§ 32. Основные исходные зависимости для цилиндрической оболочки

В задачах устойчивости стержней и пластин, которые рассмотрены в предыдущих параграфах, критические нагрузки пропорциональны изгибным жесткостям. Так, для сжатого стержня критическая сила определена по формуле для прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении, критическая интенсивность распределенной нагрузки — по формуле , где и D — изгибные жесткости стержня и пластины.

В эти формулы не входят значения жесткостей стержня и пластины на растяжение — сжатие, поскольку при бесконечно малом изгибе прямого стержня и плоской пластины удлинения оси стержня или деформации срединной плоскости пластины имеют второй порядок малости. Жесткость стержня на растяжение-сжатие влияет только на закритическое поведение стержня (в том случае, когда концы стержня закреплены относительно продольных смещений) так же, как жесткость пластины на растяжение-сжатие влияет только на закритическое поведение пластины с закрепленным контуром.

Основная геометрическая особенность оболочки состоит в том, что при надлежащем закреплении ее краев она не допускает даже бесконечно малых чисто изгибных деформаций без растяжения-сжатия ее срединной поверхности.

Рис. 6.11.

Например, замкнутую выпуклую оболочку или закрепленную по обоим торцам цилиндрическую оболочку нельзя деформировать, не вызывая удлинений и сдвигов в срединной поверхности, причем эти удлинения и сдвиги будут иметь тот же порядок, что и поперечные прогибы оболочки.

Эта геометрическая особенность оболочек приводит, во-первых, к тому, что формулы для критических нагрузок оболочек имеют более сложную структуру по сравнению с формулами для критических нагрузок стержней и пластин: в них входят изгибная жесткость оболочки и жесткость на растяжение-сжатие. Во-вторых, в результате этой особенности закритическое поведение оболочек качественно отличается от закритического поведения стержней и пластин вблизи критических точек бифуркации.

Поместим начало подвижной системы на срединной поверхности цилиндрической оболочки, направив ось вдоль образующей, ось у — по касательной, а ось — по внешней нормали к срединной поверхности (рис. 6.11, а). Перемещения точек срединной поверхности по направлениям осей х, у, z обозначим соответственно . Координаты точек А, В, С, D элемента срединной поверхности оболочки и координаты точек этого элемента после деформации оболочки в системе координат , связанной с точкой А (рис. 6.11, б), приведены ниже.

Используя выражения для координат и ограничиваясь пока линейными относительно перемещений и их производных слагаемыми, нетрудно найти компоненты деформаций срединной поверхности:

а также углы поворота нормали к срединной поверхности и в плоскостях :

Если пренебречь влиянием деформаций срединной поверхности на изменение ее кривизн и крутку , то можно получить выражения [29]

В большинстве случаев потеря устойчивости цилиндрической оболочки происходит таким образом, что . Поэтому в задачах устойчивости часто используют упрощенные зависимости

и

(6.25)

При деформациях в оболочке возникают нормальные усилия , сдвигающее усилие S, изгибающие и скручивающий моменты. Эти внутренние силовые факторы связаны с компонентами деформаций срединной поверхности оболочки и изменением ее кривизн соотношениями упругости, основанными на гипотезе неискривляемости нормали:

и

где

Для получения линеаризованных уравнений, описывающих потерю устойчивости цилиндрической оболочки, выведем линейные уравнения, описывающие поведение произвольно нагруженной оболочки при малых перемещениях.

Рассматривая равновесие элемента оболочки в недеформированном состоянии (рис. 6.12), приходим к следующей системе уравнений (чтобы не затемнять рисунка внутренние силовые факторы, связанные с изгибом оболочки, показаны отдельно):

и

где — интенсивности внешних распределенных нагрузок, действующих в направлениях соответствующих осей.

