Главная > Основы расчета на устойчивость упругих систем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 22. Решение основного уравнения для круглых пластин

В случае осесимметричного начального напряженного состояния круглой пластины, когда , а начальные усилия являются функциями только радиуса , интегрирование общего уравнения (4.33) сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В полярной системе координат основное линеаризованное уравнение для пластины, нагруженной контурными внешними усилиями, принимает вид (см. § 20)

В это уравнение входят только четные производные по окружной координате 0, поэтому решение уравнения (4.48) можно найти в виде ряда

где — некоторые функции координаты . При этом граничные условия могут быть произвольными, но неизменными по всему контуру пластины.

Подстановка выражения (4.49) в уравнение (4.48) приводит к системе обыкновенных независимых дифференциальных уравнений

Решения этих уравнений, удовлетворяющие заданным граничным условиям, дают собственные функции и собственные значения задачи; наименьшее из собственных значений параметра нагрузки будет критическим.

Уравнение (4.50) наиболее просто интегрируются при постоянных сжимающих начальных усилиях (рис. 4.13):

Рис. 4.13.

Рис. 4.14.а, б.

Рис. 4.14.в.

В этом случае уравнения (4.50) будут иметь вид

где .

При осесимметричной форме потери устойчивости (при решение уравнения (4.51) имеет вид

при неосесимметричной форме потери устойчивости, когда ,

где функции Бесселя первого и второго рода; эти функции табулированы. Дальнейшее решение задачи не вызывает никаких трудностей. Рассмотрим несколько примеров.

Сплошная пластина равномерно сжата по контуру (рис. 4.14). Независимо от способа закрепления контура прогибы и углы поворота в центре сплошной пластины не должны обращаться в бесконечность. Поэтому для осесимметричной и неосесимметричной форм потери устойчивости необходимо принять , так как при Необращающиеся в бесконечность при решения для сплошной пластины как при осесимметричной, так и при неосесимметричной форме потери устойчивости имеют вид

Если контур пластины защемлен (рис. 14,4, а), то граничные условия на этом контуре при . Соответственно граничные условия для . Здесь штрихом обозначено дифференцирование по .

Подчиняя решение (4.52) этим граничным условиям, получаем однородную систему уравнений относительно произвольных постоянных :

Равенство нулю определителя этой системы дает уравнение

Функции Бесселя первого рода связаны между собой дифференциальным соотношением

Поэтому

При из уравнения (4.53) получим

Корни полученного характеристического уравнения приводят к собственным значениям параметра k, связанного с внешним усилием q. Для определения критической нагрузки необходимо вычислить наименьшее собственное значение параметра к, поэтому для каждого достаточно найти первый корень уравнения (4.54). Так, для находим для — первый корень и т. д. Следовательно, для сплошной пластины с защемленным наружным контуром наименьшее собственное значение дает первый корень уравнения (4.54) при , т. е.

Потеря устойчивости защемленной по контуру пластины происходит по осесимметричной форме и вид изогнутой срединной поверхности (рис. 4.14, а) описывается (с точностью до постоянного множителя) функцией, получаемой из (4.52) при :

поскольку из первого граничного условия при следует

Если край пластины свободно оперт (рис. 4.14, б), то при граничные условия: приводят к граничным условиям для функций

Подчинение решения (4.52) этим граничным условиям снова приводит к однородной системе уравнений относительно неизвестных и . Несложный анализ, подобный проведенному выше, показывает, что потеря устойчивости свободно опертой пластины тоже происходит по осесимметричной форме, поскольку именно этой форме прогиба пластины соответствует наименьшее собственное значение . Критическая нагрузка

В отличие от случая защемленной пластины для свободно опертой пластины коэффициент К. зависит от коэффициента Пуассона , который входит во второе граничное условие. При коэффициент .

Аналогичное решение нетрудно получить и в случае упругого закрепления контура пластины. Причем окончательную расчетную формулу можно привести к виду (4.56), где К изменяется в зависимости от жесткости упругой заделки в пределах от 14,68 (абсолютно жесткая заделка) до 4,2 (свободное опирание при ).

Устойчивость равномерно сжатых кольцевых пластин (рис. ) тоже может быть исследована с помощью уравнения (4.51). Но в этом случае решение получается значительно более громоздким: в выражениях для остаются все четыре произвольные постоянные и подчинение этих выражений граничным условиям на внутреннем и наружном контурах пластины приводит к системе четырех однородных уравнений. Окончательный результат представляется тоже в виде формулы (4.56). В этой формуле для кольцевых пластин коэффициент зависит не только от граничных условий, но и от отношения внутреннего и наружного радиусов. Значения коэффициента К для всех практических интересных случаев табулированы [33, 351.

Температурные задачи устойчивости круглых пластин. Линеаризованные уравнения дают возможность найти критический уровень внутренних начальных усилий, независимо от того, какими причинами эти усилия вызваны (наоборот, в закритической области поведение пластины определяется характером внешних причин, приведших к потере устойчивости). Поэтому при осесимметричном нагреве круглой пластины исследование устойчивости плоского состояния равновесия можно проводить с помощью уравнения (4.50).

Начальные внутренние усилия и должны быть определены с учетом нагрева пластины.

Рассмотрим наиболее простой случай температурной потери устойчивости пластины. Круглая тонкая пластина равномерно нагревается вместе с массивной обоймой (рис. 4.14, в). Температурные коэффициенты линейного расширения материалов пластины и обоймы соответственно равны . Температура отсчитывается от температуры того начального состояния, при котором радиальный зазор между пластиной и обоймой отсутствует, а контактное усилие равно нулю. Когда , при нагреве между пластиной и обоймой возникает контактное усилие , равномерно сжимающее пластину (если , то сжимающее контактное усилие возникает при охлаждении).

В силу симметрии задачи нагреваемой пластине

Если обойму считать жесткой и пренебречь ее деформацией от контактного усилия , то, приравнивая температурные окружные удлинения обоймы окружным удлинениям пластины, получаем

где и — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины, причем в данном случае без усложнения задачи можно считать их изменяющимися с температурой.

Для определения критического значения можно воспользоваться формулой (4.56):

Откуда следует, что

Значение коэффициента К зависит от способа закрепления пластины в обойме (свободное опирание, защемление, упругая заделка).

Примечательно, что в окончательную формулу для не входит модуль упругости материала пластины.

Этот способ используют и для решения более сложных температурных задач устойчивости круглых осесимметрично нагретых пластины.

Сначала из решения задачи термоупругости определяют усилия и , а затем находят наименьшее собственное значение уравнения (4.50). Однако точные решения подобных задач удается найти в исключительных случаях 1101. В общем случае решение получают приближенным методом.

В заключение заметим, что решение задач устойчивости осесимметричной ортотропной пластины переменной толщины при осесимметричном начальном напряженном состоянии тоже можно искать в виде (4.49). В этом случае интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым сводится решение основного линеаризованного уравнения, может быть выполнено методом начальных параметров [12, 18]. Схема интегрирования аналогична схеме интегрирования основного линеаризованного уравнения для прямого стержня, описанной в § 13.

1
Оглавление
email@scask.ru