§ 30. Закритическое поведение пластин

С помощью линеаризованных уравнений и энергетического критерия исследуют устойчивость плоского напряженного состояния тонких упругих пластин. Но ни линеаризованные уравнения, ни энергетический критерий устойчивости (в какой бы форме он не был записан) не дают непосредственной информации о том, как будет деформироваться пластина после потери устойчивости. Для описания закритического деформирования необходимо решить задачу изгиба пластины в нелинейной постановке.

Как и для сжатого стержня (см. § 17), для пластины возможны два основных качественно различных случая закритического поведения. Если закрепления контура пластины не препятствуют ее чисто изгибной деформации, т. е. деформации без удлинений и сдвигов срединной плоскости (рис. 5.7, а), то после потери устойчивости поведение пластины будет таким же, как и поведение стержня с незакрепленными относительно продольных смещений торцами.

Рис. 5.7.

Критическая точка бифуркации будет точкой бифуркации первого типа (рис. 5.7, б). После потери устойчивости происходит такой быстрый рост поперечных прогибов и изгибных напряжений, что потерю устойчивости пластины практически можно считать потерей ее несущей способности. Количественные оценки прогибов и напряжений при закритическом деформировании пластины можно получить таким же путем, каким это сделано для стержня. Но если для стержней этот случай закритического поведения основной, то для тонкой пластины, являющейся элементом силовой конструкции, этот случай — исключительный.

Как неоднократно отмечалось, пластина с закрепленным относительно поперечных перемещений контуром не может изгибаться без удлинений и сдвигов срединной плоскости. В этом случае закритическое поведение пластины будет качественно отличным от рассмотренного. Как и в случае стержня с закрепленными относительно продольных перемещений торцами, после потери устойчивости такая пластина может продолжать воспринимать возрастающую внешнюю нагрузку.

На рис. 5.8, а изображена тонкая пластина, скрепленная по контуру с жесткой шарнирной рамкой. До потери утойчивости такая пластина будет находиться в состоянии чистого сдвига. После потери устойчивости (см. § 23) на ее поверхности образуются наклонные волны. При этом пластина не теряет несущей способности и продолжает воспринимать возрастающую внешнюю нагрузку. Аналогично ведет себя закрепленная по контуру прямоугольная пластина при сжатии (рис. 5.8, б): после потери устойчивости она продолжает воспринимать возрастающую внешнюю нагрузку.

Рис. 5.8.

Исследуем подробнее этот основной для тонких пластин случай закритического деформирования, когда изгиб пластины сопровождается дополнительными удлинениями и сдвигами срединной плоскости.

Характер критической точки бифуркации и закритическое поведение пластины при конечных, но малых отклонениях от начального плоского состояния равновесия можно установить с помощью приема, применявшегося при изучении закритических деформаций стержней (см. § 17).

Будем считать, что задача устойчивости пластины решена энергетическим методом с использованием энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко, и найдены соответствующие критической точке бифуркации функции удовлетворяющие граничным условиям задачи. Приближенно примем, что при малых, но конечных отклонениях пластины ее напряженно-деформированное состояние описывается функциями

где — параметр, зависящий от уровня нагружения пластины.

Тогда изменение полной потенциальной энергии пластины при отклонениях от начального плоского состояния равновесия будет определяться выражением

где — полная потенциальная энергия пластины, не зависящая от параметра .

Значение можно подсчитать с помощью либо выражения

либо выражения

В этих выражениях

Начальные усилия в срединной плоскости пластины не входят в слагаемые полной потенциальной энергии, зависящие от параметра : именно от этих условий выше определены функции .

Поскольку в зависимости (5.86) все функции считаем известными из решения линейной задачи устойчивости пластины, закритическое деформирование пластины в окрестностях критической точки бифуркации определяется только параметром . Таким образом, с помощью приближенного решения задача исследования закритического поведения пластины сводится к элементарной нелинейной задаче для системы с одной степенью свободы (см. гл. 1).

Величина является положительно определенной, т. е.

любых способах закрепления и нагружения пластины. Поэтому критическая точка будет точкой бифуркации первого типа (рис. 5.9, а).

Зависимость между параметром и нагрузкой при конечных отклонениях пластины найдем из условия стационарности полной потенциальной энергии. Приравняв нулю производную выражения (5.86) по получим уравнение

Рис. 5.9.

где

Здесь — распределение внешних нагрузок при .

Из уравнения (5.91) при получим критическое значение параметра нагрузки , поскольку для построения приближенного нелинейного решения использовано решение линейной задачи устойчивости пластины. При из уравнения (5.91) следует, что

где , причем

Определив параметр си нетрудно вычислить перемещения и изгибные напряжения в любой точке пластины. Например, в соответствии с зависимостями (5.86) перемещение пластины при линейно изменяется с ростом внешней нагрузки (рис. 5.9, б). Зависимость между амплитудой поперечного прогиба и внешней нагрузкой можио изобразить в виде квадратичной параболы (рис. 5.9, а).

Для уточненного определения напряжений и деформации в срединной плоскости пластины после потери устойчивости необходимо решить систему нелинейных уравнений Кармана

где функция усилий связана с усилиями в срединной плоскости пластины соотношениями

Систему уравнений Кармана можно получить с помощью приведенных в § 19 геометрически нелинейных зависимостей для , если поперечный прогиб пластины считать малой, но конечной величиной [12, 19]. Для решения системы уравнений (5.95) должны быть заданы граничные условия относительно поперечного прогиба , усилий и перемещений в срединной плоскости пластины (подробнее см. [12]). Систему уравнений Кармана для практически интересных случаев удается проинтегрировать только приближенным методом; результаты таких решений можно найти в работах [19, 33).

Тонкие упругие пластины имеют критические точки бифуркации первого типа, и начальные геометрические неправильности влияют на их поведение подобно тому, как это изображено на рис. .