимметричной ортотропной пластины переменной толщины при осесимметричном начальном напряженном состоянии тоже можно искать в виде (4.49). В этом случае интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым сводится решение основного линеаризованного уравнения, может быть выполнено методом начальных параметров [12, 18]. Схема интегрирования аналогична схеме интегрирования основного линеаризованного уравнения для прямого стержня, описанной в § 13.