Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 22. Решение основного уравнения для круглых пластинВ случае осесимметричного начального напряженного состояния круглой пластины, когда
В это уравнение входят только четные производные по окружной координате 0, поэтому решение уравнения (4.48) можно найти в виде ряда
где Подстановка выражения (4.49) в уравнение (4.48) приводит к системе обыкновенных независимых дифференциальных уравнений
Решения этих уравнений, удовлетворяющие заданным граничным условиям, дают собственные функции и собственные значения задачи; наименьшее из собственных значений параметра нагрузки будет критическим. Уравнение (4.50) наиболее просто интегрируются при постоянных сжимающих начальных усилиях
Рис. 4.13.
Рис. 4.14.а, б.
Рис. 4.14.в. В этом случае уравнения (4.50) будут иметь вид
где При осесимметричной форме потери устойчивости (при
при неосесимметричной форме потери устойчивости, когда
где Сплошная пластина равномерно сжата по контуру (рис. 4.14). Независимо от способа закрепления контура прогибы и углы поворота в центре сплошной пластины не должны обращаться в бесконечность. Поэтому для осесимметричной и неосесимметричной форм потери устойчивости необходимо принять
Если контур пластины защемлен (рис. 14,4, а), то граничные условия на этом контуре при Подчиняя решение (4.52) этим граничным условиям, получаем однородную систему уравнений относительно произвольных постоянных
Равенство нулю определителя этой системы дает уравнение
Функции Бесселя первого рода связаны между собой дифференциальным соотношением
Поэтому
При
Корни полученного характеристического уравнения приводят к собственным значениям параметра k, связанного с внешним усилием q. Для определения критической нагрузки необходимо вычислить наименьшее собственное значение параметра к, поэтому для каждого
Потеря устойчивости защемленной по контуру пластины происходит по осесимметричной форме и вид изогнутой срединной поверхности (рис. 4.14, а) описывается (с точностью до постоянного множителя) функцией, получаемой из (4.52) при
поскольку из первого граничного условия при
Если край пластины свободно оперт (рис. 4.14, б), то при
Подчинение решения (4.52) этим граничным условиям снова приводит к однородной системе уравнений относительно неизвестных
В отличие от случая защемленной пластины для свободно опертой пластины коэффициент К. зависит от коэффициента Пуассона Аналогичное решение нетрудно получить и в случае упругого закрепления контура пластины. Причем окончательную расчетную формулу можно привести к виду (4.56), где К изменяется в зависимости от жесткости упругой заделки в пределах от 14,68 (абсолютно жесткая заделка) до 4,2 (свободное опирание при Устойчивость равномерно сжатых кольцевых пластин (рис. Температурные задачи устойчивости круглых пластин. Линеаризованные уравнения дают возможность найти критический уровень внутренних начальных усилий, независимо от того, какими причинами эти усилия вызваны (наоборот, в закритической области поведение пластины определяется характером внешних причин, приведших к потере устойчивости). Поэтому при осесимметричном нагреве круглой пластины исследование устойчивости плоского состояния равновесия можно проводить с помощью уравнения (4.50). Начальные внутренние усилия Рассмотрим наиболее простой случай температурной потери устойчивости пластины. Круглая тонкая пластина равномерно нагревается вместе с массивной обоймой (рис. 4.14, в). Температурные коэффициенты линейного расширения материалов пластины и обоймы соответственно равны В силу симметрии задачи
Если обойму считать жесткой и пренебречь ее деформацией от контактного усилия
где Для определения критического значения
Откуда следует, что
Значение коэффициента К зависит от способа закрепления пластины в обойме (свободное опирание, защемление, упругая заделка). Примечательно, что в окончательную формулу для Этот способ используют и для решения более сложных температурных задач устойчивости круглых осесимметрично нагретых пластины. Сначала из решения задачи термоупругости определяют усилия В заключение заметим, что решение задач устойчивости осесимметричной ортотропной пластины переменной толщины при осесимметричном начальном напряженном состоянии тоже можно искать в виде (4.49). В этом случае интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым сводится решение основного линеаризованного уравнения, может быть выполнено методом начальных параметров [12, 18]. Схема интегрирования аналогична схеме интегрирования основного линеаризованного уравнения для прямого стержня, описанной в § 13.
|
1 |
Оглавление
|