Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 22. Решение основного уравнения для круглых пластинВ случае осесимметричного начального напряженного состояния круглой пластины, когда
В это уравнение входят только четные производные по окружной координате 0, поэтому решение уравнения (4.48) можно найти в виде ряда
где Подстановка выражения (4.49) в уравнение (4.48) приводит к системе обыкновенных независимых дифференциальных уравнений
Решения этих уравнений, удовлетворяющие заданным граничным условиям, дают собственные функции и собственные значения задачи; наименьшее из собственных значений параметра нагрузки будет критическим. Уравнение (4.50) наиболее просто интегрируются при постоянных сжимающих начальных усилиях
Рис. 4.13.
Рис. 4.14.а, б.
Рис. 4.14.в. В этом случае уравнения (4.50) будут иметь вид
где При осесимметричной форме потери устойчивости (при
при неосесимметричной форме потери устойчивости, когда
где Сплошная пластина равномерно сжата по контуру (рис. 4.14). Независимо от способа закрепления контура прогибы и углы поворота в центре сплошной пластины не должны обращаться в бесконечность. Поэтому для осесимметричной и неосесимметричной форм потери устойчивости необходимо принять
Если контур пластины защемлен (рис. 14,4, а), то граничные условия на этом контуре при Подчиняя решение (4.52) этим граничным условиям, получаем однородную систему уравнений относительно произвольных постоянных
Равенство нулю определителя этой системы дает уравнение
Функции Бесселя первого рода связаны между собой дифференциальным соотношением
Поэтому
При
Корни полученного характеристического уравнения приводят к собственным значениям параметра k, связанного с внешним усилием q. Для определения критической нагрузки необходимо вычислить наименьшее собственное значение параметра к, поэтому для каждого
Потеря устойчивости защемленной по контуру пластины происходит по осесимметричной форме и вид изогнутой срединной поверхности (рис. 4.14, а) описывается (с точностью до постоянного множителя) функцией, получаемой из (4.52) при
поскольку из первого граничного условия при
Если край пластины свободно оперт (рис. 4.14, б), то при
Подчинение решения (4.52) этим граничным условиям снова приводит к однородной системе уравнений относительно неизвестных
В отличие от случая защемленной пластины для свободно опертой пластины коэффициент К. зависит от коэффициента Пуассона Аналогичное решение нетрудно получить и в случае упругого закрепления контура пластины. Причем окончательную расчетную формулу можно привести к виду (4.56), где К изменяется в зависимости от жесткости упругой заделки в пределах от 14,68 (абсолютно жесткая заделка) до 4,2 (свободное опирание при Устойчивость равномерно сжатых кольцевых пластин (рис. Температурные задачи устойчивости круглых пластин. Линеаризованные уравнения дают возможность найти критический уровень внутренних начальных усилий, независимо от того, какими причинами эти усилия вызваны (наоборот, в закритической области поведение пластины определяется характером внешних причин, приведших к потере устойчивости). Поэтому при осесимметричном нагреве круглой пластины исследование устойчивости плоского состояния равновесия можно проводить с помощью уравнения (4.50). Начальные внутренние усилия Рассмотрим наиболее простой случай температурной потери устойчивости пластины. Круглая тонкая пластина равномерно нагревается вместе с массивной обоймой (рис. 4.14, в). Температурные коэффициенты линейного расширения материалов пластины и обоймы соответственно равны В силу симметрии задачи
Если обойму считать жесткой и пренебречь ее деформацией от контактного усилия
где Для определения критического значения
Откуда следует, что
Значение коэффициента К зависит от способа закрепления пластины в обойме (свободное опирание, защемление, упругая заделка). Примечательно, что в окончательную формулу для Этот способ используют и для решения более сложных температурных задач устойчивости круглых осесимметрично нагретых пластины. Сначала из решения задачи термоупругости определяют усилия В заключение заметим, что решение задач устойчивости осесимметричной ортотропной пластины переменной толщины при осесимметричном начальном напряженном состоянии тоже можно искать в виде (4.49). В этом случае интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым сводится решение основного линеаризованного уравнения, может быть выполнено методом начальных параметров [12, 18]. Схема интегрирования аналогична схеме интегрирования основного линеаризованного уравнения для прямого стержня, описанной в § 13.
|
1 |
Оглавление
|