§ 21. Решение основного уравнения для прямоугольных пластин

Уравнение в частных производных с переменными коэффициентами не удается проинтегрировать в общем виде, но для нескольких практически важных случаев уравнение (4.33) допускает точное решение.

Сначала рассмотрим простейший из таких случаев — устойчивость удлиненной пластины, равномерно сжатой в поперечном направлении (рис. 4.8, а). Граничные условия вдоль удлиненных сторон произвольны, но неизменны вдоль всей пластины. Размеры пластины в продольном направлении считаем настолько большими, что условия закрепления коротких сторон пластины не играют никакой роли (ниже дана оценка той длины пластины, начиная с которой можно пренебречь влиянием закреплений коротких сторон пластины).

Предварительно решим вспомогательную задачу по определению усилий в срединной плоскости пластины. Если считать, что на длинных кромках не накладывается никаких ограничений на перемещения , то решение этой задачи очевидно:

Рис. 4.8.а.

Рис. 4.8.б, в.

Тогда уравнение (4.33) принимает вид

Для рассматриваемой удлиненной пластины можно предположить, что при потере устойчивости изгиб происходит по цилиндрической поверхности . Тогда уравнение в частных производных переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение

С точностью до обозначений оно тождественно линеаризованному уравнению для прямого стержня постоянной изгибной жесткости , сжатого продольной силой Р (см. § 13):

Такое совпадение достаточно очевидно: задача об устойчивости пластины в рассматриваемом случае эквивалентна задаче об устойчивости полоски единичной ширины (рис. 4.8, б) с изгибной жесткостью , сжатой продольной силой .

Решения уравнения, полученные для стержня, можно перенести на рассматриваемую задачу устойчивости удлиненной пластины. В частности, если продольные края пластины свободно оперты, то можно записать . Наименьшее собственное значение, равное критическому значению нагрузки, получим при

При этом форма изогнутой поверхности пластины при потере устойчивости описывается (с точностью до масштаба) зависимостью .

При других условиях закрепления продольных сторон пластины, как и для стержня постоянной изгибной жесткости, получим

(4.38а)

где С — коэффициент, который находят из решения соответствующей задачи для стержня (см. § 13). Первая собственная функция задачи устойчивости стержня дает форму изогнутой поверхности пластины при потере устойчивости.

В задачах устойчивости пластин результаты принято представлять в виде не критических нагрузок, а критических напряжений.

Так, в рассматриваемой задаче результат можно выразить через критические сжимающие напряжения

На эту формулу следует обратить особое внимание, так как из нее особенно хорошо видно, что потеря устойчивости тонких пластин при малых значениях отношения может происходить при низких напряжениях.

Переходя к другим случаям точного интегрирования основного линеаризованного уравнения, заметим, что решение, полученное для удлиненной пластины можно использовать и для пластины конечных размеров с двумя свободными краями (рис. 4.8, в). В этом случае с достаточной степенью точности можно принять . Однако граничные условия на свободных краях не будут точно удовлетворены. При это не повлияет на значения критических нагрузок.

Для прямоугольной пластины с конечным отношением сторон основное линеаризованное уравнение (4.33) допускает точное решение при следующих условиях.

1. Начальное напряженное состояние однородно:

2. Две противоположные стороны пластины (например, при ) свободно оперты, а граничные условия на двух других сторонах произвольны, но неизменны вдоль каждой из сторон.

В этом случае основное линеаризованное уравнение (4.33) принимает вид

Граничные условия при .

Поэтому решение уравнения (4.40) можно найти в следующей форме:

где — функции одной независимой переменной у. Подставив этот ряд в уравнение (4.40), после сокращения на получим систему обыкновенных независимых дифференциальных уравнений для функций

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по у.

Группируя соответствующие производные, можно записать

Решение этого однородного уравнения с постоянными коэффициентами не составляет принципиальных трудностей. Заметим, что аналогичное уравнение встречалось при исследовании устойчивости прямых стержней, связанных с упругим основанием (см. § 15).

Характеристическое уравнение имеет вид

откуда для каждого значения получаются четыре корня:

Общее решение уравнения (4.41) для каждого из значений будет

Подчиняя это решение четырем однородным граничным условиям (по два граничных условия на каждой из сторон пластины, параллельных оси ), получаем систему четырех однородных линейных уравнений относительно четырех неизвестных . Равенство нулю определителя этой системы приводит к уравнению, дающему возможность найти собственные значения задачи. Перебирая различные числа полуволн , находим то из них, которое приводит к наименьшему собственному значению задачи. Оно будет критическим. Рассмотрим подробнее несколько частных случаев.