Рис. 6.12 (направление моментов следует считать обратным)

Исключив из систем уравнений (6.28) и (6.29) внутренние поперечные силы , придем к уравнениям

Используя соотношения упругости (6.26) и (6.27), получаем систему уравнений равновесия в перемещениях:

где

Для замкнутой в окружном направлении цилиндрической оболочки на каждом из ее торцов должны быть заданы по четыре граничных условия:

1) перемещение и либо осевое усилие

2) перемещение v либо сдвигающее усилие

3) угол наклона нормали либо изгибающий момент

4) перемещение w либо приведенное поперечное усилие

В том случае, когда выражения изменения кривизн берут в упрощенном виде (6.25), уравнения равновесия должны быть также упрощены [29].

Из второго уравнения равновесия следует отбросить слагаемое . Тогда уравнения равновесия (6.30) при принимают вид

Если ввести функцию усилий Ф, связанную с усилиями соотношениями

то два первых уравнения системы (6.32) будут удовлетворены тождественно. Исключая из системы (6.21) перемещения приходим к уравнению совместности деформаций

Используя далее соотношения упругости (6.26) и (6.27) и соотношения (6.33), получим следующую систему уравнений:

Уравнения, описывающие потерю устойчивости цилиндрической оболочки, получим при следующих допущениях, аналогичных допущениям, использованным при выводе линеаризованных уравнений стержней, пластин и кругового кольца.

1. Оболочка имеет идеально правильную цилиндрическую форму и ее начальное напряженное состояние безмоментное.

2. Изменением всех геометрических размеров оболочки в докритическом состоянии пренебрегаем.

3. При потере устойчивости связь между перемещениями и внутренними силовыми факторами в оболочке описывается соотношениями упругости (6.26) и (6.27).

4. Оболочка нагружена только приложенными к торцам мертвыми контурными усилиями и внешним гидростатическим давлением интенсивности .

В соответствии с первым допущением в начальном докритическом состоянии в оболочке существуют только внутренние усилия , удовлетворяющие уравнениям равновесия безмоментной теории оболочек:

Эти уравнения равновесия вытекают из уравнений (6.28) если в последних положить .

Рассмотрим условие равновесия оболочки в отклоненном состоянии (рис. 6.13). Спроектируем все действующие на элемент усилия (на рис. 6.13 показано только усилие ) на направление нормали z и определим фиктивную нормальную нагрузку (см. стр. 146 и 225)

Учитывая уравнения (6.35), получим

где изменения кривизн связаны с перемещениями оболочки формулами (6.23) или (6.25). Как нетрудно проверить, линеаризованные уравнения равновесия элемента оболочки в отклоненном состоянии можно получить из линейных уравнений (6.30) или (6.31), положив в них . Используя, например, систему уравнений в перемещениях (6.31), будем иметь

(6.38)

Рис. 6.13.

Если воспользуемся упрощенными выражениями кривизн (6.25) и соответствующей им системой уравнений (6.34), то получим

В задачах устойчивости однородная система уравнений должна быть подчинена однородным граничным условиям. Так, если на торце замкнутой цилиндрической оболочки задано , то остальные три однородных граничных условия на этом торце будут:

(Другие варианты граничных условий рассмотрены ниже.)

Таким образом, задача устойчивости цилиндрической оболочки при безмоментном начальном напряженном состоянии сведена к типичной задаче на собственные значения.

Приведем геометрические нелинейные соотношения, которые необходимы для исследования закритического поведения оболочки, и решения задач устойчивости цилиндрической оболочки энергетическим методом. Во-первых, для исследования устойчивости оболочки, находящейся в безмоментном начальном состоянии, удлинения и углы сдвига в срединной поверхности следует выражать с точностью до квадратичных слагаемых относительно бифуркационных перемещений и их производных.

Используем выражения для координат точек А, В, С, D элемента срединной поверхности оболочки до деформации и точек этого элемента после деформации и повторим преобразования, которые проведены при выводе аналогичных зависимостей для пластины и кольца. Тогда получим выражения

где — углы поворота нормали, подсчитываемые по формулам (6.22) или (6.24).

