Главная > Основы расчета на устойчивость упругих систем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Приложение I. Задачи на собственные значения

Задача на собственные значения для дифференциального уравнения формулируется следующим образом: задано однородное уравнение

где — однородные линейные дифференциальные выражения, — некоторый параметр; граничные условия, заданные при , однородны. Требуется найти собственные значения и собственные функции задачи, т. е. такие значении параметра , при которых данная задача имеет отличные от тождественного нуля решения, и с точностью до масштаба определить функции , соответствующие этим значениям .

Порядок дифференциального выражения обозначим и будем считать, что он выше порядка выражения . Тогда корректно сформулированная задача должна иметь линейно независимых граничных условий. Граничные условия, содержащие производные порядка не выше , называют главными граничными условиями (или геометрическими условиями).

Допустимыми функциями задачи называют -кратно непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие главным граничным условиим.

Функциями сравнении задачи называют -кратно непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие всем заданным граничным условиям (функция сравнения, удовлетворяющая и дифференциальному уравнению, является собственной функцией задачи).

Основные результаты в теории задач на собственные значения получены для самосопряженных и полностью определенных задач. Задачу на собственные значения называют самосопряженной, если для любых двух функций сравнения выполняются условия

Задачу на собственные значения называют полностью определенной, если для любой функции сравнения выполняются неравенства

Самосопряженность и полная определенность задачи на собственные значения в каждом конкретном случае могут быть установлены путем интегрировании по частям.

Самосопряженная полностью определенная задача на собственные значения, не содержащая параметра Р в граничных условиях, всегда имеет бесконечный спектр положительных собственных значений, из которых в задачах устойчивости обычно достаточно найти только наименьшее собственное значение, определяющее критическую нагрузку.

Бесконечному спектру собственных значений соответствует бесконечная система собственных функций задачи, обладающих следующими важными свойствами.

Свойство обобщенной ортогональности собственных функций состоит в том, что для любых двух собственных функций , соответствующих двум различным собственным значениям , выполняются условия

В частности, если , то система собственных функций ортогональна в обычном смысле, т. е.

Система собственных функций обладает свойством полноты: любую функцию сравнения можно разложить в ряд по собственным функциям и этот ряд будет равномерно и абсолютно сходиться в интервале для которого сформулирована данная задача.

Для самосопряженной и полностью определенной задачи на собственные значения справедлива теорема о минимуме отношения Рэлея. Согласно этой теореме минимум отношения Рэлея, определяемого выражением

равен первому собственному значению задачи , если функция и пробегает век» область функций сравнения. Этот минимум реализуется на функции сравнения, совпадающей с первой собственной функцией задачи .

Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения: задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки (сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные задачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, но они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений.

Все сказанное о задачах на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений справедливо и в отношении задач на собственные значения для дифференциальных уравнений в частных производных.

Задачи на собственные значения для матриц состоят в следующем. Пусть задана система линейных однородных уравнений

где — неизвестные; — некоторый параметр.

В матричной форме записи эта система имеет вид

где А — квадратная матрица коэффициентов заданной системы; — вектор-столбец неизвестных

Условием существования отличных от нуля решений системы однородных линейных уравнений является равенство нулю ее определителя

В матричной записи

где Е — единичная матрица; при при . Уравнение степени N называют характеристическим уравнением; его N корней дадут те значения , при которых возможны отличные от нуля решения исходной системы.

Такого типа задачу называют частной задачей на собственные значения для матрицы; найденные N значений собственными значениями матрицы А, а соответствующие им векторы собственными векторами матрицы А.

Кроме частных задач на собственные значения для матриц встречаются и общие задачи на собственные значения. В этом случае задается матричное однородное уравнение

где квадратные матрицы; — некоторый параметр; — вектор-столбец неизвестных.

В этом случае условие существования отличных от нуля решений запишется так:

или в развернутом виде

При решении общей задачи на собственные значения из характеристического уравнения находят N собственных значений , а из соответствующих решений уравнения (12) — N собственных иекторов . В частной и общей задачах собственные векторы можно найти только с точностью до постоянного множителя [25].

1
Оглавление
email@scask.ru