§ 26. Формулировка критерия устойчивости через статически возможные усилия

Энергетический критерий устойчивости в форме Брайана формулируется через начальные усилия, которые действуют в упругом теле к моменту, предшествующему потере устойчивости. Однако некоторые авторы высказывали предположение, что в критерии устойчивости в форме Брайана вместо действительных начальных усилий можно использовать любую систему статически возможных начальных усилий и делали попытки построить такого рода решения.

При этом определение действительного начального напряженного состояния заменяется значительно более простой задачей подбора любого статически возможного напряженного состояния. Кроме того (в отличие от изложенного в предыдущем параграфе варианта энергетического критерия), не нужно определять дополнительные перемещения . Но этот путь решения неверен. В этом нетрудно убедиться на примере, приведенном в § 24.

Для изображенной на рис. 5.2, б пластины, нагруженной четырьмя силами , в качестве статически возможного начального напряженного состояния можно взять по всей площади пластины и (где вдоль двух сторон при . Поскольку вдоль этих сторон , замена в выражении (5.4) начальных усилий статически возможными приводит к абсурдному результату: . Из этого не следует, что статически возможные усилия нельзя использовать при формулировке энергетического критерия устойчивости упругих тел; более того, введение в энергетический критерий статически возможных начальных усилий (если это сделано правильно) в ряде случаев облегчает получение приближенного решения задачи.

Покажем, как можно ввести статически возможные начальные усилия в энергетический критерий устойчивости упругих пластин, сформулированный в предыдущем параграфе.

Для простоты изложения ограничимся случаем, когда пластина (рис. 4.1) нагружена только контурными внешними усилиями . Тогда внутренние начальные усилия удовлетворяют уравнениям равновесия

и подчинены граничным условиям на контуре пластины

Уравнения (5.33) позволяют ввести функцию начальных усилий с помощью соотношений:

Начальные усилия связаны зависимостями (4.3) с удлинениями и сдвигами в срединной плоскости, которые с помощью линейных зависимостей (4.1) выражаются через производные начальных перемещений. Это позволяет свести задачу определения функции усилий к решению бигармонического уравнения

Вместо действительных начальных усилий введем статически возможные начальные усилия , удовлетворяющие уравнениям равновесия

и подчиненные граничным условиям задачи:

В отличие от действительных начальных усилий статически возможные усилия не связаны с деформациями пластины. Уравнения равновесия (5.37) позволяют ввести функцию статически возможных усилий

В отличие от функции функция не удовлетворяет бигармоническому уравнению (5.36).

Для рассматриваемой задачи, когда на контуре заданы только внешние усилия и отсутствуют поверхностные нагрузки , выражение (5.26) принимает вид

где V — подсчитывается по формуле (5.5).

Для любой системы статически возможных усилий , можно записать тождество

В справедливости этого тождества нетрудно убедиться путем интегрирования по частям:

Интеграл по площади в правой части последнего равенства обращается в нуль, поскольку статически возможные усилия удовлетворяют уравнениям равновесия (5.37). Контурный интеграл преобразуется к контурному интегралу в выражении (5.41), поскольку статически возможные усилия подчинены граничным условиям задачи (5.38).

Учитывая тождество (5.41), вместо выражения (5.40) получим

Эта формула позволяет выразить энергетический критерий устойчивости через статически возможные начальные усилия .

На первый взгляд задача усложняется. При использовании энергетического критерия в форме Брайана предварительно нужно найти начальные усилия и затем из условия определить собственные функции задачи и собственные значения параметра нагрузки.

При использовании выражения (5.42) также предварительно находим статически возможные начальные усилия , затем кроме нормальных перемещений определяем производные перемещений входящие в (5.42). Но как следует из приведенной задачи устойчивости пластины, нагруженной сосредоточенными силами, может оказаться, что определение статически возможных начальных усилий значительно проще, чем определение действительных начальных усилий. В некоторых случаях благодаря простоте построения системы статически возможных начальных усилий решение задачи облегчается несмотря на необходимость дополнительного определения производных перемещений по формулам (5.31).

Выражение (5.42) можно преобразовать к более удобному для практического использования виду. Воспользовавшись соотношениями (4.24), запишем

Зависимости (5.22) позволяют преобразовать последний интеграл в этом выражении:

Используя формулы Грина, последний интеграл в правой части полученного выражения преобразуем к виду

где введена функция усилий , связанная с усилиями соотношениями

Из граничных условий (5.25) следуют граничные условия для функции (подробно см. § 25):

Выражение (5.43) тождественно равно нулю: контурный интеграл в правой части этого выражения равен нулю в силу граничных условий, которым подчинена функция усилий . Интеграл по площади обращается в нуль, поскольку статически возможные начальные усилия удовлетворяют уравнениям равновесия (5.37).

После преобразований получим

Если статически возможные начальные усилия совпадают с действительными начальными усилиями

и выражение (5.44) переходит в выражение (5.4) энергетического критерия в форме Брайана.