§ 25. Энергетический критерий устойчивости в форме С. П. Тимошенко

Вернемся к общей задаче устойчивости тонкой упругой пластины (см. рис. 4.1), находящейся под действием контурных и поверхностных нагрузок в плоском начальном напряженном состоянии. Начальные внутренние усилия считаем известными. Рассмотрим возмущенное состояние пластины, смежное с начальным плоским, причем переход пластины в новое состояние зададим перемещениями точек срединной поверхности (см. § 10):

где — бесконечно малый параметр, не зависящий от координат; и т. д. — конечные функции координат.

Изменение кривизны срединной плоскости пластины, удлинения и сдвиги в срединной плоскости подсчитаем по формулам (4.11) и (4.24):

и

В соответствии с общей схемой, уже неоднократно использованной, найдем пропорциональное изменение полной потенциальной энергии при переходе пластины в новое состояние, смежное с исходным.

Как показано в предыдущем параграфе, при потере устойчивости перемещения тождественно равны нулю [введение дополнительных слагаемых в выражениях (5.19) не влияет на этот вывод]. Кроме того, как нетрудно проверить, функция не войдет в выражение для . Поэтому при исследовании устойчивости пластины вместо общих выражений (5.19) достаточно принять, что

(5.20)

Тогда, опустив множитель , получим

где — поверхностные и контурные нагрузки;

Покажем, что выражение (5.21) тождественно выражению (5.4) при любых совместимых со связями перемещениях . Для этого в выражении (5.21) выделим все слагаемые, содержащие эти перемещения и их производные:

Последнее выражение представляет собой первую вариацию полной потенциальной энергии начального напряженного состояния пластины, вычисленную в предположении, что возможные перемещения в плоскости пластины совпадают с перемещениями . Поскольку начальное плоское напряженное состояние равновесно, при любых совместимых со связями перемещениях . Следовательно, выражение (5.21) тождественно выражению (5.4). В частности, именно поэтому при выводе выражения для перемещения можно положить равными нулю.

Перемещения можно выбрать так, чтобы в выражении (5.21) обратить в нуль все слагаемые, содержащие начальные усилия . Для этого с помощью соотношений упругости введем величины

Тогда, выразив через , с помощью тех же соотношений упругости, можно записать

Начальные удлинения и сдвиги в срединной плоскости выразим через начальные перемещения и получим

Используя формулы Грина для интегрирования по частям, приходим к следующему выражению:

где обозначено:

Для того чтобы в выражении (5.21) избавиться от слагаемых, содержащих начальные усилия , достаточно потребовать, чтобы удовлетворяли уравнениям:

При этом на контуре пластины должны выполняться условия

При выполнении перечисленных условий получим выражение для , не содержащее в явном виде начальных усилий :

В этом выражении контурный по той части контура пластины, для которой заданы внешние нагрузки .

Дальнейшее решение можно вести на основании условия либо при дополнительном требовании минимума параметра нагрузки. Эти условия эквивалентны. В случае, когда изменение полной потенциальной энергии подсчитывается по зависимости (5.26), указанные условия будем называть энергетическим критерием устойчивости пластин в форме С. П. Тимошенко.

Прежде чем изложить схему решения задач устойчивости с помощью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко, сделаем несколько общих замечаний.

Напомним, что энергетический критерий в форме Брайана выражается через начальные усилия , действующие в срединной плоскости пластины в докритическом напряженном состоянии, и позволяет исследовать устойчивость пластины независимо от того, какими причинами эти усилия вызваны. Энергетический критерий в форме С. П. Тимошенко не содержит начальных усилий и выражается непосредственно через внешние нагрузки, которые действуют на пластину. Поэтому выражение (5.4) более общее, чем выражение (5.26). Например, для решения температурной задачи устойчивости пластины применять выражение (5.26) нельзя. В этом случае необходима особая форма записи энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко (см. стр. 198).

Обратим внимание на то, что запись энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко избавляет от необходимости определять начальные усилия , но требуется вычислить перемещения входящие в выражение (5.26). Поэтому трудно выявить преимущества той или иной формы записи энергетического критерия; иногда удобнее использовать форму Брайана, в других случаях (особенно для получения упрощенных приближенных решений) — форму С. П. Тимошенко.

Наметим путь приближенного решения задач устойчивости пластин с помощью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко. Введем функцию усилий с помощью соотношений

Используя зависимости (5.22) и выражения для , можно получить уравнение

которому должна удовлетворять введенная функция .

Граничные условия для функции усилий получим из условий (5.25). Для этого воспользуемся очевидными геометрическими зависимостями (см. рис. 4.1)

Откуда следует, что

Поэтому можно записать

Граничные условия для на контуре односвязной пластины можно представить либо в виде

либо в виде

где — нормаль к контуру пластины.

Исходя из граничных условий, заданных относительно нормального прогиба, выберем функцию в виде ряда

Это позволяет выразить правую часть уравнения (5.27) через функции и коэффициенты . Обратим внимание на следующее обстоятельство. При известной правой части уравнения (5.27) задача определения функции усилий оказывается эквивалентной обычной линейной задаче определения поперечного прогиба защемленной по контуру пластины. Действительно, уравнение (5.27) аналогично обычному уравнению изгиба пластины, если правую часть, пропорциональную гауссовой кривизне деформированной срединной поверхности пластины, рассматривать как заданную поперечную нагрузку. Граничные условия (5.29) соответствуют условиям защемления. Поэтому, пользуясь хорошо разработанными методами линейной теории изгиба пластин, с любой степенью точности функцию усилий можно выразить через выбранную функцию .

Используем соотношения упругости (5.22) и получим уравнения для определения перемещений :

После определения функций дальнейшее решение можно вести из условия либо при дополнительном требовании минимума параметра нагрузки. Отметим, что для определения критических нагрузок не всегда следует находить перемещения (см. § 26).

Примеры решения конкретных задач с помощью энергетического критерия С. П. Тимошенко приведены ниже, здесь отметим только один частный случай уравнений (5.27). Правая часть этого уравнения пропорциональна гауссовой кривизне деформированной срединной поверхности пластины (см. § 9):

Если при потере устойчивости срединная плоскость пластины изгибается по развертывающейся поверхности и , то решению уравнения (5.27) с граничными условиями (5.29) соответствуют .

В этом случае для определения перемещений можно использовать уравнения

которые получаются как частный случай уравнений (5.31).