Рис. 4.9.

Пластина равномерно сжата в одном направлении (рис. 4.9, а). В этом случае . Учитывая зависимость (4.38) и предполагая, что при закреплении краев пластины и повышается значение получаем неравенство

Тогда решение уравнения (4.41) для каждого можно представить в таком виде:

где

Заметим, что неравенство (4.42) может не выполняться только в тех редких случаях, когда края пластины, параллельные оси , соединены с более «слабыми» сжатыми элементами. Например, неравенство (4.42) может не выполняться для пластины, один край которой свободен, а другой соединен с более тонкой пластиной, сжатой в направлении оси х.

Рассмотрим устойчивость прямоугольной пластины, свободно опертой по всему контуру. Граничные условия при и :

(4.44)

В данном случае нетрудно предугадать решение уравнения (4.41), удовлетворяющее граничным условиям опирания, как это сделано в § 15 для шарнирно-опертого стержня на упругом основании. Для всех других вариантов граничных условий такое угадывание невозможно. Поэтому получим решение задачи устойчивости свободно опертой пластины общим путем, справедливым для всех других пластин, сжатых в одном направлении и свободно опертых вдоль краев .

Подчинение общего решения (4.43) граничным условиям (4.44) приводит к системе четырех уравнений для каждого :

Для действительных значений два первых уравнения дают . Тогда оставшиеся два уравнения принимают вид

Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получаем .

Поскольку — действительные величины, из этого равенства следует, что . Тогда . Таким образом, отличные от тождественного нуля и удовлетворяющие всем граничным условиям решения возможны только при , т. е. при , и имеют вид (для каждого )

Используя формулу для , получаем собственные значения нагрузки :

и находим собственные функции задачи

На рис. 4.9, а и б показан вид функций .

Для определения критического значения нагрузки необходимо выяснить, при каких дияпо формуле (4.45) можно найти наименьшее значение .

Рис. 4.10.

Так как число полуволн входит только в числитель, то, очевидно, наименьшее значение может быть при . Учитывая это, перепишем формулу (4.45):

Дальнейший анализ удобно проводить с помощью графиков, аналогичных тем, которые использовались при исследовании задачи устойчивости стержня, связанного с упругим основанием (стр. 101). Последовательно принимая и т. д., получаем

На рис. 4.10, а приведены соответствующие графики. Участки кривых, лежащие ниже точек пересечения, будут давать наименьшие и, следовательно, критические значения . Приравнивая значения , нетрудно установить, что соответствующие им кривые пересекаются при .

Окончательный результат обычно представляют в виде

или через критические сжимающие напряжения

(4.46а)

где — коэффициент, зависящий от отношения сторон пластины (рис. 4.10, а, сплошная линия).

В последних двух формулах в качестве характерного размера пластины принята ширина , а не длина а, как это сделано в формуле (4.38). Такая запись расчетных формул удобна при , когда размер b существенно влияет на критические значения нагрузки.

Если (пластина сжата вдоль сторон), то расчетные формулы удобнее представить в виде (при ):

или

Из последних зависимостей, в частности, видно, что если ограничиться точностью порядка 5%, то примерно при влиянием закреплений коротких сторон пластины можно пренебречь и расчет вести по формуле (4.38).

При коэффициент практически перестает изменяться с ростом отношения тогда можно принять .

В этом случае число полуволн , образующихся при потере устойчивости пластины на ее поверхности, примерно равно отношению . Таким образом, удлиненная пластина при потере устойчивости как бы делится на ряд квадратных свободно опертых по всему контуру пластин (рис. 4.10, б), для каждой из которых Тогда становится ясным, что увеличение размера путем «наращивания» квадратных пластин не приводит к изменению критической нагрузки.

В такой же последовательности с использованием зависимости (4.43) решают задачи устойчивости пластин при любых других вариантах закрепления краев том числе и при упругом закреплении, при условии, что по краям пластина свободно оперта, выполняется неравенство (4.42) и . Окончательные расчетные формулы имеют вид (4.46), но коэффициенты в этих формулах иные. На рис. 4.11 приведены зависимости коэффициентов Для основных вариантов закрепления краев пластины. Следует отметить, что при неподвижно закрепленных относительно поперечного прогиба w краях пластины коэффициент Пуассона не входит в граничные условия. Поэтому коэффициенты не зависят от . Но для пластин с одним свободным краем (две нижние кривые на рис. 4.11) коэффициент Пуассона непосредственно фигурирует в граничных условиях. Поэтому для пластин со свободным краем коэффициенты зависят от и, приводя конкретные числовые значения этих коэффициентов, следует указывать, для каких значений они получены.

