Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Приложение I. Задачи на собственные значенияЗадача на собственные значения для дифференциального уравнения формулируется следующим образом: задано однородное уравнение
где Порядок дифференциального выражения Допустимыми функциями задачи называют Функциями сравнении задачи называют Основные результаты в теории задач на собственные значения получены для самосопряженных и полностью определенных задач. Задачу на собственные значения называют самосопряженной, если для любых двух функций сравнения
Задачу на собственные значения называют полностью определенной, если для любой функции сравнения выполняются неравенства
Самосопряженность и полная определенность задачи на собственные значения в каждом конкретном случае могут быть установлены путем интегрировании по частям. Самосопряженная полностью определенная задача на собственные значения, не содержащая параметра Р в граничных условиях, всегда имеет бесконечный спектр положительных собственных значений, из которых в задачах устойчивости обычно достаточно найти только наименьшее собственное значение, определяющее критическую нагрузку. Бесконечному спектру собственных значений соответствует бесконечная система собственных функций задачи, обладающих следующими важными свойствами. Свойство обобщенной ортогональности собственных функций состоит в том, что для любых двух собственных функций
В частности, если
Система собственных функций обладает свойством полноты: любую функцию сравнения можно разложить в ряд по собственным функциям и этот ряд будет равномерно и абсолютно сходиться в интервале Для самосопряженной и полностью определенной задачи на собственные значения справедлива теорема о минимуме отношения Рэлея. Согласно этой теореме минимум отношения Рэлея, определяемого выражением
равен первому собственному значению задачи Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения: задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки (сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные задачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, но они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений. Все сказанное о задачах на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений справедливо и в отношении задач на собственные значения для дифференциальных уравнений в частных производных. Задачи на собственные значения для матриц состоят в следующем. Пусть задана система линейных однородных уравнений
где В матричной форме записи эта система имеет вид
где А — квадратная матрица коэффициентов заданной системы;
Условием существования отличных от нуля решений системы однородных линейных уравнений является равенство нулю ее определителя
В матричной записи
где Е — единичная матрица; Такого типа задачу называют частной задачей на собственные значения для матрицы; найденные N значений Кроме частных задач на собственные значения для матриц встречаются и общие задачи на собственные значения. В этом случае задается матричное однородное уравнение
где В этом случае условие существования отличных от нуля решений запишется так:
или в развернутом виде
При решении общей задачи на собственные значения из характеристического уравнения находят N собственных значений
|
1 |
Оглавление
|