Приложение I. Задачи на собственные значения

Задача на собственные значения для дифференциального уравнения формулируется следующим образом: задано однородное уравнение

где — однородные линейные дифференциальные выражения, — некоторый параметр; граничные условия, заданные при , однородны. Требуется найти собственные значения и собственные функции задачи, т. е. такие значении параметра , при которых данная задача имеет отличные от тождественного нуля решения, и с точностью до масштаба определить функции , соответствующие этим значениям .

Порядок дифференциального выражения обозначим и будем считать, что он выше порядка выражения . Тогда корректно сформулированная задача должна иметь линейно независимых граничных условий. Граничные условия, содержащие производные порядка не выше , называют главными граничными условиями (или геометрическими условиями).

Допустимыми функциями задачи называют -кратно непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие главным граничным условиим.

Функциями сравнении задачи называют -кратно непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие всем заданным граничным условиям (функция сравнения, удовлетворяющая и дифференциальному уравнению, является собственной функцией задачи).

Основные результаты в теории задач на собственные значения получены для самосопряженных и полностью определенных задач. Задачу на собственные значения называют самосопряженной, если для любых двух функций сравнения выполняются условия

Задачу на собственные значения называют полностью определенной, если для любой функции сравнения выполняются неравенства

Самосопряженность и полная определенность задачи на собственные значения в каждом конкретном случае могут быть установлены путем интегрировании по частям.

Самосопряженная полностью определенная задача на собственные значения, не содержащая параметра Р в граничных условиях, всегда имеет бесконечный спектр положительных собственных значений, из которых в задачах устойчивости обычно достаточно найти только наименьшее собственное значение, определяющее критическую нагрузку.

Бесконечному спектру собственных значений соответствует бесконечная система собственных функций задачи, обладающих следующими важными свойствами.

Свойство обобщенной ортогональности собственных функций состоит в том, что для любых двух собственных функций , соответствующих двум различным собственным значениям , выполняются условия

В частности, если , то система собственных функций ортогональна в обычном смысле, т. е.

Система собственных функций обладает свойством полноты: любую функцию сравнения можно разложить в ряд по собственным функциям и этот ряд будет равномерно и абсолютно сходиться в интервале для которого сформулирована данная задача.

Для самосопряженной и полностью определенной задачи на собственные значения справедлива теорема о минимуме отношения Рэлея. Согласно этой теореме минимум отношения Рэлея, определяемого выражением

равен первому собственному значению задачи , если функция и пробегает век» область функций сравнения. Этот минимум реализуется на функции сравнения, совпадающей с первой собственной функцией задачи .

Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения: задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки (сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные задачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, но они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений.

Все сказанное о задачах на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений справедливо и в отношении задач на собственные значения для дифференциальных уравнений в частных производных.

Задачи на собственные значения для матриц состоят в следующем. Пусть задана система линейных однородных уравнений

где — неизвестные; — некоторый параметр.

В матричной форме записи эта система имеет вид

где А — квадратная матрица коэффициентов заданной системы; — вектор-столбец неизвестных

Условием существования отличных от нуля решений системы однородных линейных уравнений является равенство нулю ее определителя

В матричной записи

где Е — единичная матрица; при при . Уравнение степени N называют характеристическим уравнением; его N корней дадут те значения , при которых возможны отличные от нуля решения исходной системы.

Такого типа задачу называют частной задачей на собственные значения для матрицы; найденные N значений — собственными значениями матрицы А, а соответствующие им векторы — собственными векторами матрицы А.

Кроме частных задач на собственные значения для матриц встречаются и общие задачи на собственные значения. В этом случае задается матричное однородное уравнение

где — квадратные матрицы; — некоторый параметр; — вектор-столбец неизвестных.

В этом случае условие существования отличных от нуля решений запишется так:

или в развернутом виде

При решении общей задачи на собственные значения из характеристического уравнения находят N собственных значений , а из соответствующих решений уравнения (12) — N собственных иекторов . В частной и общей задачах собственные векторы можно найти только с точностью до постоянного множителя [25].