В заключение заметим, что при выполнении граничных условий свободного опирания по краям аналогичное решение можно получить и в случае ; только вместо представления решения в виде (4.43) нужно пользоваться общим решением уравнения (4.41).

Рис. 4.11.

Рассмотрим прямоугольную пластину, равномерно сжатую в двух направлениях (рис. 4.12, а). В том случае, когда и выполняются граничные условия рассмотренной сейчас задачи, можно применять намеченную выше общую схему решения. Для упрощения расчетов ограничимся решением задачи устойчивости прямоугольной пластины, свободно опертой по всему контуру. Для такой пластины, равномерно сжатой в одном направлении, выше найдена система собственных функций. В рассматриваемом случае решение уравнения (4.40) можно искать в виде

Система найденных собственных функций полная, поэтому, разыскивая решение в таком виде, можем быть уверены в том, что получим все собственные функции решаемой задачи.

Подставив в уравнение (4.40) и сократив произведение , входящее во все слагаемые, получим уравнение

Для возможности существования , не равного нулю, выражение в фигурных скобках должно быть равно нулю. Это условие дает выражение, определяющее собственные значения задачи

Рассмотрим несколько частных случаев. Например, при из (4.47) получим собственные значения

Очевидно, наименьшее собственное значение, равное критическому, будет при следовательно,

Независимо от отношения сторон пластины она будет терять устойчивость по форме

В частности, для квадратной пластины при

При сжатии квадратной пластины равными усилиями в двух направлениях оказывается в 2 раза меньше по сравнению с в случае сжатия пластины в одном направлении.

Рис. 4.12.

Если сжимающие нагрузки считать возрастающими пропорционально одному параметру и обозначить , где — фиксированная величина, то из выражения (4.47) можно получить следующие собственные значения задачи:

При наименьшее значение может быть только при . Следовательно,

где

Для каждого отношения сторон и каждого значения число полуволн следует подбирать из условия минимума , подобно тому, как это делалось для пластины, сжатой в одном направлении. Для удлиненной пластины при сжатие в направлении у не будет влиять на устойчивость пластины. В этом случае, как при сжатии в одном направлении, получаем .

При других граничных условиях решение получается значительно более громоздким, но результаты качественно аналогичны полученным выше: для пластины с конечным отношением сторон при сжатии в одном направлении уменьшаются критические усилия в другом направлении, а для удлиненных пластин сжатие в продольном направлении не влияет на критические усилия сжатия в поперечном направлении.

Если прямоугольная пластина равномерно сжата в одном направлении и равномерно растянута в другом направлении, т. е. если , то для пластины со свободно опертым контуром можно воспользоваться результатами решения предыдущей задачи. Для этого достаточно изменить знак в выражении (4.47):

При получаем собственные значения

В частности, для квадратной пластины при

Наименьшее значение может быть только при . Далее необходимо подобрать значение , обеспечивающее наименьшее собственное значение нагрузки. Последовательно принимая , получаем .

Следовательно, для квадратной пластины, сжатой в одном направлении и растянутой в другом равными по абсолютной величине усилиями ,

Потеря устойчивости происходит по форме

Подобный анализ нетрудно провести и для любого другого отношения сторон пластины и при любых соотношениях между сжимающей и растягивающей нагрузками. Во всех случаях для пластин с конечным отношением сторон при растяжении в направлении одной оси увеличиваются критические значения сжимающей нагрузки в направлении другой оси. Исключение составляет случай потери устойчивости пластины по развертывающейся поверхности (удлиненная пластина и пластина с двумя свободными краями). При этом растягивающие усилия не влияют на критические сжимающие усилия и при любых растягивающих усилиях можно пользоваться формулой (4.38).

Результаты решения двух последних задач можно объединить одним графиком, дающим критические сочетания как сжимающих, так и растягивающих усилий . Для квадратной пластины такой график приведен на рис. 4.12, б. Участки прямых, показанные сплошной линией характеризуют критическое сочетание безразмерных усилий ломаная линия, состоящая из этих участков, ограничивает область устойчивости рассматриваемой пластины при комбинированном нагружении усилиями (см. § 6). Величины равны критическим нагрузкам при сжатии в направлении оси или у и определяются формулой (4.46) при .

Аналогичный график нетрудно построить при любых других отношениях сторон прямоугольной пластины. В результате получится ломаная линия, дающая критические сочетания и, следовательно, отделяющая область устойчивости пластины от области неустойчивости. Начало координат принадлежит, конечно, к первой из этих областей.