Главная > Основы расчета на устойчивость упругих систем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 25. Энергетический критерий устойчивости в форме С. П. Тимошенко

Вернемся к общей задаче устойчивости тонкой упругой пластины (см. рис. 4.1), находящейся под действием контурных и поверхностных нагрузок в плоском начальном напряженном состоянии. Начальные внутренние усилия считаем известными. Рассмотрим возмущенное состояние пластины, смежное с начальным плоским, причем переход пластины в новое состояние зададим перемещениями точек срединной поверхности (см. § 10):

где — бесконечно малый параметр, не зависящий от координат; и т. д. — конечные функции координат.

Изменение кривизны срединной плоскости пластины, удлинения и сдвиги в срединной плоскости подсчитаем по формулам (4.11) и (4.24):

и

В соответствии с общей схемой, уже неоднократно использованной, найдем пропорциональное изменение полной потенциальной энергии при переходе пластины в новое состояние, смежное с исходным.

Как показано в предыдущем параграфе, при потере устойчивости перемещения тождественно равны нулю [введение дополнительных слагаемых в выражениях (5.19) не влияет на этот вывод]. Кроме того, как нетрудно проверить, функция не войдет в выражение для . Поэтому при исследовании устойчивости пластины вместо общих выражений (5.19) достаточно принять, что

(5.20)

Тогда, опустив множитель , получим

где — поверхностные и контурные нагрузки;

Покажем, что выражение (5.21) тождественно выражению (5.4) при любых совместимых со связями перемещениях . Для этого в выражении (5.21) выделим все слагаемые, содержащие эти перемещения и их производные:

Последнее выражение представляет собой первую вариацию полной потенциальной энергии начального напряженного состояния пластины, вычисленную в предположении, что возможные перемещения в плоскости пластины совпадают с перемещениями . Поскольку начальное плоское напряженное состояние равновесно, при любых совместимых со связями перемещениях . Следовательно, выражение (5.21) тождественно выражению (5.4). В частности, именно поэтому при выводе выражения для перемещения можно положить равными нулю.

Перемещения можно выбрать так, чтобы в выражении (5.21) обратить в нуль все слагаемые, содержащие начальные усилия . Для этого с помощью соотношений упругости введем величины

Тогда, выразив через , с помощью тех же соотношений упругости, можно записать

Начальные удлинения и сдвиги в срединной плоскости выразим через начальные перемещения и получим

Используя формулы Грина для интегрирования по частям, приходим к следующему выражению:

где обозначено:

Для того чтобы в выражении (5.21) избавиться от слагаемых, содержащих начальные усилия , достаточно потребовать, чтобы удовлетворяли уравнениям:

При этом на контуре пластины должны выполняться условия

При выполнении перечисленных условий получим выражение для , не содержащее в явном виде начальных усилий :

В этом выражении контурный по той части контура пластины, для которой заданы внешние нагрузки .

Дальнейшее решение можно вести на основании условия либо при дополнительном требовании минимума параметра нагрузки. Эти условия эквивалентны. В случае, когда изменение полной потенциальной энергии подсчитывается по зависимости (5.26), указанные условия будем называть энергетическим критерием устойчивости пластин в форме С. П. Тимошенко.

Прежде чем изложить схему решения задач устойчивости с помощью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко, сделаем несколько общих замечаний.

Напомним, что энергетический критерий в форме Брайана выражается через начальные усилия , действующие в срединной плоскости пластины в докритическом напряженном состоянии, и позволяет исследовать устойчивость пластины независимо от того, какими причинами эти усилия вызваны. Энергетический критерий в форме С. П. Тимошенко не содержит начальных усилий и выражается непосредственно через внешние нагрузки, которые действуют на пластину. Поэтому выражение (5.4) более общее, чем выражение (5.26). Например, для решения температурной задачи устойчивости пластины применять выражение (5.26) нельзя. В этом случае необходима особая форма записи энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко (см. стр. 198).

Обратим внимание на то, что запись энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко избавляет от необходимости определять начальные усилия , но требуется вычислить перемещения входящие в выражение (5.26). Поэтому трудно выявить преимущества той или иной формы записи энергетического критерия; иногда удобнее использовать форму Брайана, в других случаях (особенно для получения упрощенных приближенных решений) — форму С. П. Тимошенко.

Наметим путь приближенного решения задач устойчивости пластин с помощью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко. Введем функцию усилий с помощью соотношений

Используя зависимости (5.22) и выражения для , можно получить уравнение

которому должна удовлетворять введенная функция .

Граничные условия для функции усилий получим из условий (5.25). Для этого воспользуемся очевидными геометрическими зависимостями (см. рис. 4.1)

Откуда следует, что

Поэтому можно записать

Граничные условия для на контуре односвязной пластины можно представить либо в виде

либо в виде

где нормаль к контуру пластины.

Исходя из граничных условий, заданных относительно нормального прогиба, выберем функцию в виде ряда

Это позволяет выразить правую часть уравнения (5.27) через функции и коэффициенты . Обратим внимание на следующее обстоятельство. При известной правой части уравнения (5.27) задача определения функции усилий оказывается эквивалентной обычной линейной задаче определения поперечного прогиба защемленной по контуру пластины. Действительно, уравнение (5.27) аналогично обычному уравнению изгиба пластины, если правую часть, пропорциональную гауссовой кривизне деформированной срединной поверхности пластины, рассматривать как заданную поперечную нагрузку. Граничные условия (5.29) соответствуют условиям защемления. Поэтому, пользуясь хорошо разработанными методами линейной теории изгиба пластин, с любой степенью точности функцию усилий можно выразить через выбранную функцию .

Используем соотношения упругости (5.22) и получим уравнения для определения перемещений :

После определения функций дальнейшее решение можно вести из условия либо при дополнительном требовании минимума параметра нагрузки. Отметим, что для определения критических нагрузок не всегда следует находить перемещения (см. § 26).

Примеры решения конкретных задач с помощью энергетического критерия С. П. Тимошенко приведены ниже, здесь отметим только один частный случай уравнений (5.27). Правая часть этого уравнения пропорциональна гауссовой кривизне деформированной срединной поверхности пластины (см. § 9):

Если при потере устойчивости срединная плоскость пластины изгибается по развертывающейся поверхности и , то решению уравнения (5.27) с граничными условиями (5.29) соответствуют .

В этом случае для определения перемещений можно использовать уравнения

которые получаются как частный случай уравнений (5.31).

1
Оглавление
email@scask.ru