Кроме того, если на оболочку действует гидростатическое давление, то изменение объема, ограниченного оболочкой, тоже нужно вычислять с точностью до квадратов бифуркационных перемещений и их производных. Для подсчета объема, ометаемого элементом , разобьем этот элементарный объем на шесть тетраэдров таким образом, чтобы тетраэдры смежных элементов имели общие грани: . Тогда объем, ометаемый любой конечной частью оболочки, будет полностью и без пересечений заполнен элементарными тетраэдрами. На рис. 6.14 показан один такой тетраэдр . Как известно, если одна из вершин тетраэдра совмещена с началом координат, то его объем вычисляют по формуле

где — координаты остальных трех вершин. Например, объем тетраэдра

Значения и других координат взяты из таблицы, приведенной на стр. 239.

Суммируя объемы всех шести тетраэдров, находим [2]

где — изменение объема, ограниченного оболочкой; — относительные удлинения, подсчитанные по формулам (6.21), т. е. без учета квадратичных слагаемых.

Рис. 6.14.

Внутренняя потенциальная энергия деформации цилиндрической оболочки

Используя приведенные выше зависимости, нетрудно подсчитать изменение полной потенциальной энергии при переходе оболочки в возмущенное состояние, причем выражение для можно записать в форме Брайана и С. П. Тимошенко.

Для записи энергетического критерия в форме Брайана бифуркационные перемещения точек срединной поверхности цилиндрической оболочки зададим в виде

где — бесконечно малый параметр, не зависящий от координат-Действуя в соответствие с намеченной в § 9 общей схемой решения, подсчитаем изменение полной потенциальной энергии оболочки при переходе от начального безмоментного состояния равновесия к смежному состоянию, описываемому функциями (6.43). Используя зависимости (6.42), (6.40) и (6.41) и опуская множитель , получаем

где

Здесь выражаются через перемещения и их производные с помощью линейных зависимостей

Заметим, что если для подсчета и использовать упрощенные зависимости (6.24), то в выражении (6.44) следует опустить слагаемое , пропорциональное изменению объема оболочки при переходе ее в новое состояние.

Действительно, для оболочки, нагруженной внешним давлением , имеем . Поэтому подсчитывая входящее в выражение для V слагаемое по упрощенной зависимости, получим .

Таким образом, отбрасываем слагаемые того же порядка, что и величина .

Из этого, в частности, следует, что при использовании упрощенной теории цилиндрической оболочки в задачах устойчивости бессмысленно различать мертвую и гидростатическую распределенные поверхностные нагрузки.

Дальнейшее решение можно вести из условия либо из условия при дополнительном условии минимума критической нагрузки. Причем, используя энергетический подход, можно получать точные и приближенные решения задач устойчивости.

Покажем, например, как из условия можно вывести линеаризованные уравнения устойчивости цилиндрической оболочки, которые ранее получены непосредственно из условия равновесия элемента оболочки в отклоненном состоянии.

Воспользовавшись упрощенным вариантом записи выражений для изменения кривизн срединной поверхности оболочки и учитывая только что сделанное замечание, представим изменение полной потенциальной энергии оболочки в виде

где

Уравнения Эйлера для функционала

После несложных выкладок отсюда получаем упрощенную систему линеаризованных уравнений в перемещениях. Если ввести функцию усилий и воспользоваться уравнением совместности деформаций, то эти уравнения можно привести к системе двух уравнений

Напомним, что во всех приведенных выражениях начальные усилия считались найденными из решения уравнений безмоментной теории оболочек (6.35). Воспользовавшись записью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко (см. § 10), можно избежать определения начальных усилий в оболочке, на для этого необходимо найти перемещения точек срединной поверхности оболочки второго порядка малости, как это сделано для кругового кольца и пластин.